PFDS 11.2 catenable double ended queue

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11.2

Catenable Double-Ended Queue

PFDS #12

@yuga

2012-12-01


動機

Queueを効率よく連結したい

できればO(1)で


Catenable Deque

連結可能なDequeのシグネチャ

CATENABLEDEQUE :

module type CATENABLEDEQUE = sig type ‘a cat val empty : ‘a cat val isEmpty : ‘a cat -> bool val snoc : ‘a cat * ‘a -> ‘a cat val head : ‘a cat -> ‘a val tail : ‘a cat -> ‘a cat val cons : ‘a * ‘a cat -> ‘a cat val last : ‘a cat -> ‘a val init : ‘a cat -> ‘a cat val (++) : ‘a cat -> ‘a cat -> ‘a cat end


Catenable Deque

連結可能なDequeのシグネチャ

CATENABLEDEQUE :

module type CATENABLEDEQUE = sig type ‘a cat include module DEQUE with type ‘a queue := ‘a cat val (++) : ‘a cat -> ‘a cat -> ‘a cat end


解決の方針

DequeをDequeにいれる (Structural Abstraction)

BootStrapped type SimpleCatenableDeque (初級編)

ImplicitCatenableDeque (上級編)

Primitive type これまでに登場したDeque （ただしImplicitCatenableDequeの実装には

Dequeの要素数を返すsize関数の実装が必要）

※すべての関数がO(1)時間で実行可能であること。

（実時間/償却時間いずれでもよい）


SimpleCatenableDequeの実装

データ構造

SHALLOW … 単体のDeque

DEEP … 連結したDeque

front – middle – rearの3パーツ構成

frontとrearは必ず2個以上の要素を持つ

module SimpleCatenableDeque (D : DEQUE) : CATENABLEDEQUE = struct type ‘a cat = SHALLOW of ‘a D.queue | DEEP of ‘a D.queue (* front *) * ‘a D.queue cat susp (* middle *) * ‘a D.queue (* rear *) …


図解: 実装 (cons)

consやsnocは直接PrimitiveのDequeに要素を入れる。

1 2 0

1 2 3 4

DEEP

front middle rear

D.queue

SHALLOW

‘a

0


実装 (++)

5パターンある。DEEPのmiddleについては再帰的に行う。

1. どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結

2. どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結

3. DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結

4. DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結

5. DEEP同士の連結

a. middle：どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結

b. middle：どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結

c. middle：DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結

d. middle：DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結

e. middle：DEEP同士の連結

i. middle：…

…

T(m+n) = T((m – (4 + c))/2) + T((n – (4 + d))/2) + O(1)

= O(min (log(m), log(n)))


図解: 実装 (++)

1. どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結

1 2 3

1 2 3 ++

D.queue

SHALLOW

‘a


図解: 実装 (++)

2. どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結

1 2 3 4

1 2 3 4

++

DEEP

front middle rear


図解: 実装 (++)

3. DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結

1 2 3 4

1 2 3 4 ++

++

5

5


図解: 実装 (++)

5a. DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結

1 2 5 6

1 2 3 4 ++

3 4

5 6


図解: 実装 (++)

5a. DEEP同士の連結（ middle：どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結）

1 2 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 ++

3 4

5 6

3 4 5 6 ++

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14

図解: 実装 (++)

5b. DEEP同士の連結（middle：どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結）

1 2 15 16

1 2 7 8 3 4

5 6

9 10 15 16

11 12

13 14

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

++

++

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15

図解: 実装 (++)

5e. DEEP同士の連結（middle：DEEP同士の連結）

1 2 15 16

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

17 18 31 32

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

++

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

25 26

27 28

29 30

23 24

++

++

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24


実装 (tail)

SHALLOWはそのまま。DEEPは先頭を除去後、frontの要素数が2以上になるならそのまま、そうでないならSHALLOWにする。

1. SHALLOWをtail

2. DEEP（frontが3個以上）をtail

3. DEEP（frontが２個、middleが0個）をtail

4. DEEP（frontが２個、middleが1個以上）をtail


図解: 実装 (tail)

1. SHALLOWをtail

1 2 3

1 2 3




7 8 5 6 3 4 2

7 8 5 6 3 4 2



3. DEEP（frontが２個、middleが0個）をtail

1 2 3 4

1 2 3 1

2 3 4 1




1 2 7 8

3 4

5 6

1 7 8

3 4

5 6

2

1 7 8

5 6 3 4

2

1 7 8 5 6 3 4 2


Exercise 11.3: tailが償却実行時間O(1)か？

DEEPに、middleのsuspensionを作成するとき、そのmiddleに1 debitを割り当てる。

次にmiddleを操作するときまでに返却しなければならない。

Debit Invariant:

DEEPのdebit数の上限 =

0 if frontが2個 1 if frontが3個以上

tail時に繰り下がり処理のため

middleを操作することになるから



振り返り（9.2.3 Lazy Representation)

3個以上

2個

繰り下がりを再帰的に行うことでdebitは発生するが、返却が必要なdebitはO(1)



1. SHALLOWをtail

SHALLOWには既存debitが存在しない。

SHALLOWのtail操作では新規debitは発生しない。


tail前はfrontが3個以上なので、middleにdebitが1割り当てられている。

middleを操作しないので新規debitは発生しない。

tail操作後、frontが2個になる場合:

– debitの許容数は-1。

– したがって合計1debitを返却する。

3. DEEP（frontが2個、middleが0個）をtail

tail前はfrontが2個なので、middleに割り当てられたdebitは0。

middleを破棄するので新規debitは発生しない。

tail後、SHALLOWになりdebit許容数が-1。


tail前はfrontが2なので、middleに割り当てられたdebitは0。

middleの操作でsuspensionを作成しているので、middleに新規debitが1発生する。

tail後はfrontは3個以上なので、debit許容数は+1

したがってO(1)

Technology

PFDS 11.2 catenable double ended queue