CONJUNTOS

República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Fermín Toro

Vice-Rectorado AcadémicoEstructuras DiscretasCabudare Estado Lara

Autor:Antonio IseaC.I.17.011.997

Cabudare, 17 de enero de 2012

CONJUNTOS

Un conjunto es una agrupación de objetos que serán llamados elementos, se denotan con letras mayúsculas mientras que sus elementos son denotados en minúscula los cuales son encerrados entre llaves o un círculo lo que llamamos diagrama de Venn. El conjunto será universal (U) cuando contiene todos los elementos a considerar.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

• Por Extensión : Aquí se enumera cada uno de los elementos que conforman el conjunto.

A={a, b, c, d} Los elementos del conjunto A son a, b, c y d

• Por Comprensión: Se indica el rango dentro del cual se encuentran contenidos los elementos del conjunto.

B = {x Z / x = 2n siendo n un entero} Enteros ∈pares

SUBCONJUNTOS

Un subconjunto es aquel que esta contenido dentro de otro conjunto, es decir, el conjunto A es subconjunto de B si todos los elementos de A pertenecen a B y es expresado de la manera:

A   B ⇔ (   x   U) ( x   A   x   B )⊂ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈

A esto se le llama relación de inclusión y por teorema esta puede ser de tres maneras:

Reflexiva: A  ⊂  A, para todo conjunto A.Antisimétrica: A ⊂ B   B ⋀ ⊂ A ⇒ A = B.Transitiva: A ⊂ B  B⋀ ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Un conjunto A estará incluido propiamente en un conjunto B será subconjunto propio de B si y sólo si A   B y A ≠ B.⊂

El conjunto vacío de A (ɸA) es el conjunto ɸA =  { x  ⊂ A / x ≠ x } el

cual no posee elementos ya que para todo  x  ⊂ A se cumple que x = x . Este por definición es subconjunto de A.

CONJUNTO POTENCIAEl conjunto potencia o conjunto partes de A es aquel que esta formado por todos los subconjuntos de A. Sea A = {a, b, c} entontes el conjunto potencia de A será:

p(A)={{ɸ},{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}

Como puede observarse todos sus elementos son conjuntos y si A tiene n elementos entonces su conjunto potencia p(A) tendrá 2n elementos.

Este conjunto por teorema mantiene la relación de inclusión

Teorema: A ⊂ B ⇔ p(A) ⊂ p(A)

IGUALDAD DE CONJUNTOSSe dice que dos conjuntos son iguales si poseen los mismos elementos, lo cual puede comprobarse mediante el siguiente teorema:

Teorema: A = B ⇔ A   B⊂ ⋀ B A⊂

UNIÓN DE CONJUNTOS

La unión entre dos conjuntos A y B se define como todos aquellos elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.

A U B = { x  U / x A v x B}∈ ∈ ∈

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:

     i. A U A = A

     ii. A U U = U

     iii. A U ɸ = A

     iv. A U B = B U A

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

La intersección de dos conjuntos A y B esta definida por todos aquellos elementos que pertenezcan a ambos conjuntos.

A  ⋂  B = { x ∈ U / x ∈ A ⋀ x ∈ B}

Propiedades de la Intersección de Conjuntos

Sean A y B conjuntos, luego se cumple:

      i. A ⋂ A = A

      ii. A ⋂ U = A , donde U es el conjunto universal

      iii. A ⋂  ɸ  =  ɸ

      iv. A  ⋂  B = B ⋂ A

DIFERENCIA Y COMPLEMENTO

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se nota por A - B.

A - B = {x U / x A x B}∈ ∈ ∧ ∉

El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Se nota C(A).

C(A) = {x U / x A}∈ ∉

Diferencia simétrica

AD B = (A-B) U (B-A)

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:

(AUB) - C = (A - C) U (B - C)

(A ⋂ B) - C = (A - C) ⋂ (B - C)

(AD B) - C = (A - C) D (B - C)

A ⋂ ( B - C) = (A ⋂ B) - (A ⋂ C)

(B - C) ⋂ A = (B ⋂ A) - (C ⋂ A)

TEOREMAS

Sean A y B dos conjuntos luego:

A - B = A C(B)⋂C(C(A)) = A

AUC(A) = U

AI C(A) = ɸ

C(U) = ɸ

C(ɸ) = U

Leyes de De Morgan para conjuntos

i. C(AUB) = C(A) C(B) ⋂ii. C(A B) = C(A) U C(B)⋂

ALGEBRA DE CONJUNTOS1. Leyes de Idempotencia

A U A = A ∩ A = A

2. Leyes Asociativas

a. A (B C) = (A B) C∪ ∪ ∪ ∪ b. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. Leyes Conmutativas

a. A B = B A∪ ∪ b. A ∩ B = B ∩ A

4. Leyes Distributivas

a. A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A ∪ ∪ ∪C)

b. A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ ∪ ∪C)

5. Leyes de Identidad

a. A = A∪ ∅

b. A ∩ = ∅ ∅6. Leyes de Dominación

a. A U = U U: conjunto ∪universal

b. A ∩ U = A

7. Leyes de Complementación

a. A ∪ C(A) = U

b. C(U) = ∅ c. A ∩ C(A) = ∅ d. C(∅) = U

8. Leyes de De Morgan

a. C(A B) = C(A)∩ C (B)∪

b. C(A ∩ B) = C(A) C(B∪ )

PRODUCTO CARTESIANO

El conjunto producto ó producto cartesiano de dos conjuntos A y B, el cual se denota AxB, es l conjunto formado por pares ordenados (a,b) de la forma:

AxB = {(a, b) / a A ∈ ⋀ b B}∈

Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:

A x (BUC) = (A x B) U (A x C)

A x (B C) = (A x B) (A x C)⋂ ⋂A x(B -C) = (A x B) - (A x C)

FAMILIA INDIZADA DE CONJUNTOS

Se refiere a la familia de conjuntos {A1, A2,…, An} la cual será denotada de la forma {Ai}i I∈ donde I es el conjunto de índices I = {1,2,…,n}

Para cualquier familia indizada de conjuntos, se define:• La unión de esta familia como el conjunto

U Ai = {x U / i I : x A∈ ∃ ∈ ∈ i} i I∈

• La intersección de esta familia como el conjunto

⋂ Ai = {x U / i I : x A∈ ∀ ∈ ∈ i}

i I∈

PARTICIÓN

Se refiere a una familia de conjuntos {Ai}i I∈  de U donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da U.

CARDINALIDAD

Un conjunto se dice que es finito si se pueden contar sus elementos, es decir, contiene n elementos donde n representa un número natural.

El cardinal de un conjunto finito A denotado #A será n si A tiene n elementos #A = n. Para un conjunto vacío su cardinal será 0

Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos:

       i. B - A) = #B - #(A B)⋂       ii. #(AUB) = #A + #B - #(A  B)⋂

Teorema: Si A, B y C son tres conjuntos finitos entonces

#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(A  B) - #(A  C) - #(B C) + #(A ⋂ ⋂ ⋂ B  C).⋂ ⋂