VEKTOROleh :Ahmad

TaufikurrahmanRevi Fitriani

Marlina

Pengertian Vektor

Vektor merupakan besaran yang memiliki besaran dan arah.Sebuah vektor dapat ditulis menggunakan:a) Huruf kecil yang dicetak tebalb) Huruf kecil yang diatasnya dibubuhi tanda panah

Karena titik pangkalnya P dan titik ujung Q maka vektor ini disebut vektor . Panjang vektor ini dilambangkan dengan .

Vektor di R1 (R1)

Yang dimaksud vektor di R1 adalah ruang berdimensi satu. Ruang berdimensi satu ditandai dengan sebuah garis, pada garis itu terletak sebuah titik tetap, misalnya titik O sebagai pangkal perhitungan.

)4(),4(),3( CDABEF

Vektor di R2 (R2)Yang dimaksud vektor di R2 adalah ruang berdimensi dua. Ruang dimensi dua ditandai dengan sebuah bidang yang padanya terletak dua buah sumbu yang saling berpotongan.

Pada gambar diatas, secara aljabar (dalam bentuk komposisi) dapat ditulis :

Atau

1) Vektor BasisVektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.

Vektor basis yang searah dengan sumbu dinamakan vektor atau vektor . Vaktor basis yang searah denga sumbu dinamakan vektor atau vektor .

2) Vektor posisi Vektor posisi suatu titik adalah vetor yang pangkalnya pada O (pangkal kordinat/pangkal perhitungan).

i

Contoh:

atau

3) Operasi vektor •Penjumlahan

Maka •Pengurangan

•Perkalian vektor dengan skalark

4) Besar atau panjang vektor (norma vektor)Diketahui maka Contoh : maka

5) Jarak suatu vektor Diketahui dan makaContoh: dan maka

6) Perkalian skalar dua vektor Jika dan , maka hasil kali skalar dua dan ditulis (dibaca dot ) didefinisikan sebagai: jika sudut antara dan adalah maka

Contoh: Diketahui dan , sudut antara vektor dan adalah , hitunglah ! Jawab :

=

Vektor di Vektor di R3 adalah ruang berdimensi tiga. Ruang ini ditandai oleh perpotongan tiga buah sumbu. Untuk mempermudah perhitungan jarak dan sudut dipilih sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yang disusun sehingga membentuk sumbu putar kanan atau sumbu putar kiri.

1) Vektor basis dalam ruangVektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.vektor absis yang searah dengan sumbu dinamakan vektor atau vektor . Vaktor basis yang searah denga sumbu dinamakan vektor atau vektor . Vektor yang searah dengan sumbu dinamakan vektor atau vektor .

2) Komponen vektor Komponen vektor adalah hasil penguraian suatu vektor menjadi tiga vektor lain yang saling tegak lurus. Ketiga vektor lain ini disebut komponen vektor. Dalam koordinat Cartesian, komponen vektor biasanya berupa proyeksi vektor pada sumbu-, sumbu-dan sumbu-.Contoh : dan Jawab :

3) Panjang vektor (norma vektor)Diketahui maka,

Contoh : maka ,

4) Jarak suatu vektor Diketahui dan , maka Contoh :Diketahui dan , maka

5) Perkalian skalar dua vektorJika dan , maka hasil kali skalar dua dan ditulis didefinisikan sebagai

jika sudut antara dan adalah maka

Contoh:Jawab :

=

Jika maka danmembentuk sudut lancip, maka dan membentuk sudut tumpul, makadan saling tegak lurus.

0. ba a

b

0. ba

0. ba

a

b

a

b

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor :Untuk setiap vektor dan serta skalar k, maka :1. Komutatif :

2.Distributif terhadap penjumlahan:

3.

4. 5.

).()..( bakbak

abba

..

cabacba

..).(

aaa

.

aao

.

a

b

e. Rumus Pembagian

1. Rumus pembagian ruas garis dalam perbandingan m : n• AP : PB = 2 : 3• AP : AB = 2 : 5

• AP : PB = m : n • AP : AB = m : (m + n)

• AP : PB = 3 : -1• AP : AB = 3 : 2

• AP : PB = m : -n• AP : PB = m : (m - n)

2. Rumus pembagian dalam bentuk vektor dan koordinat

• Diketahui PN : NQ = m : nDari perbandingan ini, kita dapat menyatakan titik N sebagai vektor posisi n dalam vektor posisi titik P dan Q. Caranya sebagai berikut :

• Jika dan di R2, maka

Koordinat titik N adalah

• Jika dan di R3,maka

Koordinat titik N adalah :

),( 11 yxP ),( 22 yxQnm

y

xn

y

xm

n

2

1

2

2

nm

mymy

nm

nxmxN 1212 ,

nm

z

y

x

n

z

y

x

m

n

1

1

1

2

2

2

),,( 222 zyxQ),,( 111 zyxP

nm

mzmz

nm

mymy

nm

nxmxN 121212 ,,

• Contoh :Tentukan koordinat suatu titik pada garis hubung dan di dalam dan di luar dengan perbandingan 1 : 3.

• Jawab :• Misalkan titik tersebut adalah titik P.

Untuk titik P membagi AB di dalam dengan 1 : 3, berlaku AP : PB = 1 : 3.Koordinat titik P dapat ditentukan dengan cara berikut.

Jadi, titik

)4,3,2(A

)8,7,6(B

)5,4,3(31

4.38.1,

31

3.37.1,

31

2.36.1PP

)5,4,3(P

• Untuk titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 1 : 3, berlaku AP : PB = 1 : -3.

• Koordinat titik P dapat ditentukan dengan cara berikut.

• Jadi, titik

)2,1,0()3(1

4).3(8.1,

)3(1

3).3(7.1,

)3(1

2).3(6.1PP

)2,1,0(P

f. Proyeksi Ortogonal• Proyeksi ortogonal adalah menguraikan suatu

vektor menjadi jumlah dari dua vektor yaitu sejajar dan tegak lurus.

(a) (b) (c)Vektor adalah jumlah dari dan , dimana sejajar dengan dan tegak lurus terhadap .

u

u

2w

2w

a

.

1w

a1w

1. Komponen vektor sepanjang

• Vektor disebut sebagai proyeksi ortogonal pada atau kadang-kadang disebut komponen vektor sepanjang . Ini dinotasikan sebagai :

• Jika dan adalah vektor-vektor pada R2 atau R3, a0 maka :

u

a

1w

u

a

u

a

uproja

aa

auuproja

2

u

a

2. Komponen vektor yang ortogonal terhadap

• Vektor disebut komponen vektor yang ortogonal terhadap . Karena , vektor ini dapat ditulis dengan menggunakan notasi sebagai berikut :

u

a

2w

u

a

12 wuw

uprojuw a

2

3. Panjang komponen vektor sepanjang • Rumus untuk panjang komponen vektor

sepanjang dapat diperoleh dengan menulis :

u

a

aa

au

aa

au

aa

auuproja

2

2

2

u

a

• Karena maka menghasilkan :

Jika menyatakan sudut antara dan , maka sehingga

dapat juga ditulis sebagai

02 a

2a

auuproja

cosauau

2a

auuproja

u

a

cos uuproja

• Contoh :• Diketahui :

• Tentukan , , !• Jawab :

)2,1,4( a

uproja

2w

uproja

3618)2(31142 au

214116)2(14 222 a

21

6,

21

3,

21

122,1,4

21

32,1,4

21

32

uproja

7

23,

7

6,

7

10

7

2,

7

7,

7

14

7

21,

7

1,

7

43,1,22w

21

3

21

3uproja

)3,1,2(u

4. Jarak antara titik dan garis

Contoh : • Carilah rumus jarak D antara dan • Jawab :• Misalkan adalah titik sebarang pada garis

dan tempatkan vektor sedemikian rupa sehingga titik awalnya berhimpitan dengan Q. Sebagaimana yang tampak pada gambar vektor, tegak lurus terhadap garis, jarak D sebanding dengan panjang dari proyeksi ortogonal pada ;

),( 000 yxP 0 cbyax

),( 11 yxQ),( ban

0QP nn

• sehingga :

Sehingga,

n

nQPQPprojD n

0

0

)()( 10100 yybxxanQP

),( 10100 yyxxQP

22 ban

22

1010 )()(

ba

yybxxaD

• Karena titik terletak pada garis tersebut, koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut, sehingga atau dengan mensubtitusi pernyataan ini ke dalam

• maka akan dihasilkan rumus :

22

00 )(

ba

cbyaxD

),( 11 yxQ

011 cbyax

22

1010 )()(

ba

yybxxaD

11 byaxc

• Contoh :Berapa Jarak dari titik (2,1) ke garis

• Jawab :0643 yx

5

4

169

646

43

6142322

D

g. Hasil kali vektor dua vektor (hasil kali silang)Hasil kali vektor dua vektor akan menghasilkan vektor dan hanya bisa diterapkan pada ruang berdimensi 3 saja. Jika dan adalah vektor-vektor pada R3, maka hasilkali silang adalah vektor yang di definisikan sebagai :

),,( 321 uuuu

122131132332 ,, vuvuvuvuvuvu

vu

),,( 321 vvvv

321

321

vvv

uuuvu

321

321

vvv

uuu

321

321

vvv

uuu

21

21

31

31

32

32 ,,vv

uu

vv

uu

vv

uu

• Contoh :)2,1,2( u

)0,1,3(v

13

12,

03

22,

01

21

013

212vu

)5,6,2())1.(31.2(),3.20.2(),1.20.1((