Chương 11

TỪ TRƯỜNG

11.1 Phần tử dòng điện-định luật Ampe về tương tác từ

11.1.1 Phần tử dòng điện

Phần tử dòng điện là một đoạn rất ngắn của dòng điện, được đặc trưng bởi lId , có phương chiều là phương chiều của dòng điện và có độ lớn bằng Idl.

11.1.2 Định luật Ampe

lIdXét tương tác giữa hai phần tử dòng điện và I0 0l , nd là véc tơ pháp tuyến của

mặt phẳng P tại vị trí M được xác định sao cho 3 véc tơ: ld r, và theo thứ tự đó hợp thành một tam diện thuận (hình 11-1).

n

n

Định luật Ampe: Từ lực do phần tử dòng điện Idl tác dụng lên phần tử dòng điện I0 0ld

cùng đặt trong chân không là véc tơ d 0F :

- Có phương vuông góc với mặt phẳng chứa 0ld và n .

- Có chiều sao cho 3 véc tơ: 0ld , n và 0Fd theo thứ tự đó hợp thành một tam diện thuận.

- Có độ lớn: 2000

0 rsinθdlIIdlsinθ

KdF = (11-1)

K là hệ số tỉ lệ, trong hệ SI K = 4πμ 0 (11-2)

với μ0 = 4π.10-7(H/m) gọi là hằng số từ.

Suy ra: 20000

0 rsinθdlIIdlsinθ

4πμ

dF = (11-3)

Dưới dạng véc tơ:

P)

o I ld

I0 0ld M

r

Hình 11-1

122

[ ][ ]3

0000 r

r,lId,ldI4πμ

Fd = (11-4)

Thí nghiệm chứng tỏ rằng nếu I và I0 cùng đặt trong một môi trường đồng chất nào đó thì từ lực tăng lên μ lần so với khi đặt trong chân không:

[ ][ ]3

000

rr,lId,ldI

4πμμ

Fd = (11-5)

μ là độ từ thẩm tỉ đối của môi trường.

11.2 Véc tơ cảm ứng từ-véc tơ cường độ từ trường

11.2.1 Véc tơ cảm ứng từ

[ ]3

0

rr,lId

4πμμ

Bd =Từ định luật Ampe ta thấy (11-6)

lId Bdchỉ phụ thuộc vào vị trí điểm M và sinh ra từ trường: được gọi là véc tơ cảm ứng từ.

dB M

Định luật Biot-Savart-Laplace: Véc tơ cảm ứng từ Bd do một phần tử dòng điện lId gây ra tại điểm M cách phần tử một khoảng r là một véc tơ có (hình 11-2): - Gốc tại M - Phương vuông góc với mặt phẳng chứa ld và M. - Chiều sao cho 3 véc tơ: ld , r và Bd theo thứ tự đó hợp thành một tam diện thuận

(quy tắc cái đinh ốc). - Độ lớn:

20

rIdlsinθ

4πμμ

dB = (11-7)

Từ (10-5) và (10-6) ta suy ra:

[ ]Bd,ldIFd 00= (11-8)

dB gọi là cảm ứng từ. Trong hệ SI cảm ứng từ có đơn vị là Tesla (T).

P)

o I ld

r

Hình 11-2

123

11.2.2 Nguyên lý chồng chất từ trường

a. Véc tơ do một dòng điện bất kỳ gây ra tại M: B

∫=dien)dong(ca

BdB (11-9)

b. Véc tơ do n dòng điện gây ra tại M: B

∑=

=n

1iiBB (11-10)

B i là véc tơ cảm ứng từ do dòng điện Ii gây ra tại M.

11.2.3 Véc tơ cường độ từ trường

HĐịnh nghĩa: Véc tơ cường độ từ trường tại điểm M trong từ trường là một véc tơ bằng tỉ số giữa véc tơ cảm ứng từ tại điểm đó và tích μμ0:

0μμBH = (11-11)

H là cường độ từ trường, trong hệ SI H có đơn vị là A/m.

11.2.4 Ứng dụng

a. Từ trường gây ra bỏi dòng điện tròn

Để xác định từ trường B do dòng điện tròn gây ra tại M , ta chia dòng điện tròn thành những phần tử dòng điện . Khi đó từ trường tại M được tính theo (11-9): BdlI

( )∫=I

dBB

Véc tơ do dòng điện tròn gây ra tại M như hình 11-3. B

Bd

r

lIdo

MBd

'lId

'Bd

R

Hình 11-3

B

ndB

124

02

μμ IdlsinθdB .4 rπ

= 02

μμ IdldB .4 rπ

=πθ=2

Ta có: , trong đó nên

on 3

μμ IRdldB dBcosα .4π r

= =

( )

20 0

n 3 3I (I)

μμ IR μμ I(πR )B dB dl=4π r 2π r

= =∫ ∫

02 2 3/2

μμ ISB =2π (R +h )

(11-12)

2 là diện tích của dòng điện tròn. Trong đó S = πRKhi h = 0 thì ta thu được cảm ứng từ tại tâm O của dòng điện tròn:

03

μμ ISB =2πR

(11-13)

b. Từ trường gây ra bởi dòng điện thẳng

Để xác định từ trường do dòng điện thẳng AB gây ra tại điểm M, ta chia dòng điện AB thành những phần tử dòng điện

B

Idl . Khi đó từ trường tại M cũng được tính theo (11-9):

B

( )∫=

AB

dBB

Vì vectơ cảm ứng từ của mọi phần tử dòng điện dB Idl

θ12θθ

dlI H O B

dB

r

M

R

A

Hình 11-4

đều cùng phương chiều (hình 11-4). Nên (11-9) được viết lại:

( )∫=

AB

dBB

2o

rIdl.sinθ

4πμμ

dB = Ta có :

Suy ra:

( )∫=

AB2

o

rdlsinθ

4πIμμ

B (*)

125

Xét tam giác vuông HOM : − Đặt OH = l − r = R/sinθ − l = R cotgθ. Suy ra dl = - Rdθ /sin2θ. Vì dl là độ dài có giá trị dương nên:

dl = Rdθ /sin2θ Thay các giá trị trên vào (*)

2

1

θo

θ

μμ IB sinθ .dθ4 Rπ

= ∫

Lấy tích phân, ta được :

(o1

μμ IB cosθ cosθ4 Rπ

= − )2 (11-14)

Trường hợp dòng điện thẳng dài vô hạn : θ1 →0 và θ2 → ∞, ta có :

oμμ IB =2πR

(11–15)

11.3 Từ thông–định lý (Ostrogradski-Gauss) (O-G) đối với từ trường

11.3.1 Từ thông

Từ thông qua diện tích dS là một đại lượng về trị số bằng:

md B.dφ = S (11-16)

Sd nSd ↑↑ là véc tơ diện tích . dφm âm hay dương phụ thuộc vào góc α là nhọn hay tù. Nếu từ trường là bất kỳ và diện tích mà từ thông gửi qua lớn thì:

m(S)

= BdSφ ∫ (11-17)

có đơn vị là Wb. Trong hệ đơn vị SI φm

11.3.2 Định lý O-G đối với từ trường

Vì từ trường có tính chất xoáy (các đường cảm ứng từ khép kín) nên có bao nhiêu đường cảm ứng từ đi vào mặt kín thì cũng có bấy nhiêu đường cảm ứng từ đi ra khỏi mặt kín. Do đó:

0SdB(S)

=∫

Định lý: Từ thông toàn phần gửi qua một mặt kín bất kỳ thì bằng không.

0SdB(S)

=∫ (11-18)

126

dưới dạng vi phân: div = 0 (11-19) B 11.4 Định lý về dòng điện toàn phần

11.4.1 Lưu số của véc tơ cường độ từ trường

ld(C) là một đường cong kín bất kỳ trong một từ trường bất kỳ, là véc tơ chuyển dời ứng với một đoạn vô cùng nhỏ H thuộc (C), 'MM là véc tơ cường độ từ trường thuộc đoạn ấy (hình 11-5).

+

(C)

H

ldM M'α

Hình 11-5 Theo định nghĩa: Lưu số của véc tơ cường độ từ trường dọc theo đường cong kín (C) là một đại lượng về trị số bằng tích phân của ldH dọc theo toàn bộ đường cong đó:

osαHdlcldH(C)(C)∫∫ = (11-20)

11.4.2 Định lý về dòng điện toàn phần

Xét trường hợp từ trường gây bởi một dòng điện thẳng dài vô hạn (hình11-6).

Cường độ từ trường tại M được tính:

IH2 rπ

=

=> ∫∫ =(C)(C) r

dlcosα2πIldH

o

ldMα

H

(C)

I

r

P

Hình 11-6

127

∫∫ =(C)(C)

d2πIldH ϕ Suy ra:

a. Trường hợp I thuộc (C ):

IldH(C)

=∫

b. Trường hợp I không thuộc (C ):

0ldH(C)

=∫

Tổng quát: trường hợp dòng điện có hình dạng bất kỳ và (C) có hình dạng bất kỳ thì kết quả trên vẫn đúng.

Nếu H gây bởi n dòng điện thì:

∑=

=n

1iiII

Định lý: Lưu số của dọc theo một đường cong kín (C ) bất kỳ (1vòng) bằng tổng đại số cường độ của các dòng điện xuyên qua diện tích giới hạn bởi đường cong đó:

H

=∫(C)

ldH ∑=

n

1iiI (11-21)

I là dương nếu nó nhận chiều dịch chuyển làm chiều quay thuận xung quanh nó, Ii i là âm nếu ngược lại. Chú ý:

a. Khi áp dụng (10-21) ta không quan tâm đến những dòng điện không xuyên qua diện tích giới hạn bởi (C).

b. Nếu (C) bao quanh dòng điện nhiều vòng thì phải chú ý đến dấu của I đối với mỗi vòng dịch chuyển trên đường cong ấy.

11.4.3 Ứng dụng

a. Từ trường tại một điểm trong cuộn dây điện hình xuyến

Xét một cuộn dây điện hình xuyến n vòng có dòng điện cường độ I chạy qua (hình 11-7).

Để xác định cường độ từ trường H tại điểm M cách tâm ống dây một đoạn R: từ M ta vẽ một vòng tròn (C) bán kính R cùng tâm với cuộn dây .Áp dụng định lí Ampe ta có:

Do tính chất đối xứng của cuộn dây nên cường độ từ trường H tại mọi điểm trên vòng tròn (C) đều có giá trị như nhau. Áp dụng (11-21) ta được:

nIHdlldH(C)(C)

== ∫∫

128

Suy ra: H2πR = nI

nIH=2πR

Hay : (11-22)

)(C

MoR

H

I

Hình 11-7

b. Từ trường trong ống dây thẳng dài vô hạn

Một ống dây thẳng có chiều dài l rất lớn so với đường kính của ống, được xem là ống dây thẳng dài vô hạn.

Có thể xem ống dây thẳng là một phần của dòng điện hình xuyến. Do đó từ trường trong ống dây thẳng:

H = n0I (11-23)

0nn =

2πRtrong đó: là số vòng dây trên một đơn vị dài của ống dây.

11.5 Tác dụng của từ trường lên dòng điện

11.5.1 Tác dụng của từ trường lên một phần tử dòng điện-Lực Ampe

BTheo định luật Ampe, nếu tại M có véc tơ cảm ứng từ là thì lực từ tác dụng lên Id là: l

[ ]B,lIdFd = (11-24)

Fd gọi là lực Ampe.

11.5.2 Tác dụng tương hỗ giữa hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn

Xét 2 dòng điện thẳng dài vô hạn đặt song song tại M và N (hình 11-8). Dòng điện I 1Bgây ra tại M véc tơ có phương chiều như hình vẽ, độ lớn: 1

2ππIμμB 1

01 =

một đoạn l của dòng điện I2 sẽ chịu tác dụng của lực từ:

129

[ ]1221 B,lIF =

21F được xác định như hình vẽ, có độ lớn:

2ππ

lIIμμF 21021 =

=> I hút I1 2.

M N

1I 2I

21F

Xét ngược lại, ta có: I2 hút I1 : hai dòng điện cùng chiều thì hút nhau. Lý luận tương tự ta thấy hai dòng điện ngược chiều thì đẩy nhau.

11.5.3 Tác dụng của từ trường đều lên một mạch điện kín

Xét khung dây hình chữ nhật ABCD (hình 11-9).

Véc tơ cảm ứng từ vuông góc với AB và CD, B B làm với một góc α. Khung

dây ABCD cứng và chỉ quay xung quanh trục Δ. Áp dụng quy tắc bàn tay trái, ta thấy: mP

- Lực từ tác dụng lên hai cạnh AD và BC triệt tiêu nhau. - Lực từ tác dụng lên hai cạnh AB và CD có phương chiều như hình 11-10, có độ lớn bằng nhau và bằng:

FAB= FCD = F = IaB

12F

d

2B 1B

Hình 11-8

o

ldMα

H

(C)

I

r

P

Hình 11-9

130

Hai lực và tạo thành ngẫu lực làm cho khung quay xung quanh trục Δ

(hình 11-10) cho đến khi ABF CDF

mPB ↑↑ (α = 0).

Mô men của ngẫu lực đối với trục Δ có độ lớn:

μ = F.d = F.b.sinα

μ = PmBsinα (11-25)

[ ]B,Pμ m= (11-26)

11.5.4 Công của lực từ

Xét mạch điện như hình 11-11, thanh MN = l có thể trượt trên 2 thanh kim loại song song, đặt trong từ trường đều. Lực Ampe tác dụng lên thanh là: F = IBl

Khi đoạn dây dẫn l dịch chuyển một đoạn nhỏ ds, công của lực Ampe là: dA = Fds = Iblds = IbdS = Idφm

Khi đoạn dây dẫn l dịch chuyển từ vị trí (1) đến vị trí (2) thì công của lực Ampe là:

(11-27) mm IIdA

2m

1m

φΔ=φ= ∫φ

φ

φm1 và φm2 lần lượt là từ thông qua diện tích của mạch điện lúc thanh l ở vị trí 1 và ở vị trí 2. (11-27) cũng đúng cho mạch điện bất kỳ dịch chuyển trong từ trường bất kỳ.

CDF

οd

DC ≡

οBA ≡

ABF

mP

Bα α

Hình 11-10

B

A

B

F

N

'

'N

+− I

MM

Hình 11-11

131

Vậy: Công của lực từ trong sự dịch chuyển một mạch điện bất kỳ trong từ trường bằng tích giữa cường độ dòng điện trong mạch và độ biến thiên của từ thông qua diện tích của mạch đó. Ví dụ 1: Hình 11-12 vẽ mặt cắt vuông góc của hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn ngược chiều nhau. Khoảng cách giữa hai dòng điện AB = 10cm. Cường độ của các dòng điện lần lượt bằng: I1=20A, I2=30A. Xác định véc tơ cường độ từ trường tổng hợp tại các điểm M1, M2, M3. Biết M1A = 2cm; AM2 = 4cm; BM3 = 3cm. (Hai dòng điện đặt trong không khí).

A B

1I 2I

1M 3M2M

Hình 11-12

Giải Gọi và là véc tơ cường độ từ trường lần lượt do I1H 2H 1 và I2 gây ra. 1. Véc tơ cường độ từ trường tổng hợp tại điểm M1:

M1 1 2H =H +H

1H và do I2H 1 và I2 gây ra tại M1 cùng phương ngược chiều. Do đó được xác định

như hình 11-12a, độ lớn: M1H

1 2M1 1 2

1 1

I IH = H -H = -2π.AM 2π.BM

-2 -2

20 30= - 120( / )2π.2.10 2π.12.10

A m=

2. Véc tơ cường độ từ trường tổng hợp tại điểm M2:

M2 1 2H =H +H

1H và do I2H 1 và I2 gây ra tại M2 cùng phương cùng chiều. Do đó được xác định như hình 11-12a, độ lớn:

M2H

A B

1I 2I

1M 3M2M

2H

1H

M1H

1H 2HM2H

1H

M3H

2H

Hình 11-12a

132

1 2M2 1 2

2 2

I IH = H +H =2π.AM 2π.BM

+

-2 -2

20 30= 159, 23( / )2π.4.10 2π.6.10

A m+ =

3. Véc tơ cường độ từ trường tổng hợp tại điểm M3:

M3 1 2H =H +H

1H và do I2H 1 và I2 gây ra tại M3 cùng phương ngược chiều. Do đó được xác định như hình 11-12a, độ lớn:

M3H

2 1M3 2 1

3 3

I IH = H -H = -2π.BM 2π.AM

-2 -2

30 20= - 135( / )2π.3.10 2π.13.10

A m=

Ví dụ 2: Một dây dẫn được uốn thành một hình thang cân, có dòng điện cường độ I =6,28A chạy qua (hình 11-13). Tỷ lệ chiều dài hai đáy bằng 2. Tìm véc tơ cảm ứng từ tại điểm A- là giao điểm của đường kéo dài của hai cạnh bên. Cho biết đáy bé của hình thang l = 20cm, khoảng cách từ A tới đáy bé b = 5cm và dòng điện đặt trong không khí.

A

B

E

D

C

l

I

b

Hình 11-13

Giải

Vì dòng điện EB và CD có đường kéo dài đi qua A nên véc tơ cảm ứng từ do 2 dòng điện này gây ra tại A bằng 0. Véc tơ cảm ứng từ tại A chỉ bằng tổng véc tơ cảm ứng từ do hai dòng điện BC và DE gây ra. Gọi 1B là véc tơ cảm ứng từ do dòng điện

DE gây ra tại A, 2B là véc tơ cảm ứng từ do dòng điện BC gây ra tại A. Ta có:

1 2B = B + B

1B vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, có hướng đi vào và có độ lớn:

( )o1 1

μμ I 2osθ cosθ4 Rπ

= −B c (*)

133

trong đó: R = 2b (vì BC là đường trung bình của tam giác ADE);

1 2 2

lcosθ =l +(2b)

Góc và bù nhau do đó: cos = -cos . Thay các giá trị trên vào biểu thức (*), ta được:

1θ 2θ 2θ 1θ

o o1 1

μμ I μμ IB 2cosθ cosθ4 2b 4 bπ π

= = 1

02 2

μμ I l4πb l +(2b)

=

2B vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, có hướng đi ra và có độ lớn:

( )o2 1

μμ I2osθ' cosθ'

4 Rπ= −

1θ'= θ'=

B c (**)

trong đó: R = b, θ và θ 1 2 2

Thay các giá trị trên vào biểu thức (**), ta được: o o

2 1μμ I μμ IB 2cosθ 2 cosθ4 b 4 bπ π

= = 1

02 2

μμ I l24πb l +(2b)

=

So sánh B1 và B2 ta thấy: B1 < B2. Vậy B tại A có phương vuông góc với mặt phẳng hình 11-13a, có hướng đi ra và có độ lớn:

1 2B = B - B 02

μμ I l4πb l +(2b)

=2

2θ

A

B

E

D

C

l

(***)

Thay các giá trị của I, b,l vào (***) ta tính được: B ≈ 9.10-6 T

b

Hình 11-13a

I2θ

1θ

1θB

134

BÀI TẬP 11.1 Hai dây dẫn thẳng dài song song xuyên qua

và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ (hình 1). Khoảng cách giữa hai dây là 32cm, khoảng cách từ dòng điện I

M N I1 I2

+

Hình 11 đến điểm M là 8cm, khoảng cách từ dòng điện I2 đến điểm N là 8cm. Dòng điện I2 có chiều như hình vẽ và có cường độ là 5A. a. Hỏi dòng điện I1 phải có chiều và cường độ là bao nhiêu để cảm ứng từ tại N

bằng không? b. Xác định véc tơ cảm ứng từ tại điểm M trong trường hợp dòng điện I1 vừa tìm

được ở trên. Đáp số: a/ I1 = 25A và ngược chiều với I2

b/ B= 6.10-5T

A

D

B

CHình 2

11.2 Một dây dẫn được gập lại thành hình tam giác vuông cân

ADC có AD=AC=10cm (hình 2). Khung dây được đặt trong một từ trường đều cảm ứng từ B=0,01T. Cho dòng điện I=10A chạy trong khung theo chiều CADC. Xác định lực từ tác dụng lên các cạnh của khung dây.

Đáp số: FAD = FCA = 10-2N NFDC

210.41,1 −=

11.3 Một dây dẫn được uốn thành hình chữ nhật có các cạnh a=16cm, b = 30cm, có

dòng điện cường độ I = 6A chạy qua. Xác định véc tơ cường độ từ trường tại tâm của khung dây.

Đáp số: H = 27A/m 11.4 Một dây dẫn được uốn thành hình tam giác đều mỗi cạnh a = 50cm. Trong dây

dẫn có dòng điện cường độ I = 3,14A chạy qua. Xác định véc tơ cường độ từ trường tại tâm của khung dây.

Đáp số: H = 9A/m 11.5 Một khung dây tròn bán kính R = 5cm, Khung gồm 12 vòng

dây, trong mỗi vòng dây có dòng điện cường độ I = 0,5A. Xác định cảm ứng từ tại tâm của khung dây.

Đáp số: B = 7,54.10-5T 11.6 Một dây dẫn dài, đọan ở giữa được uốn lại thành một hình vòng

tròn như hình 3. Bán kính vòng tròn dây dẫn là R = 6cm. Trong

I

Hình 3

135

dây dẫn có dòng điện cường độ I = 3,75A chạy qua. Xác định véc tơ cảm ứng từ tại tâm của vòng dây.

Đáp số: B = 2,68.10-5T 11.7 Một khung dây tròn bán kính R = 10cm có dòng điện cường độ I = 1A chạy qua.

Xác định véc tơ cảm ứng từ tại: a. Một điểm trên trục của vòng dây và cách tâm O một đoạn h = 10cm. b. Tâm O của vòng dây.

-6 Đáp số: a/ BM = 2,3.10 T b/ B B0 = 6,3.10 T -6

136