Quy hoach nguyen tuyen tinh

Đề tàiTóm lược

Bài toán qui hoạch nguyênMột số kiến thức cần để giải bài toán

Conti-Traverso

Qui hoạch nguyên tuyến tínhMột số ứng dụng khác của cơ sở Grobner

Lê Thị Hồng HạnhNguyễn Trần Phúc ThịnhPhạm Đình Duy Phương

ĐH Khoa học Tự Nhiên - ĐH Quốc gia thành phố HCM

Qui hoạch nguyên tuyến tính



Conti-Traverso

Tóm lược

Đề tài này sẽ trình bày ứng dụng cơ sở Grobner để giải bài toánqui hoạch nguyên. Nội dung bao gồm:

Giới thiệu Bài toán Qui hoạch tuyến tính và Qui hoạchnguyên tuyến tính.

Kiến thức cơ bản để xậy dựng cơ sở Grobner cho bài toán Quihoạch nguyên tuyến tính.

Thuật toán Conti - Traverso.

Cài đặt thuật toán Conti - Traverso, áp dụng giải ví dụ minhhọa.




Conti-Traverso

Tóm lược









Conti-Traverso

Tóm lược









Conti-Traverso

Tóm lược









Conti-Traverso

Tóm lược









Conti-Traverso

Bài toán qui hoạch tuyến tính tổng quátBài toán chuyển hàngBài toán qui hoạch nguyên tuyến tính tổng quátĐưa bài toán chuyển hàng về dạng chuẩnBài toán chuyển hàng dạng chuẩn

Bài toán qui hoạch tuyến tính tổng quát

Cho A ∈ M(d , n,R) là ma trận thực d dòng, n cột, c ∈ Rn và b∈ Rd . Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát n biến và d ràngbuộc có thể phát biểu như sau :

LPA,c(b) : minimize{c.u|Au = b,u ≥ 0,u ∈ Rn}. Trong đó :

c. u = c1x1 + · · ·+ cnxn là tích vô hướng của hai vectơ.

u ≥ 0 hiểu theo nghĩa x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0.

Mỗi vectơ u ∈ Rn thỏa mãn Au = b, b ≥ 0 được gọi làphương án (lời giải) chấp nhận được. Nếu phương án chấpnhận được u0 mà tại đó c. u đạt giá trị bé nhất, thì nó đượcgọi chung là phương án(lời giải) tối ưu.




Conti-Traverso











Conti-Traverso











Conti-Traverso











Conti-Traverso


Bài toán qui hoạch tuyến tính tổng quát(tt)

Tích c .u0 được gọi là giá trị tối ưu của bài toán qui hoạchLPA,c(b)

Tập các phương án chấp nhận được

Pb = {u ∈ Rn|Au = b,u ≥ 0} ⊂ Rn

LPA,c(b) được gọi là bài toán có phương án chập nhận được

nếu Pb 6= ∅




Conti-Traverso





Pb = {u ∈ Rn|Au = b,u ≥ 0} ⊂ Rn


nếu Pb 6= ∅




Conti-Traverso





Pb = {u ∈ Rn|Au = b,u ≥ 0} ⊂ Rn


nếu Pb 6= ∅




Conti-Traverso


Bài toán chuyển hàng

Xét bài toán thực tế sau:Một công ty tải vận chuyển A nhận yêu cầu vận chuyển hàng từ 2khách hàng x1, x2 đến cùng 1 địa điểm. Mỗi kiện hàng của kháchhàng x1 nặng 400kg và có thể tích là 2m3. Mỗi kiện hàng của x2nặng 500kg và có thể tích là 3m3. Mỗi xe tải của công ty A có thểvận chuyển tối đa 3700kg hàng với thể tích tối đa là 20m3. Hànghóa của x2 thì dễ hỏng, nên họ sẵn sàng trả phí vận chuyển caohơn: 15$ cho mỗi kiện hàng so với 11$ của x1.Người quản lý của cty vận chuyển A sẽ gặp 1 bài toán: tính toánsố lượng kiện hàng từ 2 khách hàng trên trong mỗi chuyến xe tảiđể sao cho có thể sinh lợi tối đa.




Conti-Traverso


Bài toán chuyển hàng

Xét bài toán thực tế sau:Một công ty tải vận chuyển A nhận yêu cầu vận chuyển hàng từ 2khách hàng x1, x2 đến cùng 1 địa điểm. Mỗi kiện hàng của kháchhàng x1 nặng 400kg và có thể tích là 2m3. Mỗi kiện hàng của x2nặng 500kg và có thể tích là 3m3. Mỗi xe tải của công ty A có thểvận chuyển tối đa 3700kg hàng với thể tích tối đa là 20m3. Hànghóa của x2 thì dễ hỏng, nên họ sẵn sàng trả phí vận chuyển caohơn: 15$ cho mỗi kiện hàng so với 11$ của x1.Người quản lý của cty vận chuyển A sẽ gặp 1 bài toán: tính toánsố lượng kiện hàng từ 2 khách hàng trên trong mỗi chuyến xe tảiđể sao cho có thể sinh lợi tối đa.




Conti-Traverso


Bài toán chuyển hàng(tt)

Từ bài toán chuyển hàng trên, ta xây dựng:Hàm mục tiêu: maximize {11.x1 + 15.x2} hay - minimize{−11.x1 − 15.x2},với các ràng buộc:4.x1 + 5.x2 ≤ 37, (ràng buộc về trọng lượng)2.x1 + 3.x2 ≤ 20, (ràng buộc về thể tích)x1, x2 ∈ Z≥0

Ở đây ta nhấn mạnh đến ràng buộc x1, x2 nguyên, hình thành nênbài toán qui hoạch nguyên.




Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso


Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính tổng quát được phát biểunhư sau : IPA,c(b) : minimize{c.u|Au = b,u ∈ Nn}. Trong đó :

A ∈ M(d , n,Z), c ∈ Zn và b ∈ Zd . Để đơn giản ta giả thiết

{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.

Tập các phương án chấp nhận được của bài toán IPA,c(b) là

tập hữu hạn điểm {u ∈ Nn|Au = b}. Đặt

PIb = convex hull{u ∈ Nn|Au = b}

Từ tính chất tuyến tính của hàm giá thành c. u suy ra bàitoán IPA,c(b) tương đương với bài toán qui hoạch tuyến tính

minimize{c.u|u ∈ PIb}




Conti-Traverso




{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.









Conti-Traverso




{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.









Conti-Traverso




{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.









Conti-Traverso




{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.









Conti-Traverso


Rõ ràng bài toán qui hoạch nguyên IPA,c(b) có phương án chấpnhận được khi và chỉ khi

b ∈ pos Z (A) = {Au|u ∈ Nn ⊆}Zd

Tích vô hướng c. u là một hàm trọng số. Nó được xác định theotrọng ≤c trên các tập đơn thứcM của vành đa thức K [x ]. Tíchtự điển theo trọng này và một thứ tự từ � nào đó được kí hiệu là�c . Như vậy

xu ≺c xu′ ⇐⇒ c. u < c. u’ hoặcc. u = c. u’ và xu ≺ xu′ .




Conti-Traverso









Conti-Traverso









Conti-Traverso


Xét bài toán qui hoạch nguyên sau đây :

IPA,�c (b) : Tìm u ∈ Nn sao cho xu bé nhất đối với �c và Au = b

Rõ ràng bài toán qui hoạch nguyên IPA,�c (b) có phương án tối ưu

khi và chỉ khi bài toán IPA,c(b) có phương án tối ưu. Hơn nữa nếu

phương án IPA,�c (b) tối ưu thì phương án đó là duy nhất và là

phương án tối ưu của bài toán IPA,c(b).=⇒ Ta sẽ tìm cách giải bài toán IPA,�c (b)




Conti-Traverso











Conti-Traverso











Conti-Traverso


Quay trở lại bài toán chuyển hàng trên, xét:

minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0

Trước tiên, nhận xét bài toán chưa ở dạng chuẩn Au = b.Do đó, ta sẽ đưa bài toán về dạng chuẩn Au = b, bằng cách sửdụng thêm 2 biến x3, x4 ∈ Z≥0Từ 4.x1 + 5.x2 ≤ 37 =⇒ 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37Từ 2.x1 + 3.x2 ≤ 20 =⇒ 2.x1 + 3.x2 + x4 = 20




Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0





Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0





Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0





Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0





Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0





Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0





Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 ≤ 37,2.x1 + 3.x2 ≤ 20,

x1, x2 ∈ Z≥0





Conti-Traverso


Sau khi thực hiện đưa 2 biến x3, x4 vào ràng buộc, ta đã đưa bàitoán về dạng chuẩn Au = b

minimize {−11.x1 − 15.x2},4.x1 + 5.x2 + x3 = 37,2.x1 + 3.x2 + x4 = 20,x1, x2, x3, x4 ∈ Z≥0

Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

)c = (−11,−15, 0, 0)

b = (37, 20)




Conti-Traverso




Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

)c = (−11,−15, 0, 0)

b = (37, 20)




Conti-Traverso




Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

)c = (−11,−15, 0, 0)

b = (37, 20)




Conti-Traverso




Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

)c = (−11,−15, 0, 0)

b = (37, 20)




Conti-Traverso




Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

)c = (−11,−15, 0, 0)

b = (37, 20)




Conti-Traverso

Kí hiệu K [t±] = K [t1, t−11 , . . . , td , t

−1d ] là vành đa thức Laurent.

Toàn cấu của nữa nhóm

π := πA : Nn −→ posZ(A) , u 7−→ Au

xác định đồng cấu vành sau đây :

π := πA : K [x ] −→ K [t±], xj 7−→ taj ,

trong đó aj , j = 1, . . . , n là cột thứ j của ma trận A. Hạch của π :

IA = Ker(π) ⊂ K [x]

được gọi là idean xuyến của A.




Conti-Traverso

Cho u ∈ Z. Giá của u là tập hợp

Supp(u) = {i | ≤ i ≤ n, ui 6= 0}

Mỗi vectơ u ∈ Zn có thể viết duy nhất thành hiệu u = u+ − u−,trong đó u+, u− ∈ Nn và có giá không giao nhau. Đặt

Ker(π) = {u ∈ Zn|π(u) = 0}

Rõ ràng nếu u ∈ Ker(π) thì nhị thức xu+ − xu− ∈ IA




Conti-Traverso

Bổ Đề 23.1

Idean xuyến IA xét như không gian vectơ trên K sinh bởi tập cácnhị thức

{ xu − xu′ |u,u′ ∈ Nn sao cho π(u) = π(u′) }

Nói riêng,

IA = (xu+ − xu

− |u ∈ Ker(π))

và IA có cơ sở gồm các nhị thức .




Conti-Traverso

Bổ đề 23.2 :

Giả sử ma trận A thỏa điều kiện sau :

{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.

Khi đó luôn có thể giả thiết các phần tử của A không âm và mỗicột chứa ít nhất một phần tử khác 0.Bài toán vận chuyển dạng chuẩn đề cập ở trên, ta có:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

)thỏa điều kiện Bổ đề 23.2




Conti-Traverso

Bổ đề 23.2 :


{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.


A =

(4 5 1 02 3 0 1





Conti-Traverso

Bổ đề 23.2 :


{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.


A =

(4 5 1 02 3 0 1





Conti-Traverso

Bổ đề 23.2 :


{u ∈ Rn|Au = 0,u ≥ 0} = {0}.


A =

(4 5 1 02 3 0 1





Conti-Traverso

Bổ đề 23.3 :

Với cấu trúc phân bậc trên K [x ] cho bởi deg(xj) = dj , nếu

π(u) = π(v), thì deg(xu) = deg(xv ). IA là idean thuần nhất.




Conti-Traverso

Mệnh đề 23.4 :

Xét cấu trúc phân bậc trên K [x ] cho bởi deg(xj) = dj , tồn tại c’

với các phần tử dương sao cho : (i) Nếu m và m’ là 2 đơn thứccùng bậc thì m �c m

′ khi và chỉ khi m �c′ m′. Do đó, nếu f là đa

thức thuần nhất, thì in �c (f) = in �c ′ (f)(ii) với mọi iđêan thuần nhất I của vành K [x ] đều có :

in �c (I) = in �c ′ (I).




Conti-Traverso

Bổ đề 23.5 :

Xét cấu trúc phân bậc trên K [x ] cho bởi deg(xj) = dj . Đối với

thứ tự �c , các điều khẳng định sau đây đúng (i) Cho f , f1, . . . , fslà các đa thức thuần nhất và deg(f) = d . Khi đó tồn tại các đathức thuần nhất q1, . . . , qs , r sao cho

f = q1f1 + . . .+ qs fs + r

thỏa mãn các điều kiện của Định lí chia đa thức 10.1 cũng nhưtính S(f,g) (áp dụng đối với �c), kết quả sẽ không thay đổi nếuthay �c bằng thứ tự từ �c ′ . Nói riêng, Thật toán 10.1 và Thuậttoán Buchberger 11.1 áp dụng đối với �c cũng luông dừng.




Conti-Traverso

Hệ quả :

Hệ quả 23.6 : Tồn tại cơ sở Grobner Gc của IA đối với thứ tự �c

bao gồm một số hữu hạn nhị thức dạng

xu+ − xu− | u ∈ Ker(π).

Hệ quả 23.7 : Cho m là đơn thúc trong K [x ]. Khi đóPHANDU(m;Gc) đối với thứ tự �c cũng là đơn thức.




Conti-Traverso

Mệnh đề Conti-TraversoĐịnh lí Conti-TraversoThuật toán Conti-TraversoBài toán vận chuyểnVí dụXây dựng thứ tự từ

Mệnh đề (Conti-Traverso)

Cho A là ma trận d dòng n cột thỏa Bổ đề 23.2, c ∈ Zn vàb ∈ posZ(A).Gc là một cơ sở Grobner của IA đối với thứ tự �c chỉ bao gồm cácnhị thức và u là một phương án chấp nhận được.Gọi xu0 = PHANDU(xu;Gc) là đa thức dư của xu khi chia cho Gc.Khi đó u0 là phương án tối ưu của bài toán qui hoạch IPA,�c(b).

Nhận xét: Việc tìm được phương án chấp nhận u trong mệnh đềtrên là một bài toán không tầm thường.




Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso








Conti-Traverso


Định lí (Conti-Traverso)

Cho A là ma trận d dòng n cột với các phần tử không âm vàkhông có cột nào toàn 0. Cho c ∈ Zn và b ∈ posZ(A). Xét Iđêan

J = (x1 − ta1 , ..., xn − tan) ⊂ K [t1, ..., td , x1, ..., xn].

Chọn thứ tự từ khử ≺′ đối với tập biến t1, ..., td sao cho{t1, ..., td} �

′ {x1, ..., xn} , và khi hạn chế trên K [x ] thì nó trùngvới thứ tự từ �c′ xác định trong Mệnh đề 23.4. Giả sử G là một

cơ sở Grobner của J đối với thứ tự từ nào đó và chỉ bao gồm cácnhị thức. Biểu diễn phần dư của đa thức tb trong phép chia chocác đa thức thuộc G dưới dạng

PHANDU(tb;G ) = tγxu0 .

(i) Nếu γ = 0 thì u0 là phương án tối ưu của bài toán IPA,c(b).

(ii) Nếu γ 6= 0 thì IPA,c(b) không có phương án chấp nhận được.




Conti-Traverso














Conti-Traverso














Conti-Traverso


Thuật toán Conti-Traverso

Xét xem bài toán IPA,c(b) có phương án không;

Nếu có cho một phương án tối ưu LGTU(IPA,c(b)) := KL

Input: a1, ..., an;b :các vector cột trong Nd

Output: KLFOR 1 ≤ j ≤ n DO

fj := xj − taj

G := CSGR(f1, ..., fn)tγxu := PHANDU(tb; G )IF (γ = 0) THEN KL := u ELSE KL := "vô nghiệm"




Conti-Traverso


Xét lại bài toán vận chuyển:

minimize {−11.x1 − 15.x2},

với điều kiện 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37,

2.x1 + 3.x2 + x4 = 20,

x1, x2, x3, x4 ∈ Z≥0

Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

), d = 2, n = 3

c = (−11,−15, 0, 0)

a1 = (4, 2), a2 = (5, 3), a3 = (1, 0), a4 = (0, 1), b = (37, 20)




Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},

với điều kiện 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37,

2.x1 + 3.x2 + x4 = 20,

x1, x2, x3, x4 ∈ Z≥0

Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

), d = 2, n = 3

c = (−11,−15, 0, 0)

a1 = (4, 2), a2 = (5, 3), a3 = (1, 0), a4 = (0, 1), b = (37, 20)




Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},

với điều kiện 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37,

2.x1 + 3.x2 + x4 = 20,

x1, x2, x3, x4 ∈ Z≥0

Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

), d = 2, n = 3

c = (−11,−15, 0, 0)

a1 = (4, 2), a2 = (5, 3), a3 = (1, 0), a4 = (0, 1), b = (37, 20)




Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},

với điều kiện 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37,

2.x1 + 3.x2 + x4 = 20,

x1, x2, x3, x4 ∈ Z≥0

Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

), d = 2, n = 3

c = (−11,−15, 0, 0)

a1 = (4, 2), a2 = (5, 3), a3 = (1, 0), a4 = (0, 1), b = (37, 20)




Conti-Traverso



minimize {−11.x1 − 15.x2},

với điều kiện 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37,

2.x1 + 3.x2 + x4 = 20,

x1, x2, x3, x4 ∈ Z≥0

Trong đó:

A =

(4 5 1 02 3 0 1

), d = 2, n = 3

c = (−11,−15, 0, 0)

a1 = (4, 2), a2 = (5, 3), a3 = (1, 0), a4 = (0, 1), b = (37, 20)




Conti-Traverso


Tiếp theo, xác định các fi từ các vector cột ai :

f1 = x1 − ta1 = x1 − t41 .t22

f2 = x2 − ta2 = x2 − t51 .t32

f3 = x3 − ta3 = x3 − t1

f4 = x4 − ta4 = x4 − t2

Từ vector b, xác định tb

tb = t371 .t202




Conti-Traverso



f1 = x1 − ta1 = x1 − t41 .t22

f2 = x2 − ta2 = x2 − t51 .t32

f3 = x3 − ta3 = x3 − t1

f4 = x4 − ta4 = x4 − t2


tb = t371 .t202




Conti-Traverso



f1 = x1 − ta1 = x1 − t41 .t22

f2 = x2 − ta2 = x2 − t51 .t32

f3 = x3 − ta3 = x3 − t1

f4 = x4 − ta4 = x4 − t2


tb = t371 .t202




Conti-Traverso



f1 = x1 − ta1 = x1 − t41 .t22

f2 = x2 − ta2 = x2 − t51 .t32

f3 = x3 − ta3 = x3 − t1

f4 = x4 − ta4 = x4 − t2


tb = t371 .t202




Conti-Traverso



f1 = x1 − ta1 = x1 − t41 .t22

f2 = x2 − ta2 = x2 − t51 .t32

f3 = x3 − ta3 = x3 − t1

f4 = x4 − ta4 = x4 − t2


tb = t371 .t202




Conti-Traverso



f1 = x1 − ta1 = x1 − t41 .t22

f2 = x2 − ta2 = x2 − t51 .t32

f3 = x3 − ta3 = x3 − t1

f4 = x4 − ta4 = x4 − t2


tb = t371 .t202




Conti-Traverso



f1 = x1 − ta1 = x1 − t41 .t22

f2 = x2 − ta2 = x2 − t51 .t32

f3 = x3 − ta3 = x3 − t1

f4 = x4 − ta4 = x4 − t2


tb = t371 .t202




Conti-Traverso


Bước tiếp theo, tìm cơ sở Groner G từ {f1, f2, f3, f4}Sau khi xác định được G, tìm phần dư: PHANDU(tb, G )Kết quả tính toán cho đa thức dư:

q = x41 .x42x3 = t0.xu, với u = (4, 4, 1, 0)

Dựa trên đa thức dư, ta xác định được γ = 0. Vậy phương án tối

ưu của bài toán vận chuyển là (4,4,1,0). Áp dụng phương án tốiưu vừa tìm được cho hàm mục tiêu, ta được giá trị tối ưu.




Conti-Traverso



q = x41 .x42x3 = t0.xu, với u = (4, 4, 1, 0)






Conti-Traverso



q = x41 .x42x3 = t0.xu, với u = (4, 4, 1, 0)






Conti-Traverso



q = x41 .x42x3 = t0.xu, với u = (4, 4, 1, 0)






Conti-Traverso



q = x41 .x42x3 = t0.xu, với u = (4, 4, 1, 0)






Conti-Traverso



q = x41 .x42x3 = t0.xu, với u = (4, 4, 1, 0)






Conti-Traverso


Ví dụ

Giải bài toán qui hoạch nguyên

minimize x1 + 5x2 + 5x3 + x4,

với điều kiện x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 25,

x2 + x3 + x4 = 34,

x3 + 2x4 + x5 = 18,

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0.




Conti-Traverso


Ví dụ




x2 + x3 + x4 = 34,

x3 + 2x4 + x5 = 18,

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0.




Conti-Traverso


Ví dụ




x2 + x3 + x4 = 34,

x3 + 2x4 + x5 = 18,

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0.




Conti-Traverso


Ví dụ




x2 + x3 + x4 = 34,

x3 + 2x4 + x5 = 18,

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0.




Conti-Traverso


Ví dụ

Từ điều kiện bài toán, ta xác định được

A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1

trong đó, các vector cột: a1 = (1, 0, 0) , a2 = (1, 1, 0),a3 = (1, 2, 3), a4 = (1, 1, 2), a5 = (1, 0, 1), b = (25, 34, 18) làinput của thuật toán Conti - Traverso.Tiếp theo, ta xác định các fi từ các vector cột ai :f1 = x1 − ta1 = x1 − t1, f2 = x2 − ta2 = x2 − t1t2, f3 = x3 − t1t

22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.

Và từ vector cột b, xác định: tb = t251 t342 t183




Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ


A3x5 =

1 1 1 1 10 1 2 1 00 0 1 2 1


22 t3,

f 4 = x4 − t1t2t23 , f5 = x5 − t1t3.





Conti-Traverso


Ví dụ

Bước tiếp theo, tìm cơ sở Groner G từ {f1, f2, f3, f4, f5}Sau khi xác định được G, tìm phần dư: PHANDU(tb, G )Kết quả tính toán cho đa thức dư:

q = x71 x173 x5 = t0.xu, với u = (7, 0, 17, 0, 1)


ưu của bài toán qui hoạch nguyên là (7,0,17,0,1). Áp dụng phươngán tối ưu vừa tìm được cho hàm mục tiêu, ta được giá trị bé nhấtđạt được là 92.




Conti-Traverso


Ví dụ


q = x71 x173 x5 = t0.xu, với u = (7, 0, 17, 0, 1)






Conti-Traverso


Ví dụ


q = x71 x173 x5 = t0.xu, với u = (7, 0, 17, 0, 1)






Conti-Traverso


Ví dụ


q = x71 x173 x5 = t0.xu, với u = (7, 0, 17, 0, 1)






Conti-Traverso


Ví dụ


q = x71 x173 x5 = t0.xu, với u = (7, 0, 17, 0, 1)






Conti-Traverso


Ví dụ


q = x71 x173 x5 = t0.xu, với u = (7, 0, 17, 0, 1)






Conti-Traverso


Xây dựng thứ tự từ

- Thứ tự từ khử: cho ≥ là thứ tự tự thỏa mãn điều kiện sau đây:

xa11 ...x

ann > xb1

1 ...xbnn nếu a1 + ...+ ak > b1 + ...+ bk

Khi đó ≥ là thứ tự từ khử đối với cụm biến x1, ..., xk

- Một phương pháp để đặc tả 1 thứ tự từ: cho A là ma trận (dxn).Kí hiệu lần lượt các dòng của A là w1, ...,wd . Ta xem các vectorw1, ...,wd như là các vector trọng. Khi đó:

xα > xβ ⇐⇒ αw1 > βw1.Nếu αw1 = βw1, ta tiếp tục với w2, ...

Ví dụ: Thứ tự từ điển lex với x1 > x2 > x3 được định nghĩa bởi matrận: 1 0 0

0 1 00 0 1




Conti-Traverso


Xây dựng thứ tự từ

Nhận xét: dj > 0∀j( với dj = deg(xj)). Khi đó lấy µ đủ lớn sao cho

(c1, ..., cd ) + µ(d1, ..., dn)

có tất cả thành phần dương. Xét vector trọng (d + n) thành phầnu1, u2

u1 = (1, ..., 1, 0, ..., 0)(khử tập biến t1, ..., td )

u2 = (0, ..., 0, c1, ..., cn) + µ(0, ..., 0, d1, ..., dn)

Khi đó tất cả thành phần của u2 cũng đều dương. Do đó, chúng tacó thể định nghĩa một thứ tự theo trọng >u1,u2,σ bằng cách sosánh theo trọng u1 trước, nếu bằng nhau tiếp tục thực hiện theotrọng u2, và cuối cùng là thứ tự từ>σ (>σ có thể là thứ tự từđiển, từ điển phân bậc, ...)Nhận xét: thứ tự theo trọng >u1,u2,σ có thể được định nghĩa dựatrên thứ tự ma trận .


Technology

Quy hoach nguyen tuyen tinh