ANGULO DIEDRO - POLIEDROS

2013

GEOMETRÍA MODERNAGEOMETRÍA MODERNAGEOMETRÍA MODERNAGEOMETRÍA MODERNA Profesor: Profesor: Profesor: Profesor: Bonilla Salcedo

Universidad Nacional Universidad Nacional Universidad Nacional Universidad Nacional Federico Villarreal Federico Villarreal Federico Villarreal Federico Villarreal

Facultad de Educación Matemática Matemática Matemática Matemática ---- FísicaFísicaFísicaFísica

Tema:

DIEDROS,

TRIEDROS,

POLIEDROS Y

POLIEDROS

REGULARES

INTEGRANTES:

� CÓRDOVA CONDORI, TORIBIO � HUIMAN NAKANDAKARI, JUAN

CICLO: X AÑO: 5TO AULA: A3-7

Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari

Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA

ÁNGULOS DIEDROS

Es la figura geométrica formada por la unión

de sus semiplanos que tienen una recta en

común a la cual se le denomina arista del

ángulo diedro.

Notación:

Ángulo Diedro AB ó

Ángulo Diedro

P - AB - Q

θθθθ: Medida del ángulo

Diedro

� PLANOS PERPENDICULARES

Dos planos son perpendiculares, cuando

determinan diedros que miden 90º.

θθθθ: Medida del

ángulo diedro.

Si θθθθ = 90º

⇒ P Q

Observación.- Dos diedros adyacentes son suplementarios.

� PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE

UN PLANO

Por definición la proyección ortogonal de un

punto sobre un plano es el pie de la

perpendicular trazada de este punto al plano. De

esto se concluye que la proyección ortogonal de

cualquier figura geométrica sobre un plano es la

reunión de las proyecciones

ortogonales de todos sus puntos sobre dicho

plano.

Sea 'PP Q ⇒ P’ es la proyección del punto P sobre el plano Q

Además M es la proyección ortogonal de

L sobre el plano Q.

P Qcara cara

x y θθθθ

B

A

Arista

θ

P

Q

P

αααα θθθθ

Q

α + θ = 180º

P’

θ m

P L

Q



POLIEDROS

Poliedro es un sólido completamente

limitado por polígonos. El mínimo número de

caras que tiene un poliedro es cuatro.

� ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

Los elementos principales de un poliedro son:

Arista

Cara

Vértice

Diagonal

Caras

Son los polígonos que limitan los poliedros.

Aristas

Son las intersecciones de las caras.

Vértice

Son los puntos donde se encuentran las

aristas-

Ángulos Diedros

Son los formados por dos caras consecutivas.

Ángulos Poliedros

Son los formados en los vértices del

poliedro

Diagonal

Es el segmento que une dos vértices no

situados en la misma cara

� CLASIFICACION 1) Por el número de caras:

- Tetraedro: cuando tiene 4 caras

- Pentaedro: cuando tiene 5 caras

- Hexaedro: cuando tiene 6 caras

- Heptaedro: cuando tiene 7 caras

- Octaedro: cuando tiene 8 caras

2) Según sus características:

a. Poliedro Convexo.- Cuando cualquiera

de sus secciones planas es un polígono

convexo, o equivalentemente, si el

segmento que une dos puntos

cualesquiera del poliedro está totalmente

contenido en el poliedro.

b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de

las secciones planas es un polígono

cóncavo. Al trazar una recta secante

corta en más de 2 puntos de intersección

a su superficie poliédrica.



1 2

3 4

5 6

c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus

caras son polígonos regulares e iguales, y

sus ángulos diedros y triedros también

son iguales.

d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras

son polígonos irregulares y desiguales, y

sus angulos poliedros no son todos

iguales.

� TEOREMA DE EULER

En todo poliedro convexo el número de caras

aumentado en el número de vértices es igual

al número de aristas más dos.

Si para un poliedro convexo:

C → número de caras

V → número de vértices

A → número de aristas

Entonces se verifica que:

C + V = A + 2

� POLIEDROS REGULARES

Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son

polígonos regulares iguales entre si:



A) TETRAEDRO: Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteras.

A

B

C

O

G

Notación: Tetraedro Regular O – ABC Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)

3

6OG

l=

Volumen (V):

12

2V

3l=

Superficie total o Área (A):

3A 2l=

B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le denomina cubo.

B

A

G

C

E

D

F

H

Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH Diagonal (BH ): 3BH l=

Volumen (V): 3v l= Superficie total o Área (A):

26A l=

C) OCTAEDRO: Sus caras son ocho

regiones triangulares equiláteras.

B C

D A

M

N

Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N

Diagonal (MN ): 2MN l=

Volumen (V):

3

2V

3l=


32A 2l=



D) DODECAEDRO: Sus caras son doce

regiones pentagonales iguales.

Volumen (V):

10

52147

2

5V

3+

=l


5

52515A 2 +

= l

E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras.

a

Volumen (V):

2

537

6

52

+=

aV


3a5A 2=

1. En un tetraedro O-ABC, OA=BC,

OB=AC y OC=AB, además se cumple

AC>OC>AO. Halla la suma del máximo

y mínimo entero de la cara AOC

Solución

a>b>c→θ> >

ΔAOC ≈ Δ OAB ≈ Δ CBA (LLL)

→m∠AOC=m∠ OCB= θ

m∠AOC= m∠ACB=

AOC:

θ+ + = 180º → + = 180º θ ……. (1)

Por teorema:

< θ < ……. (2)

De (1) y (2): θ < 180º θ



θ < 90º

Por condición:

< θ; < θ

Sumando: < 2θ

180º θ < 2θ y 60º < θ

60º < θ < 90º

luego:

θmin= 61º θmáx.= 89º

θθθθmin + θθθθmáx = 150º

2. Un cuadrado ABCD y un triangulo

rectángulo APB están contenidos en

dos planos perpendiculares. Halle la

distancia entre el vértice D y el

baricentro APB; si se sabe que AP=3,

PB=4.

Solución

APB: AH=

HAD: = + …. (1)

GHD: = + …. (2)

en (2):

Simplificando:

3. En un poliedro convexo, el numero de

caras, mas el numero de vértices, y

más el numero de aristas, es 28. Si las

medidas de los ángulos en todas las

caras suman 1800º. Hallar el número de

caras.

Solución

Dato: S = 1800º. Pero sabemos que

S = 360º(V-2)

Entonces: 360º(V – 2) = 1800º

V – 2 = 5 V = 7

Por el Teorema de Euler:

C + V = A + 2 A = C + 5......(1)



Pero por dato también:

C + V + A = 28

C + 7 + A = 28

C + A = 21......(2)

Reemplazando (1) en (2):

C + C + 5 =21 2C = 16

∴ C = 8

4. Se tiene un exaedro regular ABCD –

EFGH, donde “O” es centro de la cara

ABFE y “M” punto medio de EH.

Calcular la medida del ángulo COM.

Solución

En el grafico, observamos que:

NC = 3a 2

En el NOC; se cumple que:

NC=3a

∴ x = 90º

5. Se tiene un cuadrado ABCD y un

triangulo equilátero AMB

pertenecientes a dos planos

perpendiculares. Calcular la medida del

ángulo determinado por BC y el

segmento que une los puntos medios de

MB y AD.

Solución

• Los segmentos EF y BC son

alabeados.

• El ángulo formado por dichos

segmentos es AFE

• En la figura el ΔAEM ≈ ΔEAF



∴ x = 60º

6. Por el vértice “B” de un triangulo ABC

recto en “B”, se levanta BD

perpendicular al plano determinado por

el triangulo. Calcular la medida del

ángulo diedro que forman los planos

determinados por los triángulos ADC y

ABC.

Si AB=8, BC=8 3 /3 y BD=3

Solución

• Por dato; AB=8, BC=8 3 /3,

entonces por propiedad en el Δ ABC:

→ BH=4

• En el Δ DBH: tgx= 3/4

∴ x = 37º

7. Se tiene un triangulo isósceles AOB,

tal que AO=OB= 6 , se levanta OM

perpendicular al plano determinado por

el triangulo. Calcular la longitud de OM,

si el diedro formado por los planos

determinados por los triángulos AMB y

AOB mide 60º.

Solución

Por dato: AO= 6 , OB=ON= 3

Em Δ MON es notable, ya que la

m∠MNO=60º

En consecuencia: x= 3 . 3

∴ x = 3

8. La suma de las medidas de las cars de

un poliedro convexo es 3600º. Si el

número de aristas excede en 2 al doble

del número de cars. Hallar el número

de caras.

Solución

Sabemos que: S=360º(V-2)

Pero: S=3600º



Entonces: 3600º=360º(V-2)

→ V-2=10

→ V=12

Por dato también: A=2C+2 …(1)


C + V = A + 2…(2)

Reemplazando (1) en (2):

C + V = 2C + 2 + 2

→ C + 12 = 2C + 4

→ C = 8

9. Hallar el número de vértices del

poliedro convexo que está limitado por

32 cuadriláteros y 64 triángulos.

Solución


C + V = A + 2……(1)

Donde:

C → Nº de caras

V → Nº de vértices

A → Nº de aristas

En el problema:

C = 32 + 64

→ C = 96

Además sabemos que:

→ A = 160

Reemplazando en (1):

96 + V = 160 + 2

∴ V = 66

10. Se tiene un tetraedro S-BCD, siendo

los puntos M y N los baricentros de las

caras, además el punto G es el punto de

intersección de los segmentos BM y

SN. Si: SN=12m. Hallar SG.

Solución

En la figura sombreada:

Por el Teorema de Menelao:

m. x . 2n = 2m . GN . 3n

x = 3(SN – x)

4x = 3(12)

∴ x = 9m



11. En la figura P-ABC es un triedro

birrectángulo donde BPC=120°, si

BP=PC=2 y AP= 2. Hallar el área del

triángulo ABC.

A) B) C)

D) E)

Solución

Por prop. del triángulo de 120° :

BP= PC=2 → BC = 6

p=

S=

S=

S=

12. En un triedro isósceles O-ABC,

AOB=BOC= 60° y el diedro OB mide

90°. calcule la medida de la cara AOC.

A) arc cos ( B) arc cos (

C) arc cos ( D) arc cos (

E) arc cos (

Solución

= +

Por ley de cosenos:

= + 2( 2a)

(2a) cos x

8 cos x = 2

x = arc cos (

13. Los catetos de un triángulo rectángulo

miden 30 cm y 40 cm, se hace girar el

triángulo alrededor de su hipotenusa



hasta formar un diedro de 60°.

Calcular la longitud del segmento que

une los centros de gravedad de las

bases del diedro.

Solución

∆ rectángulo BAC

30 (40) = 50 AH; AH =

es equilátero ∆ =

∆ M // Lema de Thales

= ( = 8

→ = 8 m.

14. Dos caras de un triedro miden 115° y

125°. Determinar entre que valores

puede variar la tercera cara.

Solución

Por teorema:

70° + 90° + VC → VC

70° + 90° + VC 180° → VC

20° VC

15. En un triedro SABC, el diedro SA es

recto y las caras ASB y ASC son

ángulos de 45°, se pide calcular las

caras BSC.

Solución

Se traza un plano ABC ⊥ SA

∠BAC = 90° m∠diedro SA

Hacemos SA = a

ΔSAB: SB = = a = SC



(∇rect.SAB = ∇rest.SAC )

Δ BAC: BC = = a

Como SB = BC = a , el ∇ BSC es

equilátero, entonces

∠BSC = 60°

16. Dado un triángulo rectángulo AOB,

recto en O, cuyos catetos OA= OB =

2a, se levanta en O el plano AOB, una

perpendicular sobre la que se toma

OM= a y se une luego M con los

puntos A y B. Calcular la medida del

ángulo diedro AB.

Solución

Se traza OF ⊥ AB

MF ⊥ AB ( Teor, 3 ⊥s)

∠MFO es m∠ diedro AB

Observando ΔMOF.

Δrect. AOB: OF = =

Δ rect.MOF: MF= = 2a

como cateto OF = de la hipotenusa MF,

∠MFO = 30°

entonces:

α = 90° 30°

αααα=60°°°°



PROBLEMAS PROPUESTOS

1. ABC, es un triangulo recto en B. ACD,

es un triangulo equilátero contenido en

un plano perpendicular al plano ABC. Si

AC = 8, Hallar BD.

2. De las siguientes proposiciones indicar

verdadero (V) o falso (F):

( ) Todo plano perpendicular a la arista

de un diedro es perpendicular a las

caras del diedro.

( ) Si una recta es perpendicular a una

de las caras de un diedro y paralela a la

otra cara entonces la medida del

diedro es 90.

A) VV B) FV C) FF

D) VF E) VV

3. Se tiene un diedro MN que mide 60º y

un punto F situado en su plano

bisector, si F dista de la arista que une

los planos M y N en 10 u. Calcular la

distancia de F a las caras del diedro.

A) 3 3 B) 4 C) 5 D) 10 E) 5 3

4. Calcular el mayor valor entero que

puede tomar una de las caras de un

triedro birrectángulo.

A) 149º B) 169º C) 179º

B) D) 99º E) 189º

5. Las regiones rectangulares ABCD y

ABMN, determinan un diedro que mide

120º, si 2 BM = AB = 2 BC = 2 a. Halle

la distancia “D” al punto medio de MN.

A) a B) C) 2a

D) E)

6. En un exaedro regular ABCD – EFGH

cuya arista mide 4m. ¿Calcular la

distancia entre AF y BH?.

7. En un hexaedro regular ABCD – EFGH, con

centro en E y radio EB se traza un arco de

circunferencia que interseca a HC en “P”.

¿Calcular el ángulo que forma EP con la

cara EFGH?.

8. En un octaedro regular M-ABCD-N,

cuya arista mide 6m, G es baricentro

de la cara DMC. ¿Calcular AG? 9. Calcular el volumen de un cubo donde el

área y el volumen son numéricamente

iguales.

10. En un octaedro regular, de arista “a”,

hallar la distancia del centro a una

cara.

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