Довільна плоска система сил. Теорема про момент рівнодійної системи сил

відносно точки (теорема Варіньона).

Вказівки до завдань С3.

Сили, що довільно розташовані в одній площині, утворюють довільну

плоску систему сил.

Нехай задана довільна плоска система сил, що прикладена до твердого

тіла в точках А, В, ... (рис. 1). Виберемо довільну точку О (центр зведення) і на

підставі теореми про паралельне перенесення сили перенесемо всі сили в точку

О. Одержуємо систему збіжних сил, що прикладені в точці О, та систему пар

сил з моментами, які дорівнюють моментам відповідних сил відносно точки О.

Складаючи сили та пари сил, знайдемо (рис. 2)

R⃗O=∑k=1

n

F⃗ k M O=∑k=1

n

MO ( F⃗ k ) (1)

тобто довільна плоска система сил еквівалентна одній силі R⃗O, що

прикладена в центрі зведення , та одній парі сил з моментом M O. Сила R⃗O носить

назву головного вектора системи, а пара сил з моментом M O – головного

момента системи. З рівностей (1) випливає, що головний вектор дорівнює

геометричній сумі сил системи, а головний момент дорівнює алгебраїчній сумі

моментів всіх сил системи відносно центра зведення.

Побудуємо систему координат з початку у точці О (центрі зведення) і

визначимо числове значення головного вектора R⃗O за формулою:

R⃗O=√ROx2 +ROy

2 =√(∑k=1

n

F⃗ kx)2

+(∑k=1

n

F⃗ ky)2

(2)

де ROx=∑k=1

n

F kx, ROy=∑k=1

n

F ky.

Для рівноваги плоскої довільної системи сил необхідно й достатньо, щоб

одночасно виконувались умови R⃗O=0⃗; М O=0. Тоді з рівностей (1) та (2)

випливає:

∑k =1

n

Fkx=0; ∑k =1

n

F ky=0 ; ∑k =1

n

M O ( F⃗ k )=0 ; (3)

Рівняння (3) виражають аналітичні умови рівноваги довільної плоскої

системи сил. Ці умови носять назву основних умов рівноваги, або основних

форм рівнянь рівноваги довільної плоскої системи сил.

Якщо змінити центр зведення, наприклад взяти довільну точку О1, то

головний вектор R⃗O не змінюється, а головний момент М O змінюється і

визначається за формулою:

М O1=М O+М O1

( R⃗O) (4)

Рис.1

Визначенням R⃗O і М O не обмежується подальше зведення плоскої системи

сил до більш простої, так, наприклад, якщо R⃗O ≠ 0⃗ і М O ≠0, то цю систему сил

можна звести до однієї сили – рівнодійної.

Дамо додаткові форми рівнянь рівноваги довільної плоскої системи

сил,тобто

∑k =1

n

M A ( F⃗ k )=0 ; ∑k =1

n

M B ( F⃗k )=0 ; ∑k =1

n

F⃗ kx=0 (5)

де вісь x не перпендикулярна до прямої, що проходить через дві вибрані точки

А та В

∑k =1

n

M A ( F⃗ k )=0 ; ∑k =1

n

M B ( F⃗k )=0 ; ∑k =1

n

M C ( F⃗ k )=0 ; (6)

А, В, С – довільні точки, що не лежать на одній прямій. Необхідність цих

рівнянь очевидна. Розглянемо їх достатність. Якщо виконуються тільки дві

перші умови рівняння (5), то головний момент системи дорівнює нулю. Така

система не перебуває у рівновазі, а має рівнодійну, яка може проходити через

точки А та В. Але згідно з третьою умовою R x=∑k=1

n

Fkx=0, оскільки вісь х не

перпендикулярна до прямої АВ. Таким чином, остання умова може бути

виконана тільки тоді, коли рівнодійна системи буде дорівнювати нулю, тобто

коли буде рівновага плоскої системи сил.

Достатність умов (6) випливає з того, що коли при одночасному

виконанні цих умов дана система сил не перебувала б у рівновазі, то вона мала

б рівнодійну, лінія дії якої одночасно проходила б через точки А, В та С, що

неможливо, тому що ці точки не лежать на одній прямій. Таким чином, за

виконання умов (6) виконуватиметься рівновага плоскої системи сил.

Теорема про момент рівнодійної системи сил відносно точки (теорема

Варіньона). Якщо плоска система сил має рівнодійну, то момент цієї

рівнодійної відносно довільної точки твердого тіла дорівнює алгебраїчній сумі

моментів сил цієї системи відносно тієї самої точки.

Нехай система сил F⃗1, F⃗2 … F⃗n, що діє на тверде тіло, має рівнодійну R⃗, що

прикладена в точці О (рис. 2). Очевидно, головний момент цієї системи

дорівнює нулю, якщо точка О є центром зведення. Візьмемо як центр зведення

точку О1. Головний момент системи відносно центра зведення O1 визначається

за формулою (4), тобто

М O1=М O+М O1

( R⃗O)

де М O=0, а М O1=∑

k =1

n

М O1( F⃗k )

Звідси маємо

М O1( R⃗ )=∑

k=1

n

М O1( F⃗k )

що й треба було довести.

Рис. 2

У задачах С3 йдеться про рівновагу твердого тіла під дією довільної

плоскої системи сил.

Задачі, про рівновагу твердого тіла під дією довільної плоскої системи сил

слід розв'язувати в такій послідовності:

1. виділити тіло, рівновагу якого розглядатимемо для визначення не-

відомих величин;

2. зобразити всі задані сили;

3. побудувати прямокутну систему координат;

4. на підставі аксіоми про звільнення від в'язей умовно відкинути в'язі,

замінивши їх відповідними реакціями.

5. зробити аналіз одержаної системи сил;

6. скласти рівняння рівноваги плоскої системи сил у формі (3), або (5),

або (6);

7. розв'язати систему складених рівнянь і визначити всі невідомі;

8. зробити аналіз здобутого розв'язку.

Приклад 1. Визначити реакцію шарніра А та стержня СD балки, яка

підтримує у рівновазі дефлегматор ректифікаційної колони (рис. 3). З боку

дефлегматора на балку діє сила Р = 10 кН. Кут α = 37 °. Вагою балки та стержня

нехтувати.

Розв'язання. Розглянемо рівновагу балки АВС (рис. 3). Балка – невільне

тверде тіло. В'язями для неї є нерухомий шарнір А і невагомий стержень СD.

Застосовуючи аксіому про звільнення від в'язей, уявно відкинемо в'язі і

прикладемо відповідні їм реакції. Реакція S⃗ стержня СD напрямлена вздовж

стержня, як це подано на рис. 3. Реакцію нерухомого шарніра (шарнірно-

нерухомої опори) подаємо двома складовими Х⃗ A, Y⃗ A напрямленими паралельно

координатним осям, як це показано на рис. 3.

Матимемо довільну плоску систему сил (рис. 3). Для такої системи сил

можна скласти три рівняння рівноваги, які містять три невідомі сили реакцій Х⃗ A, Y⃗ A і S⃗.

Рис. 3

Визначення реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗ за допомогою основної форми рівнянь

рівноваги (3) довільної плоскої системи сил. Щоб визначити величину і

напрям реакцій Х⃗ A, Y⃗ A і S⃗ користуємося рівняннями рівноваги (3).

Побудуємо систему координат з початком у точці А (рис. 3) та складемо

рівняння (3):

∑k =1

n

F kx=0; X A−S cos 53°=0

∑k =1

n

Fky=0 ;Y A−P+S sin 53 °¿0

∑k =1

n

M A ( F⃗¿¿ k)=0 ;S sin 53° ∙1,7−P ∙1,2=0 ¿

де момент сили S⃗ відносно точки А визначений на підставі теореми Варіньона.

Розв'язуючи цю систему рівнянь, матимемо:

S= P ∙ 1,12sin 53 ° ∙1,7

= 10 ∙1,120,799 ∙1,7

=8,84 кН ;

X A=S cos53 °=8,83 ∙ 0,602=5,32 кН ;

Y A=P−S sin 53 °=10−8,83 ∙ 0,799=2,95 кН ;

Дійсний напрям реакцій Х⃗ A, Y⃗ A показаний на рис. 3.

Знаючи складові реакції R⃗A вздовж координатних осей Х⃗ A, Y⃗ A можна

визначити і саму реакцію R⃗A як за величиною, так і за напрямом. Величину

реакції знаходять за формулою:

R⃗A=√ X A2 +Y A

2 =√5,322+2,952=6,08 кН.

Напрям реакції R⃗A визначають за напрямними косинусами:

cos (^⃗RA , x )= X A

RA= 5,32

6,08=0,875 ; (^⃗RA , x)=29°

cos (^⃗RA , y )=Y A

RA= 2,95

6,08=0,485 ; (^⃗RA , y )=61 °

Визначення реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗ за допомогою додаткової форми

рівнянь рівноваги (5) довільної плоскої системи сил.

Щоб визначити величину і напрям реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗ користуємося

рівняннями рівноваги (5).

Побудуємо систему координат з початком у точці А (рис. 3) та складемо

рівняння (5):

∑k =1

n

M A ( F⃗¿¿ k)=0 ;−P ∙1,2+S sin 53 ° ∙1,7=0 ;¿

∑k =1

n

M C ( F⃗ ¿¿k )=0 ; P ∙0,5−Y A ∙ 1,7=0 ;¿

∑k =1

n

F⃗kx=0; X A−Scos 53°=0 ;

де момент сили S⃗ відносно точки А визначений на підставі теореми Варіньона.

Розв'язуючи цю систему рівнянь, матимемо:

S= P ∙ 1,2sin 53 ° ∙1,7

= 10 ∙1,20,799 ∙1,7

=8,84 кН ;

Y A=P ∙0,5

1,7=10∙ 0,5

1,7=2,94 кН ;

X A=S cos53 °=8,83 ∙ 0,602=5,32 кН .

Дійсний напрям реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗ показаний на рис. 3.

Визначаємо величину реакції R⃗A за формулою

R⃗A=√ X A2 +Y A

2 =√5,322+2,942=6,08 кН.

Визначаємо напрям реакції R⃗A за напрямними косинусами:

cos (^⃗RA , x )= X A

RA=5,32

6,08=0,875 ; (^⃗RA , x)=29°

cos (^⃗RA , y )=Y A

RA=2,94

6,08=0,484 ; (^⃗R A , y)=61°

Визначення реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗ за допомогою додаткової форми

рівнянь рівноваги (6) довільної плоскої системи сил.

Щоб визначити величину і напрям реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗ користуємося

рівняннями рівноваги (6).

Приймаючи за центр моментів системи сил, що діє на балку АВС точки А,

С і D складемо рівняння рівноваги (6) див. рис. 3:

∑k =1

n

M A ( F⃗¿¿ k)=0 ;−P ∙1,2+S sin 53 ° ∙1,7=0 ;¿

∑k =1

n

M C ( F⃗ ¿¿k )=0 ; P ∙0,5−Y A ∙ 1,7=0 ;¿

∑k =1

n

M D( F⃗ ¿¿k )=0 ; S cos53 ° ∙ 2,5−S sin 53° ∙2,5 ∙ tg37°+P(0,5+2,5 ∙ tg37 ° )−X A ∙2,5−Y A(1,7+2,5∙ tg37 °)=0 ;¿

де момент сили S⃗ відносно точки А і D визначені на підставі теореми Варіньона.

Розв'язуючи цю систему рівнянь, матимемо:

S= P ∙ 1,2sin 53 ° ∙1,7

= 10 ∙1,20,799 ∙1,7

=8,84 кН ;

Y A=P ∙0,5

1,7=10∙ 0,5

1,7=2,94 кН ;

X A=S cos 53° ∙2,5−S sin 53 ° ∙ 2,5 tg37 °+P(0,5+2,5 ∙ tg37 °)

2,5−

Y A (1,7+2,5 ∙ tg37 °)2,5

= 8,84 ∙ 0,602 ∙2,5−8,84 ∙ 0,799 ∙2,5 ∙ 0,7541,7

+10 (0,5+2,5 ∙ 0,754 )−2,94(1,7+2,5 ∙0,754 )

2,5=5,32 кН ;

Дійсний напрям реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗ показаний на рис. 3. Визначаємо

величину реакції R⃗A за формулою:

R⃗A=√ X A2 +Y A

2 =√5,322+2,942=6,08 кН.

Визначаємо напрям реакції R⃗A за напрямними косинусами:

cos (^⃗RA , x )= X A

RA=5,32

6,08=0,875 ; (^⃗RA , x)=29°

cos (^⃗RA , y )=Y A

RA=2,94

6,08=0,484 ; (^⃗R A , y)=61°

Результати проведених розрахунків реакцій Х⃗ A, Y⃗ A та S⃗, а також (див.

завдання С1) повністю збігаються.