Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

I) Números Naturais

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros

Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

III) Números Racionais

- São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Zcom b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,...

-Números decimais exatos são racionais

Pois 0,1 = 1/10

2,3 = 23/10 ...

- Números decimais periódicos são racionais.

0,1111... = 1/9

0,3232 ...= 32/99

2,3333 ...= 21/9

0,2111 ...= 19/90

-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

IV) Números Irracionais

- São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

-São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Exs:

V) Números Reais

- É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Resumindo:

Intervalos :

Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.

Intervalo fechado nos extremos a e b:

=

Intervalo fechado em a e aberto em b:

Intervalo aberto em a e fechado em b:

Intervalo aberto em a e b:

Temos também:

Exercícios

Esta seção contém exercícios relacionados à matéria apresentada, onde estão divididos de acordo com suas especificidades. Para aprendermos matemática, não devemos ficar "mergulhados" em teorias e explicações. Devemos expor nossos conhecimentos na prática, ou seja, na resolução de muitos exercícios. Portanto, mãos à obra!

Matemática simples e objetiva

Conjuntos Numéricos

Exercícios resolvidosSendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo:

a)

Analisando as retas abaixo, constatamos que a intersecção entre A e B é dada pela área compreendida entre as retas azuis.

Logo: = [3;7]

b)

Novamente analisando as retas, constamos que a união entre A e B é dada pela área compreendida entre as retas vermelhas, não contando 9, pois [3;9[

Logo: = [1;9[

Represente na reta real os intervalos:

a) [1;7]

b) [3;9[

Note que não inclui o ponto 9.

1) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine:

a)

b)

2) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine:

a)

b)

3) Represente na reta real os seguintes intervalos:

a) ]-3;4]

b) [1;4]

c) [2; [

d) ]- ;1] Matemática simples e objetiva

Cálculo Algébrico

1) Calcule:

Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 = x²+6x+1

a) (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c)

b) (3x²-1/3) - (6x²-4/5)

c) (2a-3ab+5b) - (-a-ab+2b)

2) Efetue e simplifique:

Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3

a) (2a+3b).(5a-b)

b) (x-y).(x²-xy+y²)

c) (3x-y).(3x+y).(2x-y)

3) Simplifique:

Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy

a) 8a³b²/2ab²

b) 4a³-2a²+8a / 2a

c) 18x³y²/6x²y³

4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é:(a) 100(b) 50(c) 250(d) -150(e) -200

5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a:(a) -0,1(b) 0,2(c) -0,3(d) 0,4(e) -0,5


Produtos Notáveis

1) Calcule os produtos notáveis:a) (a+2)(a-2)

b) (xy+3z)(xy-3z)

c) (x²-4y)(x²+4y)

d)

e) (x+3)²

f) (2a-5)²

g) (2xy+4)²

h)

i) (x+4)³

j) (2a+b)³

l) (a-1)³

Exercício resolvido: Calcule 41.39 usando um produto notável.(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599

2) Calcule 101.99 usando um produto notável.


Fatoração

1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência:

Exemplos:ax+2a = a(x+2)

a²-b² = (a+b)(a-b)

a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²

2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)

a) 3ax-7ay

b) x³ -x² + x

c) x³y² + x²y² + xy²

d) a²b² - ab³

e) a² + ab + ac + bc

f) x² - b²

g) x²-25

h) (x²/9 - y²/16)

i) x² + 4x + 4

j) a² + 6ab + 9b²

l) 144x²-1

m) ab + ac + 10b + 10c

n) 4a² - 4

o) x³y - xy³

p) x² + 16x + 64

q) 2x² + 4x + 2

r) ax³ + 2a²x² + a³x

Resolução do exercício e) a² + ab + ac + bc = a.(a+b) + c.(a+b) = (a+b).(a+c)


Frações Algébricas

1) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de:a) (x²-9) e (x²+6x+9)

b) (x²+x), (x²-x) e (x³-x)

c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4)

2) Simplifique:

a)

b)

c)

d)

3) Efetue:

a)

b)

4) Efetue as multiplicações:

a)

b)

c)

d)

e)

5) Efetue as divisões:

a)

b)

c)

d)


Equação do 1º grau

1) Resolva as seguinte equações:

Exemplo: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1Aplicando a propriedade distributiva:4x+14+9x-15=12x+15-14x+9x-12x=15-1+15-14x=15Portanto V={15}

a) 2x-3=17

b) 4x+7=x-8

c) 3-7(1-2x)=5-(x-9)

d) 3-7(1-2x)=5-(x-9)

e) [Sugestão]: Ache o mmc e elimine o denominador

f)

g)

Respostas: e)1; f)2/7; g)15/2


Sistemas de Equações

1) Resolva os seguintes sistemas:

a)

b)

c)

d)

2) Problemas com sistemas já montados:a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pes. Quantas são as galinhas e os coelhos?x+y=232x+4y=82

b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?x+y=25x-y=13

c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?x+y=50x=2y-1

d) Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa?x+y=50x=1/4y

e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira?x=2yx+y=30

3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?(A) 20g(B) 25g(C) 35g(D) 40g(E) 45g

4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do

número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a:(A) 18(B) 25(C) 30(D) 45(E) 60

Respostas dos testes: 3)C, 4)D


Problemas I

Exercício resolvido: O problema clássico das torneirasUma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque?

Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora:

A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanque

A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6

Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t = V

Portanto t = 6horas

1) (Fuvest) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determine o número.

2) (Vunesp) Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcule a importância.

3) (Unicamp) Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número.

4) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57.

5) (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um lote de peças iguais, um comerciante pagou R$8.000,00 a naus do que pagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preço do lote todo?

6) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque?

Respostas: 1)12; 2)R$200.000,00; 3)9; 4)28 e 29; 5) R$30.000,00; 6) 4min


Raízes e Radicais

1) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não exista, escreva: não existe.

a) h)

b) i)

c) j)

d) l)

e) m)

f) n)

g) o)

Não existem: (b), (h)

2) Aplicação de propriedades:

Exemplo 1:

a)

b)

c)

d) [Nota]: 25 = 5²

e)

Exemplo 2:

f)

g)

[Nota]:

h)

i)

j)

Exemplo 3:

l)

m)

n)

Exemplos 4: ;

o)

p)

q)

r)

Exemplo 5:

s)

t)

Exemplo 6:

u)

v)

x)

z)

Exemplo 7:

a`)

b`)

c`)

d`)

Exemplos 8:

e`)

f`)

g`)

h`)

i`)


Potenciação

1) Efetue, observando as definições e propriedades:

a) (-2)³ i)

b) j) (0,5)³

c) 500¹ l) 15¹

d) 100º m)

e) 0³ n)

f) 0ºo)

g) p)

h) q)

2) (Fuvest) O valor de , é:(a) 0,0264(b) 0,0336(c) 0,1056(d) 0,2568(e) 0,6256

3) (Fei) O valor da expressão é:(a) -5/6(b) 5/6(c) 1(d) -5/3(e) -5/2

4) (UECE) O valor de é(a) -15/17

(b) -16/17(c) -15/16(d) -17/16

5) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão , obtém-se:(a) 0,16(b) 0,24(c) 1,12(d) 1,16(e) 1,24

Respostas dos testes: 2) B; 3) E; 4)B; 5) D


Racionalização

1) Racionalize o denominador de cada fração:

a) p)

b) q)

c) r)

d) s)

e) t)

f) u)

g) v)

h) w)

i) x)

j) y)

k) z)

l) a`)

m) b`)

n) c`)

o) d`)

2) (Fuvest)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Resp: 2)D


Equação do 2º grau

1) Complete o quadro conforme o exemplo:

EquaçãoCoeficientes

a b c6x²-3x+1=0 6 -3 1-3x²=5/2+4x y²=5y 6x²=0

2) Determine as raízes das seguintes equações:a) x²-3x+2=0

b) 2y²-14y+12=0

c) -x²+7x-10=0

d) 5x²-x+7=0

e) y²-25=0

f) x²-1/4=0

g) 5x²-10x=0

h) 5+x²=9

i) 7x²-3x=4x+x²

j) z²-8z+12 = 0

2) Determine o valor de k nas equaçoes, de modo que:a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais

b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais

c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais

d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes

3) Complete o quadro:Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a

EquaçãoSoma das raízes

Produto das raízes

x² - 6x + 9 = 0 6 9x² - 2x + 3 = 0 2x² + 5x - 8 = 0 x² + 5x -24=0 -5 24 5 -6 -6 -3

4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:

a) x² - (a+1) + x = 0

b) x² - (a+m) + am = 0

c) y² - by - 2b³ = 0

d) ax² - (a²+1) + a = 0

e) x² - 3rx + 2r² = 0

6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:

a)

b)

c)

d)

e)

7) Resolução de equações irracionais:

Primeiramente devemos eliminar o radical

Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical

Exemplo:

x - 1 = x² - 6x + 9

x² - 7x +10 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2

Verificacão: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se a igualdade é satisfeita

Para x=5

1º membro:

2º membro: x-3 = 5-3 = 2

Como o 1º membro é igual ao 2º membro, x=5 é solução da equação

Para x`=2

1º membro:

2º membro: x-3 = 2-3 = -1

Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação

Portanto, V={5}

Nunca esqueçam de fazer a verificação...

a)

b)

c)

d)

e)

8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é?

Resposta: 8) 11


Problemas II

1) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número?

2) Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?

3) A metade do quadrado de um número menos o dobro desse número é igual a 30. Determine esse número.

4) Se do quadrado de um número subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse número?

5) O produto de um número positivo pela sua terça parte é igual a 12. Qual é esse número?

6) Determine dois números consecutivos ímpares cujo produto seja 195.

7) A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um?

8) Qual é o número inteiro positivo cuja metade acrescida de sua terça parte é igual ao seu quadrado diminuído 134?

9) Calcule as dimensões de um retângulo de 16cm de perímetro e 15cm² de área.

10) A diferença de um número e o seu inverso é 8/3. Qual é esse número?


Função do 1º grau

1) Represente graficamente a função definida por:

a) f(x) = 2x-1

b) f(x) = -1/2x+3

c) f(x) = 4x

d) f(x) = 1/3x+2

e) f(x) = -3x+6

2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações:

a) f(x) = 2x+5

b) f(x) = -x+2

c) f(x) = 1/3x+3

d) f(x) = 1-5x

e) f(x) = 4x

Exercício resolvido:

Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo:

Uma equação do 1º grau é definida por y=ax+b com

Pelo gráfico, concluímos:

Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2

Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função)

Substituindo os valores em y=ax+b:

0 = -4a + 2

a = 1/2

Logo, a expressão é y = 1/2x+2.

3) As figuras abaixo representam os gráficos de funções, de R em R, determine as expressões que as definem.

a)

b)

Respostas: 3: a) y= -1/2x+2; b) y = x-1


Função do 2º grau

1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa:

a) f(x)= x² - 4x + 5

b) f(x)= x² +4x - 6

c) f(x)= 2x² +5x - 4

d) f(x)= -x² + 6x - 2

e) f(x)= -x² - 4x +1

2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes:

a) f(x)= 3x² - 7x + 2

b) f(x)= -x² + 3x - 4

c) f(x)= -x² + 3/2x + 1

d) f(x)= x² -4

e) f(x)= 3x²

Não existe zeros em (b)

3) Construa o gráfico das seguintes funções:

a) f(x)= x² - 16x + 63

b) f(x)= 2x² - 7x + 3

c) f(x)= 4x² - 4x +1

d) f(x)= -x² + 4x - 5

e) f(x)= -2x² +8x- 6

4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t.a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?[Nota]: observem o vértice

b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?

c) Esboce o gráfico que represente esta situação.

Respostas: 4: a)4s; b) 16m

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