1. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LAS TURBOMÁQUINAS

La ECUACIÓN DE EULER es la ecuación fundamental para el estudio de las turbomáquinas,

tanto de las turbomáquinas hidráulicas como las turbomáquinas térmicas. Constituye pues, la

ecuación básica tanto para el estudio de las bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas

(turbomáquinas hidráulicas), como para el estudio de los turbocompresores, turbinas de vapor y

turbinas de gas (turbomáquinas térmicas). Es la ecuación que expresa la energía intercambiable

en el rodete de todas las máquinas.

1.1 TRIÁNGULO DE VELOCIDADES (Teoría del Impulsor)

Este concepto comprende el estudio de las componentes de la velocidad del flujo, el cual puede mejorarse recurriendo a un procedimiento gráfico en el que se usen vectores. La forma de tal diagrama vectorial es triangular y se conoce como Triángulo de Velocidades.

Consideramos que el flujo circula del interior al exterior del rodete o Impulsor (fig 1.1). La

corriente tiene un aspecto diferente para un observador que participe del movimiento del rodete

y para un observador que esté inmovil fuera del mismo. Se llama Velocidad Absoluta a la velocidad

del fluído con respecto del observador fijo, y Velocidad Relativa, la velocidad con respecto al

observador que sigue al rodete en su movimiento. En un punto cualquiera del rodete, según la

DIN 1331, designaremos por:

u : Velocidad periférica del impulsor ó velocidad tangencial, es decir, la velocidad con que se

mueve un punto del rodete;

c : Velocidad absoluta del flujo, es decir, la velocidad respecto a lo circundante que está

inmovil;

w : Velocidad relativa del impulsor, es decir, respecto al punto del álabe considerado;

α : ángulo que forman las dos velcoidades “c” y “u”.

β : ángulo que forma “w” con “-u”

Fig. 1.1 Corte transversal de Rodete de una Bomba Centrifuga. Se han dibujado los triángulos de

velocidad a la entrada y salida. En la deducción de ecuación de Euler se supone que todas las partículas

del fluido que entran en los álabes sufren una misma desviación (Método unidimensional de estudio).

La velocidad absoluta “c” resulta de la composición o adición vectorial de “w” y “u”, en

magnitud y dirección, forman un paralelogramo, que se ha dibujado en la fig. 1.1. Su diagonal

representa la velocidad absoluta “c”, y los lados, la velocidad relativa “w” y la velocidad de arrastre

“u”, en magnitud y dirección. En consecuencia, estas tres velocidades forman también los tres

lados de un triángulo. El rodete accionado por el motor de la bomba gira a una velocidad “n” o

RPM que está relacionada a la velocidad periférica

. En la fig. 1.2 se han dibujado

estos triángulos de velocidades para la entrada y la salida del rodete.

Las componentes de la velocidad absoluta normales, a la velocidad perférica, son

designadas como c1m y c2m para los diagramas de entrada y salida. Esta componente es radial o

axial, según sea el impulsor. En general, se lo llamará meridional y llevará un subíndice m.

**A menos que se especifique otra cosa, todas las velocidades se considerán como velocidades promedio para las secciones normales a la dirección del flujo. Esta es una de las aproximaciones hechas en los estudios teóricos y diseños prácticos, que no es exactamente verdadera a la realidad.

Fig. 1.2 Triángulos de velocidad de entrada y salida de los álabes de un rodete de una bomba o

ventilador con la notación internacional para ángulos, velocidades y componentes de velocidades,

corrientemente empleada en el estudio de todas las turbomáquinas hidráulicas y térmicas.

1.2 ECUACIÓN DE EULER:

Esta deducción se hará con relación a la misma Fig. 1.1, que representa como ya hemos

dicho, el rodete de una bomba centrífuga (o de un ventilador cetrífugo que esencialmente sólo se

diferencia de una bomba en que el fluído bombeado no es líquido, sino gas); pero todo el

razonamiento y por tanto la fórmula de Euler deducida mediante él, será válido para todas las

turbomáquinas.

La altura de presión, desarrollada por el impulsor de una máquina centrífuga, depende de

las velocidades del flujo que pasa a través del impulsor y sus dimensiones. La tarea principal de la

teoría de las turbomáquinas consiste en el establecimiento de esta dependencia.

La estructura cinemática del flujo en los canales curvilíneos rotatorios es muy compleja, y

la resolución de esta ecuación requiere de la introducción de ciertas condiciones que simplifican la

solución. El resultado obtenido de esta manera puede ser corregido mediante la introducción de

coeficientes experimentales.

Introduzcamos las siguientes admisiones:

1) El flujo tiene estructura de chorro, es decir, está compuesto por una gran cantidad de

venas, que repiten las forma geométrica de la paleta.

2) Tiene lugar la simetría axial del flujo, es decir, todas las venas, que constituyen el flujo, son

absolutamente iguales desde el punto de vista geométrico y cinemático.

3) El flujo es plano, es decir, no existe gradiente de velocidad a lo largo del eje paralelo al eje

geométrico de la máquina.

Las dos primeras

suposiciones se pueden

considerar realizables con la

condición de que la paleta no

tiene espesor y, por

consiguiente, no disminuyen la

sección de paso de los canales

entre las paletas. Por esta razón,

en la exposición sucesiva los

parámetros de la máquina

calculados con las suposiciones

indicadas, se designan con el

índice “ ” y se denominan

parámetros para una cantidad

infinita de paletas.

**Esquematización del flujo en el interior de un impulsor

de una bomba centrifuga

Del Teorema de la Cantidad de Movimiento se deduce el Teorema del Momento Cinético o del

Momento de la Cantidad de Movimiento. En efecto esta ecuación aplicada al hilo de corriente a

que pertenece la partícula de fluido considerada, será:

(1.1)

Tomando momentos en la ec. (1.1), según la fig. (1.1) con relación al eje de la maquina

tendremos:

(1.2)

Que es el Teorema del Momento Cinético.

Dónde:

dM : Momento resultante con relación al eje de la máquina de todas las fuerzas que el rodete

ejercido sobre las partículas que integran el filamento de corriente considerado para

hacerle variar su momento cinético.

dQ : Caudal del filamento.

: Brazos de momento de los vectores c₁ y c₂ respectivamente (véase Fig. 1.1).

Suponemos ahora que todas las partículas de fluido entran en el rodete a un diámetro D₁

con la misma velocidad c₁, y salen a una diámetro D₂ con la misma velocidad c₂ esto equivale a

suponer que todos los filamentos de corriente sufren la misma desviación, suponiendo que la

cantidad de paletas es infinita y que no existen perdidas en el proceso de transformación de la

energía mecánica. Aplicando esta hipótesis llamada Teoría Unidimensional, o Teoría del Número

Infinito de Álabes al hacer la integral de la ecuación (1.2) el paréntesis del segundo miembro será

constante, obteniéndose finalmente:

(1.2)

Dónde:

: Momento total comunicado al fluido o Momento Hidráulico.

Q : Caudal total de la bomba.

El momento transmitido desde el motor al árbol de la máquina, es mayor que debido

al rozamiento mecánico en los cojinetes y las empaquetaduras del árbol, la existencia de pérdidas

volumétricas y rozamiento de las superficies inactivas de la rueda contra el fluido (líquido o gas).

Introduzcamos en la ecuación (1.3) los radios constructivos y , donde:

Entonces:

(1.4)

Aquí y son los ángulos entre las velocidades absolutas y de traslación en la entrada

y la salida. Según la fig. 1.1:

;

Por consiguiente:

(1.5)

Este Momento multiplicado por será igual a la Potencia que el rodete comunica al

fluído. Por tanto:

(1.6)

Recordemos que:

Entonces:

(1.7)

También:

Es decir:

(1.8)

Si suponemos que no hay pérdidas de carga entre el impulsor y el punto donde se mide la

carga dinámica total, se dispone de esta Potencia de Salida. Por otra parte:

(1.8)

Igualamos con las ecuaciones (1.8) y (1.9):

Simplificando obtenemos la altura teórica:

(1.10)

Las ecuaciones (1.5), (1.7) y (1.10) son las

ecuaciones principales de las turbomáquinas. La ecuación

(1.10) fue obtenida por el eminente matemático

Leonhard Euler en el año 1754 y se llama ECUACIÓN DE

EULER.

*Las Turbinas Hidráulicas, Turbinas de Vapor y Turbinas de Gas son máquinas motoras: el fluido imparte

energía al rodete. Por eso al tratar de deducir la Ecuación de Euler para las máquinas Motoras se procedería

análogamente; pero escribiendo el momento que el fluido ejerce sobre el rodete, con lo que el segundo miembro

de la Ec. 1.10 tendría los signos cambiados y lo mismo los segundos miembros de las ecuaciones 1.5 y 1.7.

De los paralelogramos en la entrada y la salida se desprende que

Una vez determinados de aquí los productos y y sustituyendo los valores

obtenidos en la expresión (xx), obtendremos la ecuación

(1.11)

El primer término de esta ecuación representa la presión generada por las fuerzas

centrífugas que actúan sobre las masas del líquido (gas) que viajan del diámetro al diámetro

. El segundo es un cambio de presión debido al cambio de velocidad relativa del flujo al pasar

por el impulsor. El último muestra el cambio de energía cinética del flujo desde el ojo del impulsor

hasta la descarga del mismo. Es decir, los términos de la ecuación (1.11)

expresan

evidentemente, el incremento de la altura de presión a causa de la transformación de las energías

cinéticas de los movimientos absoluto y relativo en los canales entre las paletas.

La altura de velocidad, creada por las paletas del rodete, para las admisiones aceptadas

anteriormente, es igual a:

(1.12)

Leonhard Euler, fue un matemático

y físico suizo (1707 – 1783)

Porque la velocidad absoluta del flujo es aumentada por la rueda desde hasta . Por

esta razón, la altura estática teórica constituirá

(1.13)

**Sin embargo, en la práctica no se conocen las verdaderas velocidades y sus direcciones.

Lo que se hace es dibujar los Triángulos de velocidad sobre los ángulos de las aspas y por medio de

la ecuación 1.1 se calcula la carga teórica. Esta carga es un poco mayor que la real, y no es posible

calcular con ella la verdadera Potencia Hidráulica.

La altura de presión real, desarrollada por el impulsor, es menor que la teórica para una

cantidad infinita de paletas, . Esto se explica por el hecho de que, en primer lugar,

parte la energía, recibida por el flujo en los canales entre las paletas, se disminuye en vencer la

resistencia hidráulica de la cavidad conductora de la maquina (esta circunstancia se tiene en

cuenta introduciendo en el cálculo el rendimiento hidráulico ,que valora el perfeccionamiento

de la cavidad conductora de la maquina ) y, en segundo lugar, la Ecuación de Euler (1.10) se ha

obtenido con la suposición de la simetría axial del flujo , es decir, para el valor medio constante de

en la salida de los canales entre las paletas . No obstante, en realidad las velocidades están

distribuidas irregularmente por la sección de salida de la rueda de trabajo, por lo cual el paso de

a se puede realizar por la fórmula:

(1.14)

Donde es el Coeficiente de Corrección, que tiene en cuenta un número finito de

paletas. La Ecuación de Euler proporcionaría un valor preciso de en el caso cuando al

componer la ecuación de partida (1.1) la cantidad de movimiento del flujo se calculara no por el

valor medio de ω₂ = const, y tomando en consideración la distribución real de las velocidades en la

sección de salida del impulsor.

A base de lo expuesto el cálculo de la altura real de presión se realiza valiéndose de la

fórmula:

(1.15)

(*) Extraído del Libro: Bombas Ventiladores Compresores. Autor: V.M. Cherkasski.

Para las maquinas centrifugas modernas (*)

De la serie de relaciones para determinar el coeficiente de corrección con frecuencia se

hace uso de la fórmula del Profesor Checo Stodola:

(1.16)

Donde z es la cantidad de paletas de la rueda de trabajo de la bomba. La Fórmula de

Stodola proporciona resultados prácticos satisfactorios. En los cálculos aproximados se toma

.

**En el laboratorio de pruebas, de una unidad para bombeo de petróleo crudo en Libia.

Caudal de 7000 m3/hr. Carga 132 m. Potencia 4330CV. Extraído del libro Bombas: Teoría,

Diseño y Aplicaciones, Autor: Viejo Zubicaray.

1.3 INFLUENCIA DEL ANGULO SOBRE LA ALTURA DE PRESIÓN DESARROLLADA POR LA

MÁQUINA CENTRÍFUGA

Primero deduciremos la ecuación de la altura teórica para poder graficarla. Del plano de

las velocidades en la salida (véase la fig. 1.2) tenemos que:

,

De donde:

,

Donde es la componente radial de la velocidad absoluta a la salida, reemplazamos en:

Y obtenemos:

,

O bien:

(1.17)

Tres tipos de paletas de la rueda de trabajo. En las estructuras de las máquinas centrífugas de

distintas destinaciones se encuentran paletas dobladas hacia atrás, radiales y dobladas hacia

adelante. El ángulo de paleta , como se ve en la fig. 1.3, determina el tipo de paleta: si

la paleta está doblada hacia adelante, para la paleta es radial y con la paleta

está doblada hacia atrás. En todos los casos el ángulo en la entrada es menor que .

Fig. 1.3 Tipos de paletas de trabajo de una máquina centrífuga: a.-Paletas dobladas hacia atrás;

b.- Paletas Radiales; c.- Paletas dobladas hacia adelante.

Aclaremos la influencia de este ángulo sobre las componentes estática y de velocidad de la

altura de presión teórica con arreglo a los tres tipos principales de paleta de trabajo.

Para simplificar el análisis supongamos que el rodete tiene Entrada Radial y que la

componente radial de la velocidad absoluta en la salida es igual a la velocidad en la entrada a los

canales entre las paletas . Esta expresión es la más

forma más corriente de ecuación fundamental de las bombas centrifugas y de los

turbocompresores. La ecuación 1.10 se reduciría a:

(1.18)

Hagamos uso de la relación conocida:

(1.19)

A base de la condición aceptada ) y la fórmula (1.12), obtenemos:

(1.20)

De las relaciones trigonométricas (véase la fig. 1.2), se desprende que:

Sustituyendo el valor de en la ecuación (1.20), obtenemos:

(1.21)

En virtud de la ecuación (1.19) la altura estática se determina como la diferencia entre las

alturas teóricas total (1.18) y de la velocidad (1.21):

Transformando esta expresión, después de la sustitución obtenemos:

(1.22)

Haciendo uso de las ecuaciones (1.17), (1.21), (1.22) se pueden trazar los diagramas de la

altura total y sus componentes en función del ángulo β2. En la figura 1.4 se dan los diagramas:

y los cuales muestran evidentemente que la disminución del

ángulo β2 conduce a la disminución de la altura total desarrollada por el rodete de la máquina

centrífuga.

En la ecuación (1.22) se ve que se hace igual a “0” cuando:

Lo cual es posible si:

(

) ; (

)

El máximo de tendrá lugar cuando .

Fig. 1.4 Diagrama de 𝐻𝑡 𝑓 𝛽 y 𝐻𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝐹 𝛽 .

La variación de la altura de velocidad teórica en la figura 1.4 está representada como la

variación de la diferencia de las ordenadas de las curvas y . El

mayor valor de en el caso de las paletas dobladas hacia adelante, será para

(

)

Al disminuir el ángulo la altura teorica de la velocidad disminuye ininterrumpidamente,

alcanzando el valor igual a cero, para

(

)

De lo expuesto se deduce que las paletas dobladas hacia adelante le transmiten al flujo

mayor cantidad de energía en comparación de las paletas de otras formas. Pero en la cantidad

total de energía, transmitida por estas paletas, predomina la energía de velocidad. Al contrario, en

la energía total, transmitida por las paletas dobladas hacia atrás, predomina la energía potencial

(altura estática). La capacidad de las paletas de trabajo de desarrollar altura estática se caracteriza

corrientemente por el Grado de Reactividad de la rueda de trabajo.

El Grado de Reactividad (ρ) es igual a la relación de la altura estática teórica a la altura

teórica total desarrollada por las paletas de la rueda de trabajo de la maquina:

(1.23)

Haciendo uso de las ecuaciones (1.17) y (1.22), podemos escribir

(1.24)

De donde después de las transformaciones, obtenemos:

(

) (1.24)

Para las paletas dobladas hasta el límite hacia adelante, para: (

)

(

)

Para las paletas radiales por eso:

⁄

Para las paletas dobladas hasta el límite hacia atrás, para: (

)

De esta manera, el grado de reactividad caracteriza el tipo constructivo de las paletas de la

máquina con respecto a la altura estática que ellas desarrollan.

Las paletas con pequeño grado de reactividad desarrollan habitualmente altura de

velocidad y, por consiguiente, tienen altas velocidades de salida. Para transformar la altura de

velocidad en estática las maquinas con semejantes paletas van dotadas de dispositivos difusores

que poseen bajo rendimiento. Por esta razón, el rendimiento de una máquina de pequeño grado

de reactividad ordinariamente es menor que el rendimiento de una máquina que posee alto grado

de reactividad.

Conclusiones:

a. Las paletas dobladas hasta el límite hacia delante desarrollan, para los valores dados y

, la mayor altura teórica total en forma de altura de velocidad. Al disminuir el ángulo

la altura teórica total disminuye; al mismo tiempo aumenta el grado de reactividad y se

eleva la altura estática. Para el grado de reactividad es igual a 0,5 y la altura

teórica total consta de iguales alturas de velocidad y estática.

b. Con la fig. 1.4 entendemos mejor el comportamiento de la Bomba de Vacío, pues al tener

los álabes hacia adelante, según nos indica la curva, la Presión Estática disminuye

generando así el Vacío, este es el principal concepto de cómo funciona nuestra Bomba de

vacío de Anillo Líquido en estudio.