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Jóvenes de once, en esta presentación esta el tema visto en clase sobre sucesión, competencia del II periodo,
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CALCULO
Competencia – Sucesión
Fecha de entrega: Mayo 19 de 2011
Docente: Esp. Jorge H. Ortiz L.
CALCULO
Competencia – Sucesión
Fecha de entrega: Mayo 24 de 2011
Orientación pedagógica
1- Definir conceptos. Se resuelven, solo es transcribir y aplicar las definiciones. 2- Dar ejemplos de cada definición 3- Realizar un taller de ejercicios donde, nos dan la formula y hallamos el término. 4- Resolver un taller de ejercicios donde nos dan la sucesión e encontramos la sucesión.5- Observar vídeo sobre sucesión Fibonacci – sustentarlo en evaluación.6- Las soluciones deben estar en la carpeta de evidencias. 7- Se sustentará aleatoriamente pasando al tablero y sustentado el taller .8- Existirá sustentación con la carpeta de evidencias.
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Fecha de entrega: Mayo 24 de 2011
• TIPOS DE EJERCICIOS
• a- hallar términos con la formula general
• b- hallar la formula conociendo términos de la sucesión.
SUCESIONES – Sucesión creciente – sucesión decreciente.
SUCESIONES ACOTADAS. superior e inferior
Sucesión Convergentes – Sucesión Divergente y Sucesión
Oscilante.
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
Definir y dar ejemplos de:
SUCESIONES alternadas
• EJEMPLOS
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01SUCESIÓN
EJEMPLO 1,3,5,7,9,..... LOS NÚMEROS IMPARES
LA SUCESIÓN COMO UNA FUNCIÓN
Es una relación, donde
existe dominio y
coodominio, y la
correspondencia es
unívoca entre el conjunto
de los números naturales
N y el de los reales R.
123456
abcde
N R
conjunto de números dispuestos uno a continuación de
otro, formado de acuerdo con una ley o secuencia. .
NOMENCLATURA a1, a2, a3 ,..., anLos números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01SUCESÍONES MONÓTONAS
Creciente
Decreciente
Estrictamente
si cada término es mayor que el anterior, se cumple que an+1 > an
Ejemplo :
Ejemplo :
2, 5, 8, 11, 14, 17,... 5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...Se cumple
si cada término es mayor o igual que el anterior. an+1 ≥ an
Estrictamente
Creciente
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
Se cumple
Se cumple
Se cumple 2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Decreciente
si cada término de la sucesión es menor que el anterior. Ósea an+1 < an
Ejemplo : 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,... 1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3;
si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior. an+1 ≤ an
Ejemplo : 3, 2, 2 , 1, 1,...
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
Sucesiones convergentes son las sucesiones que tienden a un número o se dice que tienen límite finito.
Ejemplo 1: Límite = 0
Límite = 1Ejemplo 2:
Sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienden a un número ó tienen límite finito
5,7,9,11,13, , , , 2n+3Ejemplo 1: Límite = ∞
Sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ..Ejemplo 1:
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
Sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus
términos, pueden ser: convergentes o divergentes u oscilantes.
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..Convergentes
Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.
Ejemplo :
Divergentes 1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...Ejemplo :
Oscilantes
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.
Ejemplo : - 1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n
Sucesiones constante si todos su términos son iguales, an= k.
Ejemplo : an = an+1 5, 5, 5, 5, ..
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
InferiormenteSUCESÍONES ACOTADAS
Superiormente
si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número
K,que llamaremos cota inferior de la sucesión. an ≥ kSe cumple
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K',
que llamaremos cota superior de la sucesión.an ≤ k'Se cumple
la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
SUCESÍONES ACOTADAS
Por lo tanto , Se cumple
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e
inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los
términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos
de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están
comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
EJEMPLOS DE SUCESÍONES
bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superior: -1 , 0 , 1
El máximo es -1.
No está acotada inferiormente
Divergente
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
EJEMPLOS DE SUCESÍONES
Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superior: 2 , 3 , 4
El máximo es 2.
Está acotada inferiormente
Convergente , limite 1
cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
Cotas inferiores 1, 0,
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01
EJEMPLOS DE SUCESÍONES
No es monótona .
No está acotada
No es convergente ni divergente
dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
CALCULO
Competencia – Sucesión -
Doc:: Esp. Jorge H. Ortiz Taller
01EJERCICIOS TIPO I- dan la formula
1. Hallar los siete primeros términos de la sucesión.
3.
2.
4.
5.
6.1.
Para n impar
Para n par 7.
8.
9.