1

MAT IICONTINUIDADcarreras empresariales

2

3

Wplotsp.exe

4

5

)()(lim)(limen continua f afxfxfaxesaxax

6

5

6

7

Discontinuidad Remediable o Reparable o eliminable

EJEMPLO Analizar el tipo de discontinuidad en el punto dado

1

2

8

NIVEL REPRODUCTIVO

TALLER 8 = DEBER 8

1

2

3

9

NIVEL TRANSFERENCIAL

4

5

10

6

11

NIVEL CRITICO

7

8 Determinar A y B de modo que f sea continua en R

6563

63

1

133

13

13

2 xbxAx

xx

xsen

xbxxA

xf

cos

)(

12

LA DERIVADA

http://www.vitutor.com/calculo.html

13

CONCEPTO DE DERIVADA

(Definición) Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada , se define por :'( )

dyo f x

dx

0 0

( ) ( )lim limx x

dy y f x x f x

dx x x

Siempre que el límite exista

( )f x x

(1) Calcular la derivada de una constante

(2) Calcular la derivada de

( )f x a

(3) Calcular la derivada de 2( )f x x

14

REGLAS DE DERIVACIÓN

Derivada de una potencia de base x y exponente real n

1( ) '( )n nf x x f x nx [1]

Ejemplo ( i ) 3( )f x x (ii)

1

2( )f x x

[2]1 1

( ) ( ) '( ) '( )n n

i ii i

f x f x f x f x

Ejemplo ( i )

14 23( )f x x x x

Derivada de una suma de funciones

Demostración:…….

15

EVALUACIÓN DE UNA DERIVADA

Evaluar la derivada de en el punto

2( )f x x 1x

1'( ) 2 2(1) 2

xf x x

Este número 2 tiene varias interpretaciones algunas de ellas son

(1)La pendiente de la recta tangente a f(x) en x=1

(2) Si f(x)=función costo, f’(1) es el costo marginal

(3) Si f(x)= función ingreso, f’(1) es el ingreso marginal

(4) Si f(x) = función utilidad, f’(1) es la utilidad marginal

16

Una constante por la función

[3] ( ) ( ) '( ) '( )y x kf x y x kf x Siendo k un número real

Ejemplo: derivar 3( ) 2y x x

Una constante pura

[4] 0' yky Donde k representa una constante

Ejemplo: derivar 7)( xf

5ln

54)( xf

a)

b)

17

[5] ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )y x f x g x y x f x g x f x g x

Ejemplo: derivar 7 2 1( ) 7 3y x x x x

Derivada de un producto

Derivada e un cuociente

[6] 2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) '( )

( ) ( )

f x f x g x f x g xy x y x

g x f x

Ejemplo: derivar

2 2

4

[1 ]( )

x xy x

x

Demostración:…….

18

[7]

Ejemplo: derivar

Derivada de logaritmo natural

[8]

Ejemplo: derivar

Derivada de logaritmo en base a

xyxy

1'ln

xy ln3

axyxy a ln

1'ln

xy 2ln

19

[9]

Ejemplo: derivar

Derivada de una exponencial base e

[10]

Ejemplo: derivar

Derivada de una exponencial base e

xx eyey '

xey

aayay xx ln'

xy 2

xexy a) b)

b)a) 3

2

xy

x

20

[11]

Ejemplo: derivar

Derivada de función seno

[12]

Ejemplo: derivar

Derivada de función coseno

xysenxy cos'

xy cos5

xy cos3

senxxy 4a) b)

b)a)x

yx

cos

2

senxyxy 'cos

21

REGLA DE LA CADENA

EJEMPLO

xxxgxxf 3)()(

Hallar la derivada de f(g(x))

22

[13] 1( ) ( ) '( ) ( ) '( )

n ny x f x y x n f x f x

Siendo n un número real distinto de 0

32( ) 4 3 5y x x x

función como base

[14]

función como ángulo

xxseny 3

)(')(cos')( xfxfyxfseny

Ejemplo: derivar

Ejemplo: derivar

2323

[15] ( ) ( )( ) '( ) '( )f x f xy x e y x e f x

Ejemplo: derivar

3

( ) x xy x e

Derivada funcion como exponente de una exponencial base e

[16] ( ) ( )( ) '( ) lnf x f xy x a y x a a

Ejemplo: derivar

1( ) 3x xy x

Derivada funcion como exponente de una exponencial base a

24

[17] 1( ) ln ( ) '( ) '( )

( )y x f x y x f x

f x

Ejemplo: derivar

2( ) ln 3y x x

Derivada de logaritmo natural de una función

[18] 1 1( ) log ( ) '( ) '( )

ln ( )ay x f x y x f xa f x

Ejemplo: derivar

32( ) log 2y x x x

Derivada de logaritmo en base a de una función

25

26

27

28

TALLER 9 = DEBER 9

NIVEL REPRODUCTIVO

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/calculo%20de%20derivadas.pdf

29

NIVEL TRANSFERENCIAL

30

NIVEL CRITICO

31

EJEMPLOS

TEOREMA

1

2

0

0)(

xx

xxxxf

x

y

Demostración:…….

32

GUIA DE REFUERZO

33

GUIA DE REFUERZO

34

EJEMPLO DE UNA FUNCIÓN NO DERIVABLE

x

y

35

DERIVADA EN UN PUNTO

SITUACIONES

36

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

37

TALLER 10 = DEBER 10

38

DERIVADA IMPLÍCITA• Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y si no que la relación entre x y y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo miembro derecho puede quedar igual a cero

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y . Basta derivarMiembro a miembro utilizando las reglas dadas hasta ahora

39

EJEMPLOS

40

TALLER 11 = DEBER 11