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Geometría y ArteGeometría y Arte

El nacimiento de la Geometría El nacimiento de la Geometría ProyectivaProyectiva

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Pintura medievalPintura medieval

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El renacimientoEl renacimiento

La necesidad de representar el espacio La necesidad de representar el espacio tridimensional sobre el plano da lugar a la tridimensional sobre el plano da lugar a la aparición de la aparición de la perspectivaperspectiva en el Renacimientoen el Renacimiento

Precursores: Precursores: Fra-Angelico (1378-1455)Fra-Angelico (1378-1455) F. Brunelleschi (1377-1446)F. Brunelleschi (1377-1446) T. Masaccio (1401-1422)T. Masaccio (1401-1422) L.B. Alberti (1404-1472)L.B. Alberti (1404-1472)

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Masaccio Masaccio (1401-1422)(1401-1422)

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Leon Battista Alberti Leon Battista Alberti (1404-1472)(1404-1472) Arquitecto, escritor y pintorArquitecto, escritor y pintor Escribe el primer tratado que describe la perspectiva: Escribe el primer tratado que describe la perspectiva:

““Della Pintura”: “La circunscripción son aquellas líneas que circunscriben el Della Pintura”: “La circunscripción son aquellas líneas que circunscriben el ámbito de los contornos en pintura. .... Un velo de hilo tenuísimo dividido con ámbito de los contornos en pintura. .... Un velo de hilo tenuísimo dividido con gruesos hilos en porciones cuadradas paralelas y distendido en un telar. Lo situo gruesos hilos en porciones cuadradas paralelas y distendido en un telar. Lo situo entre el objeto a pintar y el ojo ...”entre el objeto a pintar y el ojo ...”

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CuadrículaCuadrícula

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Piero de la Francesca (1420-1492)Piero de la Francesca (1420-1492)

Matemático, además de artista, autor de Matemático, además de artista, autor de “Tratatto d’abaco” “Tratatto d’abaco” que incluye materiales de aritmética y álgebra. que incluye materiales de aritmética y álgebra.

Su obra Su obra “Libro corto sobre los cinco sólidos regulares” “Libro corto sobre los cinco sólidos regulares” es es utilizado ampliamente por Luca Pacioli en su tratado utilizado ampliamente por Luca Pacioli en su tratado “Divina proportione” “Divina proportione” (con ilustraciones de Leonardo). (con ilustraciones de Leonardo).

Su obra principal en este contexto es Su obra principal en este contexto es “Sobre la perspectiva “Sobre la perspectiva para la pintura” para la pintura” (3 vols. ~1460). En ella se concentra en (3 vols. ~1460). En ella se concentra en los principios matemáticos de la perspectiva. los principios matemáticos de la perspectiva.

Establece numerosos teoremas geométricos, al estilo de Establece numerosos teoremas geométricos, al estilo de Euclides, pero proporciona ejemplos numéricos. Euclides, pero proporciona ejemplos numéricos.

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Leonardo da VinciLeonardo da Vinci

Ayuda al matemático Luca Pacioli en su Ayuda al matemático Luca Pacioli en su libro libro “La divina proporción”.“La divina proporción”.

Autor de Autor de “Tratatto della pintura” “Tratatto della pintura” ““La perspectiva es el freno y timón de la pintura. La pintura se basa La perspectiva es el freno y timón de la pintura. La pintura se basa

en la perspectiva, que no es otra cosa que un conocimiento perfecto en la perspectiva, que no es otra cosa que un conocimiento perfecto de la función del ojo”de la función del ojo”

““Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo”Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo”““No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar alguna de las No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar alguna de las

ciencias matemáticas”ciencias matemáticas”

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Leonardo da VinciLeonardo da Vinci

Domina por completo la perspectiva. Experto Domina por completo la perspectiva. Experto en otras formas de transmitir profundidad como en otras formas de transmitir profundidad como el el “sfumatto” “sfumatto” y el y el “claroscuro”.“claroscuro”.

Sus obras más conocidas son Sus obras más conocidas son La GiocondaLa Gioconda y y

La Santa CenaLa Santa Cena Arquitecto, científico, ingeniero, inventor, …. Arquitecto, científico, ingeniero, inventor, ….

Destacan sus estudios de anatomía, hidraulica, Destacan sus estudios de anatomía, hidraulica, aerodinámica, geología, meteorología,… aerodinámica, geología, meteorología,…

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La Santa Cena (restaurada)La Santa Cena (restaurada)

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La Santa Cena (perspectiva)La Santa Cena (perspectiva)

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Alberto Durero (1471-1528)Alberto Durero (1471-1528)

Reflexiona y escribe sobre las técnicas de la Reflexiona y escribe sobre las técnicas de la perspectiva que había adquirido en Italia. perspectiva que había adquirido en Italia.

Describe minuciosamente diferentes técnicas de Describe minuciosamente diferentes técnicas de realización de la perspectiva. realización de la perspectiva.

Son famosas sus Son famosas sus “máquinas perspectivas” “máquinas perspectivas” descritas y descritas y representadas en sus grabados con detalle. representadas en sus grabados con detalle.

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Durero grabadosDurero grabados

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1) Velo o ventana1) Velo o ventana

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2) Perspectímetro de 3 hilos2) Perspectímetro de 3 hilos

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3) Perspectímetro de Keser3) Perspectímetro de Keser

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4) Red4) Red

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Perspectiva, s. XVIIIPerspectiva, s. XVIII

Taylor y Lambert (s. XVIII) escribieron los Taylor y Lambert (s. XVIII) escribieron los trabajos definitivos sobre la perspectiva. trabajos definitivos sobre la perspectiva.

Taylor. Prescinde de la perpendicularidad Taylor. Prescinde de la perpendicularidad mediante 4 planos: base, cuadro, horizonte mediante 4 planos: base, cuadro, horizonte (paralelo a la base) y director (paralelo al cuadro). (paralelo a la base) y director (paralelo al cuadro).

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Límites de la perspectivaLímites de la perspectiva

Teorema (Pohlke): Teorema (Pohlke): Dados 3 segmentos en el plano, no colineales Dados 3 segmentos en el plano, no colineales de longitus dada que se cortan en un punto, entonces existen 3 de longitus dada que se cortan en un punto, entonces existen 3 segmentos en el espacio, de igual longitud y perpendiculares dos a segmentos en el espacio, de igual longitud y perpendiculares dos a dos de manera que los 3 primeros son una proyección de los dos de manera que los 3 primeros son una proyección de los segundos. segundos.

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AnamorfismosAnamorfismos

Figuras Figuras “deformadas” “deformadas” que que sólo se ven correctamente sólo se ven correctamente desde determinada desde determinada posición. La técnica posición. La técnica resulta de los estudios resulta de los estudios sobre la perspectiva. Hay sobre la perspectiva. Hay estudios en Leonardo y estudios en Leonardo y cuadros que la usan, por cuadros que la usan, por ejemplo de Holbein.ejemplo de Holbein.

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Holbein (anamorfismos)Holbein (anamorfismos)

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Absurdos: HogarthAbsurdos: Hogarth

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Absurdos: EscherAbsurdos: Escher

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Los primeros MatemáticosLos primeros Matemáticos

Desargues (1591-1661). Desargues (1591-1661). “Tratado sobre las secciones cónicas”. “Tratado sobre las secciones cónicas”. Solo comprendido por Fermat, Descartes, Mersenne y Solo comprendido por Fermat, Descartes, Mersenne y Pascal. Usa términos botánicos.Pascal. Usa términos botánicos. Punto del infinito, Teorema de Desargues, razón doble, Punto del infinito, Teorema de Desargues, razón doble,

involución, cuaterna armónica, polares…involución, cuaterna armónica, polares…

Pascal (1623-1662). Pascal (1623-1662). “Essay sur les coniques”. “Essay sur les coniques”. Teorema de Teorema de Pascal. Pascal.

La Hire (1640-1718). Intentó demostrar la superioridad La Hire (1640-1718). Intentó demostrar la superioridad de los métodos sintéticos en geometría. de los métodos sintéticos en geometría.

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Teorema de DesarguesTeorema de Desargues

DDos triángulos son os triángulos son perspectivos si y sólo si los perspectivos si y sólo si los lados correspondientes se lados correspondientes se cortan en puntos alineados.cortan en puntos alineados.

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CónicasCónicas

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Teorema de PascalTeorema de Pascal

PapusPapus

Pascal: Pascal: Si un hexágono está Si un hexágono está inscrito en una cónica, los inscrito en una cónica, los puntos de intersección de lados puntos de intersección de lados opuestos están alineados. opuestos están alineados.

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El renacer de la geometría sintéticaEl renacer de la geometría sintética

Los métodos sintéticos (y la geometría Los métodos sintéticos (y la geometría proyectiva) permanecen en el olvido hasta proyectiva) permanecen en el olvido hasta finales del XVIII. finales del XVIII.

Monge (1746-1818), Brianchon (1785-1864).Monge (1746-1818), Brianchon (1785-1864). Poncelet (1788-1868). El primer campeón de la Poncelet (1788-1868). El primer campeón de la

geometría sintética. geometría sintética. “Traité sur les proprietés “Traité sur les proprietés projectives des figures”projectives des figures” Homología, principio de continuidad, polaridad.Homología, principio de continuidad, polaridad.

Gergonne (1771-1859): Principio de dualidad.Gergonne (1771-1859): Principio de dualidad.

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DualidadDualidad

Cónica dualCónica dual

Polar de un punto y Polar de un punto y polo de una recta polo de una recta respecto de una respecto de una cónica. cónica.

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Teorema de BrianchonTeorema de Brianchon

Si un hexágono está circunscrito a una cónica, sus diagonales son concurrentes en un punto

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Geometría sintéticaGeometría sintética

Chasles (1793-1880). Practicante del método Chasles (1793-1880). Practicante del método mixto: probaba analíticamente sus resultados, mixto: probaba analíticamente sus resultados, pero los presenta analíticamente. pero los presenta analíticamente.

Steiner (1796-1863). Apóstol de los métodos Steiner (1796-1863). Apóstol de los métodos sintéticos. Generación de las cónicas a partir de sintéticos. Generación de las cónicas a partir de homografías de haces de rectas. Se negó a usar homografías de haces de rectas. Se negó a usar elementos imaginarios. Polémico y extremista de elementos imaginarios. Polémico y extremista de los métodos didácticos. los métodos didácticos.

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Métodos algebraicosMétodos algebraicos

Möbius (1790-1868). Coordenadas baricéntricas. Möbius (1790-1868). Coordenadas baricéntricas. Plücker (1801-1868). Coordenadas homogéneas, Plücker (1801-1868). Coordenadas homogéneas,

coordenadas de rectas, establece rigurosamente coordenadas de rectas, establece rigurosamente el principio de dualidad. Debido a las disputas el principio de dualidad. Debido a las disputas con Steiner abandona la Geometría y se dedica a con Steiner abandona la Geometría y se dedica a la Física. la Física.

Feuerbach, Bobillier, … Feuerbach, Bobillier, …

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MadurezMadurez

von Staudt (1798-1867). Desarrolla la Geometría von Staudt (1798-1867). Desarrolla la Geometría proyectiva independientemente de las proyectiva independientemente de las propiedades métricas. Usa el axioma de las propiedades métricas. Usa el axioma de las paralelas, Klein (1849-1925) lo eliminaría paralelas, Klein (1849-1925) lo eliminaría posteriormente. posteriormente.

Laguerre (1834-1886) y Cayley (1821-1895): Laguerre (1834-1886) y Cayley (1821-1895): Cónica del absoluto, la geometría Euclídea se Cónica del absoluto, la geometría Euclídea se deduce de la proyectiva. deduce de la proyectiva. “La geometría proyectiva es “La geometría proyectiva es toda la geometría” (Cayley)toda la geometría” (Cayley)

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MadurezMadurez

Klein (1849-1925). El concepto de grupo en geometría. Klein (1849-1925). El concepto de grupo en geometría. “Programa de Erlangen”. “Programa de Erlangen”. Las diversas geometría (euclídea, Las diversas geometría (euclídea, hiperbólica, … ) se estudian como sub-geometrías de la hiperbólica, … ) se estudian como sub-geometrías de la proyectiva. proyectiva.

Pasch: primer intento de axiomatización. Pasch: primer intento de axiomatización. Peano, Enriques, Whitehead: concluyen la Peano, Enriques, Whitehead: concluyen la

fundamentación axiomática. fundamentación axiomática. Veblen-Young: Primer texto con la axiomatización Veblen-Young: Primer texto con la axiomatización

completa y en el que se plasman las ideas de Klein de completa y en el que se plasman las ideas de Klein de hacer de la proyectiva el marco general de las geometrías. hacer de la proyectiva el marco general de las geometrías.

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Plano hiperbólico (Klein)Plano hiperbólico (Klein)

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Topología del plano proyectivoTopología del plano proyectivo

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Topología del plano proyectivoTopología del plano proyectivo

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Topología del plano proyectivoTopología del plano proyectivo

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Superficie de BoySuperficie de Boy