GIAI TICH12 -Phan VI - Khao sat HS Da thuc

August 16 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro

Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp

Biên tập PPS : vinhbinhpro

http:my.opera.com/vinhbinhpro

Phần VI Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức

http://my.opera.com/vinhbinhpro

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

lim ( ) ; lim ( )xx

f x f x

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số .

Bước 2: Xét chiều biến thiên của hàm số .

i) Tính đạo hàm y’(x) - Giải phƣơng trình y’(x) = 0

( tìm tất cả các điểm mà tại đó y’ = 0 hay đạo hàm không xác định )

ii) Xét dấu y’(x) - Suy ra chiều biến thiên của hàm số

iii) Tìm cực trị của hàm số (nếu có)

iv) Tìm - Tìm tất cả các đƣờng tiệm cận (nếu có)

Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số ( tổng kết các kết quả ở trên vào bảng này )

Bước 4 : Vẽ đồ thị của hàm số .

* Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có )

* Xác định một số điểm đặc biệt nhất là giao điểm của đồ thị với trục tọa độ.

* Chỉ ra trục và tâm đối xứng (nếu có)

Có thể bỏ qua

phần này nếu phép

tính phức tạp

Khảo sát hàm số bậc 33 2

( 0, , , )y ax bx cx d a b c d R

Bƣớc 1 : Tập xác định : D = R

Bƣớc 2 : 2' 3 2y ax bx c

24 3b ac

∆ > 0

' 0 ( )x a

y a bx b

∆ 0

1 21. ' 00 y x x

y’ luôn cùng dấu với a , x

2. ∆ < 0 : y’ luôn cùng dấu với a , x R

y’ = 0 có 2 nghiêm phân biệt y’ = 0 có nghiệm kép hay vô nghiệm

Lướt chuột vào đây để xem tiếp Click chuột vào đây để xem tiếp

Giải phương trình y’ = 0

Khảo sát hàm số bậc 3 *

lim limxx

y y

a > 0 ' 0 ( )x a

y a bx b

x

y’

y

- ∞ +∞a b

0 0+ +

CĐCT

+∞- ∞

0'' 6 2 '' 0

3

by ax b y

ax

a < 0

+∞ba- ∞

0 0

x

y’

y

+

CTCĐ

- ∞

+∞

lim limxx

y y

2

0

3

0 0 0ax bxy cx d

Điểm uốn :0 0

;I x y

II

Điểm

đặc biệt Điểm đặc

biệttrở về

Khảo sát hàm số bậc 3 **

Biên tập pps : vinhbinhpro

∆ < 0a > 0 a < 0

x

y’

y

x

y’

y

- ∞ +∞

+

- ∞ +∞

lim limxx

y y lim limxx

y y

+∞

- ∞- ∞

+∞

0'' 6 2 '' 0

3

by ax b y

ax

2

0

3

0 0 0ax bxy cx d Điểm uốn : 0 0

;I x y

0 0;I x y

0 0;I x y

trở về

Khảo sát hàm số bậc 3 ***


∆ = 0a > 0 a < 0

x

y’

y

x

y’

y

- ∞ +∞

+

- ∞ +∞

lim limxx

y y lim limxx

y y

+∞

- ∞- ∞

+∞

0'' 6 2 '' 0

3

by ax b y

ax 2

0

3

0 0 0ax bxy cx d Điểm uốn : 0 0

;I x y

0 0;I x y

0 0;I x y

trở về

+ 0 0

α α

Chú ý :

Biên tập pps:vinhbinhpro

Để việc vẽ đồ thị hàm số đƣợc chính xác ta cần bổ sung KiẾN THỨC về :

1. (a ; b) là khoảng lồi của đồ thị (C) Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía trên (C)

2. (a ; b) là khoảng lõm của đồ thị (C) Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía dƣới (C)

3. Điểm tiếp giáp giữa khoảng lồi và khoảng lõm của (C) gọi là ĐIỂM UỐN của (C)

* ĐỊNH LÝ : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( a ; b )

''( ) 0 ; ;xf a bx Đồ thị (C) LỒI trên ( a ; b )

''( ) 0 , ;xf a bx Đồ thị (C) LÕM trên ( a ; b )

* Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua điểm xₒthì I (xₒ ; f(xₒ)) là điểm UỐN của

(C)

Khoảng lồi

Khoảng lỏm

Điểm uốn

Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)4 2

( 0 , , )y ax bx c a b c R

Bƣớc 1 : Tập xác định : D = R

Bƣớc 2 : Xét chiều biến thiên của hàm số

3 2' 4 2 2 2y ax bx x ax b

2

2 2(2)

2 0' 0 2 2 0

0 (1

2)

)

0(*

2

xy x ax b

a bb

ax x

x

Có hai trƣờng hợp xảy ra :

1. a , b cùng dấu (a.b > 0 ) => phƣơng trình (2) vô nghiệm => Pt (*) chỉ có 1 nghiệm

2. a , b trái dấu (a.b < 0 ) => phƣơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

=> Phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm

Click chuột vào đây để xem tiếp Click chuột vào đây để xem tiếp

Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)*

2 2'' 12 2 '' 0

6

by ax b y x

a

4 20( , , )y ax bx c a b c R

ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệta > 0 a < 0

2 2

2

2 0' 0

2(*

00

0)

2

xy

ax b x xb b

xx

a a

4

4

2lim lim

xx

x ab c

yx x

limx

yTƣơng tự

- ∞ +∞2

b

a02

b

a

0 0 0 +

x

y’

y

+

ct ctCĐ

+∞+∞


6do 0 0

6

b

a

bb

axa

x

y’’

+∞- ∞ 6

b

a 6

b

a

0 0++

( ) ( + ) ( )

4

4

2lim lim

xx

x ab c

yx x

Tƣơng tự limx

y

2

b

a 2

b

a0

0 0 0

x

y’

y

+∞- ∞

++

CĐ CĐ

ct- ∞ - ∞

Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)**


4 2( 0 , , )y ax bx c a b c R

Vậy đồ thị hàm số có hai ĐIỂM UỐN 1 1 2 2; ; ;

6 6

b b

a aI y I y

Bƣớc 3 : Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục Oy ( hàm số chẳn )

y

x

CĐ

ct ct

0

x

y

ct

CĐ CĐ

U UU U

0

Điểm đặc biệt

Trục đối xứng

Trở về

a > 0 a < 0

Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)3*4 2

( 0 , , )y ax bx c a b c R

ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm

a > 0 a < 03 2

' 4 2 2 2y ax bx x ax b

Dấu của y’ phụ thuộc vào : 2( )( ) 2 2; g x ah bx x x

(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )

Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)4*

Biên tập pps:vinhbinhpro

4 20( , , )y ax bx c a b c R

ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm

a > 0 a < 03 2

' 4 2 2 2y ax bx x ax b

Dấu của y’ phụ thuộc vào :2

( )( ) 2 2; g x ah bx x x

(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )

∞ +∞0x

2x

22ax b

0

y’

y

++

+

0 +

ct

limx

y

+∞+∞

x

2x

22ax b

y’

y

∞ +∞0

0

0

+

+

CĐ

∞ ∞

limx

y

cty c

C Dy c

Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)5*

2'' 12 2y ax b

4 2( 0 , , )y ax bx c a b c R

Trình bày tóm tắt :

a > 0 a < 0

* Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn :

vì a >0 và ab > 0 '' 0 ;y x R

=> Đồ thị luôn lõm

x

y

c

0

2'' 12 2y ax b

vì a <0 và ab > 0 '' 0 ;y x R

=> Đồ thị luôn lồi

x

yc

0

x

y’

y

∞ +∞0

0 +

cty c

+∞+∞

x

y’

y

+∞ ∞ 0

0+

C Dy c

∞ ∞

trở về

Bài tập 1


Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : 3 23 4 2y x x x

Hướng dẫn :

* Tập xác định : D = R

2 2' 3 6 4 ' 9 12 0 3 4 ;6 0y x x x x x R

' 0 ;y x R Hàm số luôn nghịch biến trên R

3

2 31

3 4 2lim lim

x x

yx

xx x

3

2 31

3 4 2lim lim

x x

yx

xx x

x

y’

y

∞ +∞

∞

+∞

'' 6 6 ; '' 0 1y x y x

- 1 +∞ ∞

0

x

y’’

y

+

lõm lồiđiểm uốn

4U

y

* Đồ thị : Điểm đặc biệt

:

2 60 1; x yx y

Bài tập 1

4

2

- 1

1

- 6

0

x

y

Điểm uốn I (-1 ; 4 )

Tâm đối xứng

Điểm đặc biệt ( 0 ; 2 )

Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )

f(x)=-x 3-3*x 2-4*x+2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

f(x)

4

1

- 1

-6

Khoảng lõm

Khoảng lồi

Điểm đặc biệt

Điểm uốn (tâm

đối xứng)

Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )

Bài tập 2


Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :3 2

6 9 2y x x x

Hướng dẫn :


* Chiều biến thiên của hàm số: 2 2' 3 12 9 3 4 3y x x x x

21 3* ' 0 4 3 0y x x x hay x

3

2 3

6 9 2* lim lim 1

x x

y xx x x

* limx

y

Bài tập 2


x

y’

y

∞ +∞- 3 - 1

0 0 ++

+∞

∞

CĐct

* Hàm số đồng biến trên : ( ∞ ; - 3 ) ; ( - 1 ; +∞ )

* Hàm số nghịch biến trên : ( - 3 ; - 1 )

( 3) 2CD

y y

( 1) 2ct

y y

Điểm cực đại: ( - 3 ; 2 )

Điểm cực tiểu : ( - 1 ; - 2 )

3

2 3

6 9 2* lim lim 1

x x

y xx x x

* limx

y

21 3* ' 0 4 3 0y x x x hay x

* Chiều biến thiên của hàm số: 2 2' 3 12 9 3 4 3y x x x x


Hướng dẫn :

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :3 2

6 9 2y x x x

Bài tập 2

0U

y* Đồ thị hàm số : Điểm đặc biệt :

x

y

4

2

0

2

2

- 2

0- 4

- 3

- 1

* Khoảng lồi , khoảng lõm và điểm uốn '' 6 12 ; '' 0 2y x y x

- 2

x

y

∞ +∞- 2

điểm uốn

y’’ 0 +_

lồi lõm

x

y

điểm cực đại

điểm cực tiểu

điểm uốn

điểm đặc biệt


f(x)=x 3+6*x 2+9*x+2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

f(x)

-2

2

-3


điểm uốn

điểm cực tiểu

điểm đặc biệt (-4 ;- 2)

điểm đặc biệt (0 ; 2)

Bài tập 3

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :

Hướng dẫn :


* Chiều biến thiên của hàm số:3 2

24 2' 12y x x x x

2

2 0' 0

2

0

1

21 0

xy

x

x

x

10 ; ;

2

1 1(0) 0

42y yx x

*Bảng biến thiên

4 2y x x

Bài tập 3

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :

Hướng dẫn :


* Chiều biến thiên của hàm số:3 2

24 2' 12y x x x x

2

2 0' 0

2

0

1

21 0

xy

x

x

x

10 ; ;

2

1 1(0) 0

42y yx x

∞ +∞01

2

1

2

0 0 0

x

y’

y

+_

+_

4

2

1lim lim 1

x x

y xx

4

2

1lim lim 1

x x

y xx

ct ctCĐ +∞+∞

4 2y x x

Bài tập 3

(0) 0CD

y y => Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )

1 1

42ct

y y => Điểm cực tiểu : ;1 1 1 1

; ;4 42 2

2 1 5

3'' 12 2 ;

6

1''

60

6yy x yx

=> Điểm uốn : ;1 5 1 5

; ;36 366 6

Bài tập 3

(0) 0CD

y y => Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )

1 1

42ct

y y => Điểm cực tiểu : ;1 1 1 1

; ;4 42 2

2 1 5

3'' 12 2 ;

6

1''

60

6yy x yx

=> Điểm uốn : ;1 5 1 5

; ;36 366 6

1

6

1

6 ∞ +∞x

y’’

y

0 0_

++

lồilõm lõmđiểm uốn điểm uốn

* Đồ thị :

Điểm đặc biệt : 1 0 ; 1 0x y x y

Bài tập 3


x

y

0

-1 1

1

2

1

2

1

6

1

6

1

4

trục đối xứng

điểm cực tiểu điểm cực tiểu


điểm uốn

điểm đặc

biệt

Ham so bac 4 (dang trung phuong)

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1

1

2

x

f(x)

01

2

1

2

điểm cực

đại

điểm cực tiểuđiểm cực tiểu


trục đối xứng

điểm uốn

Bài tập 4


Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :4

2 3

2 2

xy x

Hướng dẫn :

1) Tập xác định : D = R

2) Chiều biến thiên của hàm số : 3 2' 2 2 2 1y x x x x

2' 0 0 1 0 ;y x x x Dấu của y’ phụ thuộc vào g(x) = - 2x

4

2 4

1 1 3lim lim

2 2x x

y xx x

Tƣơng tự : limx

y

* Bảng biến thiên- ∞ +∞0

0 -+

x

y’

y- ∞ - ∞3/2

CĐ

3(0)

2C D

y y

* Khoảng lồi ,lõm , điểm uốn: 2 2'' 6 2 2 3 1 0 ,y x x x R

Đồ thị là đƣờng cong lồi

Bài tập 4


* Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .

* Điểm đặc biệt : 4 20 2 3 0 1y x x x

3/2

1-1 0

x

y



trục đối

xứng

f(x)=(-x 4-2*x 2+3)/2

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

x

f(x)

Technology

GIAI TICH12 -Phan VI - Khao sat HS Da thuc