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Aula 14 Álgebra Linear I 1
N esta aula, veremos, entre outros resultados, que linear é injetora,se, e somente se, o núcleo de é o subespaço nulo. Além disso, aplicaremos oimportante Teorema do Núcleo e da Imagem, o qual relaciona as dimensões do
núcleo de e da imagem de com , a dimensão do .
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: definir núcleo e ima-gem de uma transformação linear ; dar exemplosde transformações lineares injetoras; e aplicar oTeorema do Núcleo e da Imagem.
Aula 14 Álgebra Linear I2
Atividade 1
Seja uma transformação linear. O núcleo de , indicado por , é oconjunto
e a imagem de , denotado por , é o conjunto
Assim, e . Você ainda deve observar que é umsubespaço vetorial do espaço euclidiano . De fato,
i) , pois (já que );
ii) se , temos e . Logo,, de modo que ;
iii) se e , temos . Então, , e.
Lembre-se da aula 6 (Espaços vetoriais), na qual (i), (ii) e (iii) nos dizem que éum subespaço de . Também, você pode provar que é um subespaço de .
Prove que é um subespaço de .
Aula 14 Álgebra Linear I 3
Exemplo 1Se
, a transformação identidade.
Note que
, isto é, a imagem de é o espaço todo ,
e
ou seja, o núcleo de é o subespaço nulo.
Exemplo 2Seja
, a transformação “zero”.
Veja que
, isto é, a imagem da transformação “zero” é o subespaço nulo,enquanto
Como a igualdade é sempre verdadeira, isso significa que o núcleo da transfor-mação “zero” é o espaço todo .
Exercício resolvido 1
Seja definida por .
i) Mostre que é linear.
ii) Determine e .
iii) é injetora?
1
Aula 14 Álgebra Linear I4
Solução
i) Lembre-se de que para provar que é linear, devemos verificar a validade dasduas condições abaixo:
a) ;
b) .
Sejam .Então, ,
a)
enquantob)
Portanto, é linear.ii)
.
Assim, , se, e somente se, .
Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução éa trivial, ou seja, .Logo,
é o subespaço nulo.
Agora,
iii) Finalmente, para verificar se é injetora, sejam com
Solução
i) Lembre-se de que para provar que é linear, devemos verificar a validade dasduas condições abaixo:
a) ;
b) .
Sejam .Então, ,
a)
enquantob)
Portanto, é linear.ii)
.
Assim, , se, e somente se, .
Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução éa trivial, ou seja, .Logo,
é o subespaço nulo.
Agora,
iii) Finalmente, para verificar se é injetora, sejam com
Aula 14 Álgebra Linear I 5
Isso implica
Como , substituindo o valor de na primeira equação de , obtemos. Logo, , o que prova que é injetora.
Exercício resolvido 2
Seja a transformação linear definida por
i) Determine .
ii) é injetora?
Solução
i) Ora,
Note que , se, e somente se, é solução do sistemahomogêneo
ou
Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss-
Jordan, consideramos a matriz (I) , a qual é equivalente por
linhas à matriz escalonada (II) (substitua de (I) por
).A matriz (II) corresponde ao sistema
ou
1
Solução
i) Ora,
Note que , se, e somente se, é solução do sistemahomogêneo
ou
Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss-
Jordan, consideramos a matriz (I) , a qual é equivalente por
linhas à matriz escalonada (II) (substitua de (I) por
).A matriz (II) corresponde ao sistema
ou
Isso implica
Como , substituindo o valor de na primeira equação de , obtemos. Logo, , o que prova que é injetora.
Aula 14 Álgebra Linear I6
Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto,
arbitrárioarbitrário
Fazendo , por exemplo, obtemos que , isto é, podemosdizer que .
ii) Para ver se é injetora, sejam com
isto é, com
Será que , ou seja, será que?
Note que , mas e . Com certo esforço você deveperceber, por exemplo, que
mas que, obviamente, . Portanto, não é injetora.
No Exercício resolvido 1, encontramos e injetora, en-quanto no Exercício resolvido 2, obtemos
e não injetora.
De um modo geral, vale o critério seguinte.
Teorema 1Uma transformação linear é injetora, se, e somente se,
.
Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto,
arbitrárioarbitrário
Fazendo , por exemplo, obtemos que , isto é, podemosdizer que .
ii) Para ver se é injetora, sejam com
isto é, com
Será que , ou seja, será que?
Note que , mas e . Com certo esforço você deveperceber, por exemplo, que
mas que, obviamente, . Portanto, não é injetora.
Aula 14 Álgebra Linear I 7
Prova
Demonstração da parte “somente se”.
Hipótese – é injetora.
Queremos provar que . Para isso, seja . Então,. Mas, sabemos que . Assim, . Como é injetora,
segue que . Isso prova que , ou seja, é formado somente pelo zero.
Demonstração da parte “se”.
Hipótese – .
Queremos provar que é injetora. Para isso, considere com. Então, . Como é linear, segue que
. Isso nos diz que . Mas, , de modo quee, conseqüentemente, , o que prova ser injetora,
completando a demonstração do resultado.
S eja a base canônica do .Seja uma transformação linear. Estamos interessados em deter-minar as dimensões do e da , e relacioná-las com a dimensão do
; lembre-se de que indica a dimensão do núcleo de e é adimensão da imagem de .
Observação – Você deve notar que como geram , então,geram . De fato, seja . Como ,
para alguns números reais (escalares) e, sendo linear, obtemos
Isso prova que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linearde , ou seja, geram .
Aula 14 Álgebra Linear I8
Atividade 2
Exercício resolvido 3
Considere a mesma transformação linear do Exercício resolvido 2,
Encontre e .
Solução
Seja a basecanônica do . Pela observação feita anteriormente, sabemos que
geram , mas
Para encontrar , você deve encontrar uma base para econtar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontraruma base para , basta encontrar uma base para o espaço gerado pelosvetores e . Paratanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz
e obter a matriz escalonada , equivalente por linhas à .
Prove que a matriz (obtida por você na solução anterior) do Exercício re-solvido 3, é dada por
1
Solução
Seja a basecanônica do . Pela observação feita anteriormente, sabemos que
geram , mas
Para encontrar , você deve encontrar uma base para econtar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontraruma base para , basta encontrar uma base para o espaço gerado pelosvetores e . Paratanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz
e obter a matriz escalonada , equivalente por linhas à .
Aula 14 Álgebra Linear I 9
Isso significa que os vetores e geram e como, claramente,são linearmente independentes, obtemos que é uma basepara , concluindo que . Finalmente, para encontrar ,observe que encontrar uma base para é equivalente a encontrar uma base para oespaço solução do sistema homogêneo i) do Exercício resolvido 2. Como
é arbitrárioé arbitrário
temos que é gerado por e, sendo , segue queé uma base de ou, equivalentemente, é uma base de .
Logo, .
Você deve perceber que
(domínio de )
Esse resultado vale, em geral, para o seguinte teorema.
Teorema 2 (do Núcleo e da Imagem)Se é uma transformação linear, então,
Prova
Isso será demonstrado na disciplina Álgebra Linear II, para transformações lineares, em que e são espaços vetoriais quaisquer.
Provaremos as seguintes conseqüências imediatas.
Corolário 1 – Seja uma transformação linear. Se , então, não éinjetora.
Prova
Hipótese – .
Queremos provar que não é injetora. Suponha o contrário, isto é, que é injetora.Nesse caso, pelo Teorema 1, . Mas, pelo Teorema 2, temos
Aula 14 Álgebra Linear I10
Como , temos . Substituindo esse valor em , obte-mos . Sendo um subespaço de , concluímos que , oque contradiz a hipótese. Portanto, não é injetora.
Corolário 2 – Seja uma transformação linear. Se , então não ésobrejetora.
Prova
Hipótese – .
Queremos provar que não é sobrejetora. Suponha o contrário, isto é, que é so-brejetora. Isso significa que . Assim, . Pelo Teorema 2,temos
Substituindo o valor em , obtemos . Issoimplica , o que contradiz a hipótese. Portanto, não é sobrejetora.
Corolário 3 – Seja uma transformação linear bijetora. Então, .
Prova
Suponha que . Pelo Corolário 1, segue que não é injetora, o que é umacontradição. Agora, supondo que , então, pelo Corolário 2, obtemos que não ésobrejetora, e temos novamente uma contradição. Portanto, .
Finalizamos esta aula com o seguinte teorema.
Teorema 3Seja linear. Então, é injetora, se, e somente se, levar todosubconjunto linearmente independente de em um conjunto linearmente in-dependente de .
Prova
Demonstração da parte “somente se”.
Hipótese – é injetora.
Queremos provar que leva todo subconjunto linearmente independente de em umsubconjunto linearmente independente de . Suponha o contrário, isto é, que existe um
Aula 14 Álgebra Linear I 11
Resumo
subconjunto linearmente independente de tal queseja linearmente dependente. Isso significa que um dos vetores, digamos , é combi-nação linear dos demais. Assim, existem escalares tais que
. Como é linear, obtemos , e sendoinjetora, temos , ou seja, é linearmente depen-dente, o que contradiz o fato de que é linearmente independente. Logo,
leva todo subconjunto linearmente independente de em um subconjunto linearmenteindependente de .
Demonstração da parte “se”.
Hipótese – leva todo subconjunto linearmente independente de em um subcon-junto linearmente independente de .
Queremos provar que é injetora. Suponha o contrário, isto é, que não é injetora.Pelo Teorema 1, temos . Seja Considere o conjunto
. Sabemos que é linearmente independente. Mas, é claramentelinearmente dependente, o que contradiz a hipótese. Portanto, é injetora.
Você aprendeu nesta aula que o núcleo e a imagem de uma transfor-mação linear são subespaços vetoriais de e ,respectivamente. Além disso, foi apresentado um critério para saber quando
é injetora, a saber: é injetora . Também, o Teorema doNúcleo e da Imagem nos diz que .
Aula 14 Álgebra Linear I12
Seja a transformação linear definida por.
i) Encontre . Se , quais as condições sobre para que o vetor? Qual a ?
ii) Encontre .
iii) Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem, determine .
Exercícios propostos1) Seja definida por .
a) Verifique que é linear.
b) Sem fazer qualquer cálculo, diga se pode ser sobrejetora. Justifique.
c) Determine e .
d) Determine e .
e) é injetora? Justifique.
2) Seja uma transformação linear tal que . Demonstre queé um número par.
3) Seja a transformação linear definida por
.
Ache .
Aula 14 Álgebra Linear I 13
Respostas dos exercícios propostos
ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.
BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. SãoPaulo: Editora Harbra Ltda, 1986.
Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes deresolvê-las.
1) b) Sugestão: veja o Corolário 2.
c)
d)
e) Sim. Veja o Teorema 1.
2) Sugestão: use o Teorema do Núcleo e da Imagem.
3) .