Embed Size (px)
Citation preview
UKURAN VARIASI ATAU DISPERSI (PENYEBARAN)
Almuntofa Purwantoro, ST., MT.
Ukuran-ukuran Statistik
1. Ukuran Tendensi Sentral (Central tendency measurement): Rata-rata (mean) Nilai tengah (median) Modus
2. Ukuran Lokasi (Location measurement): Persentil (Percentiles) Kuartil (Quartiles) Desil (Deciles)
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
3. Ukuran Dispersi/Persebaran (Dispersion measurement): Jarak (Range) Ragam/Varian (Variance) Simpangan Baku (Standard deviation) Rata-rata deviasi (Mean deviation)
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Ukuran Dispersi Penyebaran adalah perserakan data
individual terhadap nilai rata-rata.
Data homogen (tidak bervariasi) memiliki penyebaran (dispersi) yang kecil, sedangkan data yang heterogen (sangat bervariasi) memiliki penyebaran yang besar.
Pengukuran Dispersi Adalah Metode Untuk Menggambarkan Bagaimana Suatu Kelompok
Data Menyebar Terhadap Pusat Data
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Mengapa mempelajari Dispersi Untuk mengukur Tendensi Sentral
(mean, median dan modus) yang hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai data tersebut.
Untuk membandingkan sebaran data dari dua atau lebih distribusi data.
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Berdasarkan besar kecilnya penyebaran, kelompok data dibagi menjadi dua, yaitu :
• Kelompok data homogenPenyebaran relatif kecil Jika seluruh data sama, maka disebut
kelompok data homogen 100%.
• Kelompok data heterogen Penyebarannya relatif besar.
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Homogen dan Heterogen DataI. 50, 50, 50, 50, 50
II. 30, 40, 50, 60, 70
III. 10, 20, 40, 80, 100
Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata hitung yang sama, yaitu :
50 X
HomogenAgak bervariasiHeterogen
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Kegunaan Pengukuran Dispersi Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk
menentukan apakah nilai rata-ratanya benar-benar representatif atau tidak.
Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data.
Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak.
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya (heterogen), maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif.
Macam-macam Pengukuran Dispersi
Nilai Jarak (Range) Rata-rata Simpangan /Deviasi Rata-rata
(Mean Deviation) Variasi (Variance) Simpangan Baku (Standard Deviation)
1. Dispersi absolut / mutlakDigunakan untuk mengetahui tingkat variasi nilai observasi pada suatu data.
2. Dispersi relatifDigunakan untuk membandingkan tingkat variasi nilai observasi pada suatu data dengan tingkat variasi nilai observasi data-data lainnya. Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)Al
mun
tofa
Pur
wan
toro
, ST.
, MT.
Nilai Jarak/Jangkauan (Range) Merupakan beda antara
pengukuran nilai terbesar dan nilai terkecil yang terdapat dalam sebuah distribusi.
Penentuan range sebuah distribusi merupakan pengukuran dispersi yang paling sederhana.
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Contoh 1:A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10
X = 55R = 100 – 10 = 90
Rata-rata
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
1. Rentang (R) Nilai Jarak: Selisih antara nilai tertinggi (Xt) dan terendah (Xr) dalam suatu distribusi data. Sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim.Rumus : R = Xt - Xr
2. Rentang antar kuartil (RAK) :Median didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi dua bagian yang sama.Kuartil didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi empat bagian yang sama. Al
mun
tofa
Pur
wan
toro
, ST.
, MT.
Nilai Range (r) kecil, Berarti bahwa suatu Distribusi memiliki rangkaian Data yang lebih Homogen
Semakin kecil nilai r maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r, maka kualitasnya semakin tidak baik.
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Contoh 2:TOKO KEUNTUNGAN
(Rp)A 4000B 5000C 6000D 5000E 4000F 6000G 5500H 4500
8500.4500.5000.6000.4000.5000.6000.5000.4
X
000.5X
Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan:
Variasi Relatif Kecil (Homogen)
01000200030004000500060007000
A B C D E F G H
KEUNTUNGANAlm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Contoh 3:TOKO KEUNTUNGAN
(Rp)A 1000B 9000C 5000D 4000E 6000F 5000G 9500H 5000
8000.5500.9000.5000.6000.4000.5000.9000.1
X
000.5X
Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan:
Variasi Relatif Besar (Heterogen)
0
2000
4000
6000
8000
10000
A B C D E F G H
KEUNTUNGANAlm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Perbandingan
Kedua Contoh tersebut di atas memiliki nilai Rata-rata sama = 5.000
Tetapi kedua Toko tersebut memiliki Perbedaan dalam penyebarannya
Contoh (2) Range = Kecil = 6.000-4.000 = 2.000 (Homogen)
Contoh (3) Range = Besar = 9.500 – 1.000 = 8.500 (Heterogen)
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Deviasi Rata-rata (mean deviation /Average Deviation)
Merupakan penyebaran Data atau Angka-angka atas dasar Jarak (Deviasi) dari pelbagai Angka-angka dari Rata-rata nya.
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata
Data tidak berkelompok
n
XXiMD
n
i
1
Keterangan : MD = Mean Deviation │ │= Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak) Xi = Nilai dari data W = Menunjukkan Nilai dari X1 sampai dg Xn
n = Jumlah data µ/ X = Nilai rata-rata (mean)
ataun
XiMD
n
i
1
n
i 1
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Rata-rata
Rata-rata
Nilai X
X - X |X – X|
100 45 4590 35 3580 25 2570 15 1560 5 550 -5 540 -15 1530 -25 2520 -35 3510 -45 45
Jumlah
0 250
Nilai X
X - X |X – X|
100 45 45100 45 45100 45 4590 35 3580 25 2530 -25 2520 -35 3510 -45 4510 -45 4510 -45 45
Jumlah
0 390
Kelompok A Kelompok B
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
2510250
MD 3910390
MD
Contoh 1:TOKO KEUNTUNGA
N (Rp)A 4.000
B 5.000
C 6.000
D 5.000
E 5.000
RATA-RATA 5.000
Keuntungan yang diperoleh 5 Toko tersebut adalah:
Xi X
4.000 5.000 1.000
5.000 5.000 0
6.000 5.000 1.000
5.000 5.000 0
5.000 5.000 0
TOTAL 2.000
)( XXi
4005000.21
n
XXiMD
n
i
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Data berkelompok
nXMF
MD
Keterangan :
MD = Mean Deviation │ │ = Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak) F = Frekuensi pada masing-masing kelas M = Mid point/titik tengah/class mark n = Jumlah frekuensi (Ʃf) X / µ = Nilai rata-rata (mean)
ataunMF
MD
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Contoh:
NILAI F(f) M(Titik Tengah) F × M X
50 – 55 1 52,5 52,5 75,52 23,02 23,0256 – 61 2 58,5 117 75,52 17,02 34,0462 – 67 17 64,5 1.096,5 75,52 11,02 187,3468 – 73 13 70,5 916,5 75,52 5,02 65,2674 – 79 24 76,5 1.836 75,52 0,98 23,5280 – 85 9 82,5 742,5 75,52 6,98 62,8286 – 91 7 88,5 619,5 75,52 12,98 90,8692 – 97 7 94,5 661,5 75,52 18,98 132,86
Jumlah 80 6.042 619,82
XM XMF (
14,780
82,619
n
XMFMD
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Cara menghitung MD
1. Carilah nilai Mid Point (M) / titik tengah pada masing-masing kelas.
2. Carilah Deviasi Mutlak (absolut) yaitu selisih antara Mid point dengan nilai rata-rata (M atau X )
3. Kalikan hasil no.2 dengan masing-masing frekuensi kelasnya.
4. Jumlahkan masing-masing hasil no.3
5. Bagilah hasil no.4 dengan n, maka akan diperoleh MD.
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
XM
XMF (
XMF (
KERJAKAN SOAL BERIKUT
CARI NILAI MD ….
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
NILAI F(f) M (Titik Tengah) F×M X
1-5 16-10 211-15 16
16-20 1321-25 12
26-30 3
XM XMF (
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Variasi (Variance) Rata-rata kuadrat selisih dari semua
nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.
Data tidak berkelompok:Populasi Variance
Sampel Variance
N
i N
- X 1
2
2
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
n
ii XX
nS
1
22 1
1
n
i
n
ii
i n
XX
n 1
2
122
11 Satau
Data berkelompok:Populasi Variance
Sampel Variance
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
1
2
2
N
Mfk
iii
1 1
2
2
n
XXfS
k
iii
σ2 = Varians populasiS2 = Varians sampel(Xi-µ) = Simpangan
dari observasi terhadap rata-rata sebenarnya.
= Simpangan dari observasi terhadap rata-rata sampel
N = Populasin = Sampel
XX i
Simpangan Baku/Standar Deviasi Merupakan akar pangkat dua dari
variasi. Untuk data tidak berkelompok:
Populasi Standar Deviasi:
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
N
XX
Natau
N
iiN
ii
N
i
2
1
1
21
2
1 N
- X
Sampel Standar Deviasi:Al
mun
tofa
Pur
wan
toro
, ST.
, MT.
n
XX
nSatau
n
X - XS
n
iin
ii
n
ii
2
1
1
21
2
1
n
XX
nSatau
n
X - XS
n
iin
ii
n
ii
2
1
1
21
2
11
1
Rumus I
Rumus II
Untuk data berkelompok:
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Populasi Standar Deviasi:
atau
1
2
N
- μMfk
iii
Mi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …. k
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
2
11
2
N
df
N
dfc
k
iii
k
iii
Untuk Kelas Interval yang samac = Besarnya kelas interval
fi = Frekuensi kelas ke-idi = deviasi simpangan dari
kelas ke-i terhadap titik asal asumsi
Mi = nilai tengah kelas ke-i
Untuk Kelas Interval yang tidak sama
N
MfMf
N
k
iiik
iii
2
1
1
21
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Sampel Standar Deviasi:Untuk Kelas yang sama
2
11
2
11
n
df
n
dfcS
k
iii
k
iii
Untuk Kelas Interval yang tidak sama
111
2
1
1
2
n
MfMf
nS
k
iiik
iii
Contoh :
Cari nilai varians dan standar deviasi dari sampel data dari tabel berikut:
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Data
4050607080
Jawaban:Rata-rata data
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
X X2
4050607080
-20-100
1020
400100
0100400
1.6002.5003.6004.9006.400
1.000 19.000
X - X 2X - X
60 5
80) 70 60 50 (40
Varians: 25015
000.1 1
1 1
22
n
ii XX
nS
Standar variasi: 81,15250 S
atau
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
2X - X 2X - XfVarians:
Standar variasi: 81,15250 S
2505
300000.1915
1 S
11 S
22
1
2
122
n
i
n
ii
i n
XX
n
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
LATIHAN SOAL
Soal 1:
Hitunglah Simpangan Baku/Standar Deviasi dari data berikut:
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T. Kel. Karyawan I
Kel. Karyawan II
Kel. Karyawan III
X1
X2
X3
X4
X5
5050505050
5040306070
10040802010
X: upah bulanan karyawan suatu perusahaan (dalam ribuan rupiah)
Soal 2:
Modal dari 40 populasi perusahaan (dlm juta rupiah) adalah sebagai berikut:
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
138 164 150 132 144 125 149 157146 158 140 147 136 148 152 144168 126 138 176 163 119 154 165146 173 142 147 135 153 140 135161 145 135 142 150 156 145 128
Kemudian data dikelompokkan dan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi.Hitunglah standar deviasi terhadap data tersebut?
Jawaban 2:
Tabel frekuensi:
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Modal Nilai Tengah (Median) Sistem Tally f
118 – 126127 – 135136 – 144145 – 153154 – 162163 – 171172 – 180
Jumlah
Keruncingan distribusi data Keruncingan distribusi data adalah
derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut juga kurtosis.
Ada 3 jenis derajat derajat keruncingan yaitu- Leptokurtis : distribusi data yang
puncaknya relatif tinggi- Mesokurtis : distribusi data yang
puncaknya normal- Platikurtis : distribusi data yang
puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Skewness / Kemiringan distribusi data
Kurva Simetris
Mo
Md X
Kurva Condong Positif
Kurva Condong Negatif
POSITIF CONDONG KEKANAN (Juling Pos)
Mo MedMean
+
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
NEGATIF CONDONG KEKIRI (Juling Neg)
MoMedMean
-
FREKUENSI
NILAI
Dengan rumus pearson
Dimana :α = derajat kemiringan pearsonX = rata – rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median
Rumus Kemiringan :
S
- MedX atauS
- ModX 3
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Bila α= 0 atau mendekati nol maka dikatakan distribusi data simetris, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring kekiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan.
Data tidak berkelompok
dimana α3 = derajat kemiringan X = rata-rata hitungS = standar deviasin = Σf
)(1 1
333 XX
n.S
n
ii
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Data Berkelompok
Jika α3 = 0, maka distribusi data simetriJika α3 < 0, maka distribusi data miring ke kiriJika α3 > 0, maka distribusi data miring ke kanan
Dengan rumus bowley α = Q3 + Q1 – Q2
Q3 – Q1Jika distribusinya simetri, maka Q3 – Q2 = Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 – 2Q2 = 0, yang mengakibatkan α = 0. sebaliknya jika distribusinya miring, maka ada dua kemungkinan, yaitu Q1 = Q2, atau Q2 = Q3. dalam hal Q1 = Q2 maka α = 1 dan dalam hal Q2 = Q3, maka α = -1
)1(2)1()1(313 1 1
3
1
2
1
333 df
ndf
ndf
ndf
nSc k
i
k
iiiii
k
iii
k
iii
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
KURTOSIS (KELANCIPAN)
f Leptokurtis
Platikurtis
SIMETRISMEAN = MEDIAN = MODUS
Mesokurtis
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
Data tidak berkelompok:
Data berkelompok:
derajat keruncingan lebih mudah dihitung dengan memakai cara transformasi, yaitu ;Jika α4 = 3, maka keruncingan distribusi data disebut
mesokurtisJika α4 > 3, maka keruncingan distribusi data disebut leptokurtisJika α4 < 3, maka keruncingan distribusi data disebut platikurtis
Rumus Keruncingan
)(1
41
4
4 S
XXn
n
ii
)(1
41
4
4 S
XXfn
n
iii
Alm
unto
fa P
urw
anto
ro, S
T., M
T.
