1.er GRADO: MATEMÁTICA

SEMANA 5

Evidenciamos progresiones aritméticas en la repartición de frutas

DÍA 3

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 1_ día 3, Ficha 10, páginas 131, 132 y 133.Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma. Días 3 y 4:

Leemos y observamos la siguiente situación

Repartimos frutas

Diego abrió un negocio de venta de frutas. El primer día de abril repartió 12 cajas de fruta; el segundo día, 18 cajas; el tercer día, 24 cajas, y así sucesivamente hasta el último día del mes.

A partir de la situación responde las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas cajas de fruta repartió el 12 de abril? ¿Y el último día delmes?

2. Escribe la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajaspor día y determina la cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo.

1. ¿Qué datos se presentan en la situación?

Las fechas y la cantidad de venta de cajas por cada día:

• 1 día de abril – repartió 12 cajas de fruta

• 2 día de abril – repartió 18 cajas de fruta

• 3 día de abril – repartió 24 cajas de fruta

Repartió cajas hasta el 30 abril.

Comprendemos la situación

2. ¿Cuántas cajas repartió el quinto día?

Día 1 ---------- 12 cajas

Día 2 --------- 18 cajas

Día 3 ---------- 24 cajas

Día 4 ---------- 30 cajas

Día 5 ---------- 36 cajas

Notamos que cada día aumentó en 6 el número de cajas que repartía, entonces el día 5 repartió 36 cajas.

+6

+6

+6

+6

Sigamos respondiendo

• El número de cajas que repartió Diego el día 12.• El número de cajas que repartió el último día del mes, es decir, el 30 de

abril.• Hallar la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajas por

día.• Determinar la cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo.

Recuerda:Tener visible tu organizador con las fases para empezar

a dar respuesta a las situaciones.

3. ¿Qué piden hallar las preguntas de la situación?

Sigamos respondiendo

1. Describe el procedimiento que realizarías para dar respuesta a las preguntas de la situación significativa.

Estrategia :• Calcula la diferencia entre las cantidades, día a día.• Completa los datos de la tabla donde se relaciona el día y la cantidad de cajas repartidas.• Identifica el primer término y el último día de abril como término 30.• Expresa la cantidad de cajas que repartió el segundo y tercer día a partir del número de cajas que

repartió el primer día. • Obtén el término general para la progresión aritmética.• Calcula la cantidad de cajas repartidas los días 12, 30 y otros.

Recuerda:La razón aritmética es la diferencia constante entre las cantidades correlativas de una progresión aritmética. Es la comparación de dos cantidades por medio de una sustracción. Por ejemplo en la sucesión 3; 7; 11; 15, la razón aritmética es 4, porque 7 – 3 = 4; 11 – 7 = 4 y así sucesivamente.

Diseñamos una estrategia o plan

Algunas nociones básicas

Sucesión

Progresión aritmética

Una sucesión o progresión es un conjunto de números que tienen un determinado orden. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de término. Así:

Es una sucesión de números, tal que la diferencia de dos números seguidos es constante, así:

El término que ocupa la posición n se denota por 𝑎𝑛 y se denomina término general o término enésimo.

Término

𝑎1, 𝑎2 ,𝑎3 … 𝑎𝑛

𝑎1 𝑎2 𝑎4 𝑎5𝑎3 … 𝑎𝑛2; 5; 8; 11; 14… Ubicación

Volvemos a la situación y ejecutamos la estrategia

1. Completamos los datos de la tabla.

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30

Cajas(unidades)

12 18 24

+ 6 + 6

1.° Colocamos los datos que nos da la situación.

2.° Encontramos la diferencia entre las cantidades de cajas de frutas repartidas.

3.° Completamos la cantidad de cajas repartidas por cada día.

Para completar los datos de la tabla seguiremos lossiguientes pasos:

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30

Cajas(unidades)

12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … 186

+ 6 …+ 6 + 6 + 6

¿Y el último día del mes?El último día del mes es el 30.

Respuesta: Repartió 186 cajas.

¿Cuántas cajas de fruta repartió Diego el 12 deabril?

Respuesta: Repartió 78 cajas.

2. A partir de los datos de la tabla, responde.

3. ¿Cuál es la razón de la progresión aritmética generada por la cantidad de cajas repartidas por día?

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30

Cajas

(unidades)12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … n

𝒂𝟐𝒂𝟏 𝒂𝟑 𝒂𝟒 𝒂𝟔𝒂𝟓 𝒂𝒏

Hallamos la razón de la progresión aritmética:• Comparamos las cantidades de cajas de frutas repartidas

entre días consecutivos. Calculamos la diferencia entre estas cantidades:

18 − 12 = 624 − 18 = 6

…

Respuesta:De acuerdo a la situación, la razón es la diferencia entre las cantidades de cajas de frutas repartidas entre dos días consecutivos.Por lo tanto, la razón de la progresión es 6.

+ 6 + 6

1.er Elemento de la progresión Último elemento de

la progresión

4. Expresa la cantidad de cajas que repartió el primer día.

𝑎1 es el primer día, entonces:

5. Expresa la cantidad de cajas que repartió el segundo día, en función de la cantidad de cajas del primer día y de la razón.

𝑎1 = 12

Recordemos que la razón de la progresión es 6, porque es la diferencia entre dos cantidades consecutivas de la progresión. Entonces, r = 6.

𝑎2 = 𝑎1 + 6 𝑎2 = 𝑎1 + r

𝑎2 = 12 + (1) 6

𝑎2 = 18

Sabemos que:

6. Expresa la cantidad de cajas que repartió el tercer día, en función de la cantidad de cajas que repartió el primer día y de la razón.

𝑎1= 12

𝑎2= 𝑎1 + (1) 6

Entonces: 𝑎3 = 12 + 6 + 6𝑎3 = 24r = 6

+ 6 + 6

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … a30

Tiempo

(días)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30

Cajas

(unidades)12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … n

Ahora que ya conocemos los elementos de una progresión aritmética, analicemos:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … a30

Cajas

(unidades)12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … n

+ 6 + 6

𝑎1 = 12

𝑎2 = 12 + 61 vez el seis

Primer término

𝑎3 = 12 + 6 + 6

2 veces el seis

𝑎4 = 12 + 6 + 6 + 6

3 veces el seis

+ 6 + 6

𝑎5 = 12 + 6 + 6 + 6 + 6

4 veces el seis

𝑎1 = 12

𝑎2 = 12 + 6(2 − 1)

𝑎3 = 12 + 6(3 − 1)

𝑎4 = 12 + 6(4 − 1)

𝑎5 = 12 + 6(5 − 1)

𝑎6 = 12 + 6(6 − 1)

𝑎𝑛 = 12 + 6(𝑛 − 1)

𝑎1 𝑟

𝑎𝑛 = 𝑎1 + r(n − 1)

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r

Fórmula para calcular el término enésimo (𝑎𝑛).

Para encontrar los siguientes términos de la progresión procedemos así:

7. Calcula la cantidad de cajas que repartió el día 12 y el día 30, respectivamente.

Cantidad de cajas para el día 12:

Término que queremos calcular

𝑆𝑖 𝑎1 = 12, r = 6, 𝑎𝑛 = ?? Término general 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r

𝑎12 = 12+ 66

𝑎12 = 12 + (12 − 1) 6

𝑎12 = 78

Cantidad de cajas para el día 30:

𝑎30 = 12 + (30 − 1) 6

𝑎30 = 12 + 174

𝑎30 = 186

Respuesta: La cantidad de cajas que repartió el día 12 y el día 30 fue de 78 y 186, respectivamente.

Volvemos a la situación

8. Expresa la cantidad de cajas que se repartió el día n, considerando la razón y la cantidad de cajas que repartió el primer día.

Respuesta:La cantidad de cajas que se repartió el día n, es:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r

Razón de la progresión aritmética: 6 = r.Cantidad de cajas que se reparte el primer día: 12 = 𝑎1.

𝑎𝑛 = 12 + 6n − 6

𝑎𝑛 = 6n + 6 𝑎𝑛 = 6n + 6

Reemplazamos los valores en la fórmula: 𝑎𝑛 = 12 + (n − 1)6

Día: n.

Entonces, la entrega de cajas por día será:

Cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo: El 30 de abril es el término número 30 → Hasta el 20 de mayo, serán 20 días más →

Entonces:

Respuesta: El 20 de mayo entregará 306 cajas de frutas.

Tenemos que:

𝑎𝑛 = 6n + 6

9. Escribe la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajas por día y determina la cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo.

𝑎𝑛 = 6n + 6

𝑎1 = 6(1) + 6 = 12

𝑎2 = 6(2) + 6 = 18

𝑎3 = 6(3) + 6 = 24

𝑎4 = 6(4) + 6 = 30

𝑎5 = 6(5) + 6 = 36

𝑎50 = 6(50) + 6Día 1 →Día 2 →Día 3 →Día 4 →Día 5 →

𝑎30𝑎30+20 = 𝑎50

𝑎50 = 300 + 6

𝑎50 = 306

Volvemos a la situación

1. ¿Podrías usar otro procedimiento para dar respuesta a las preguntas de la situación? Justifica tu respuesta.

Pregunta 1: ¿Cuántas cajas de fruta repartió el 12 de abril? ¿Y el último día del mes?

𝑎2 = 12 + 6 = 18

𝑎3 = 12 + 6 + 6

𝑎4 = 12 + (3)(6) = 30

𝑎5 = 12 + (4)(6) = 36

= 12+ (2)(6) = 24

𝑎12 = 12 + (11)(6) = 78

𝑎30 = 12 + (29)(6) = 186

El día 2 reparte:

El día 3 reparte:

6 + 6 el doble de 6, es decir, (2)(6).

El día 4 será 12 + tres veces el 6.

El día 5 será 12 + cuatro veces el 6.

El día 12 será 12 + once veces el 6.

El día 30 será 12 + veintinueve veces el 6.

Se establece una relación: se multiplica el número de ubicación del término anterior por la razón, más el primer término.

Si tenemos en cuenta que:- El día 1 repartió 12.- La diferencia entre

las cantidades es 6, es decir, que todos los días aumentará esta cantidad.

Reflexionamos sobre lo desarrollado

Pregunta 2: Escribe la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajas por día y determina la cantidadde cajas que entregará el 20 de mayo.

• Hasta el 30 de abril son 30 días y el reparto de ese día el término 30

• Del 1 al 20 de mayo son 20 días más, será el día 50 de entrega de frutas, yel reparto será el término 50

Entonces, podemos aplicar la fórmula:

(𝑎30).

𝑎50 = 12 + (49)(6) 𝑎50 = 12 + 294𝑎50 = 306

(𝑎50).

Considerando que el primer día entrega 12 cajas de fruta y que cada día aumenta en 6, podemos decir:

𝑎1 = 12𝑎2 = 12 + 6𝑎3 = 12 + (2)(6)𝑎4 = 12 + (3)(6)

𝑎𝑛 = 12 + (n – 1)(6)

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r

¿Podrías usar otro procedimiento para dar respuesta a las preguntas de la situación? Justifica tu respuesta.

Para seguir aprendiendo en casa

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Estimadas(os) estudiantes con la finalidad de afianzar tusaprendizajes matemáticos te invitamos a revisar el siguientedesafío de las páginas 137, 138 y 139 del cuaderno de trabajo deMatemática, Resolvamos problemas 1_día 4 donde encontrarásotras situaciones similares que te será útil resolver.

Días 3 y 4:

Gracias