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Tratamento analítico da interação entre trens de pulsos ópticos e sistemas de
dois níveis no domínio espectral
Marco Polo, Sandra Vianna
Departamento de Física
Objetivo
M Polo et al, J. Phys. B 43 055001 (2010).
Descrever interação do trem de pulsos com sistema atômico – expressão analítica
Prêmio Nobel de Física (2005)
O trem de pulsos
* Steven T Cundiff, J. Phys. D: Appl. Phys. 35 (2002) R43–R59
𝐸 𝜔 = 𝐸 0 𝜔 − 𝜔𝑐 𝑒𝑖𝑛 𝜙 −𝜔 𝑇𝑅
𝑁
𝑛=0
𝐸 𝜔 = 𝐸 0 𝜔 − 𝜔𝑐 𝛿 𝜙 − 𝜔𝑇𝑅 − 2𝜋𝑚
∞
𝑚=−∞
∗
𝐸 𝑡 = 𝐸0 𝑡 − 𝑛𝑇𝑅 𝑒𝑖𝑛(𝜔𝑐𝑇𝑅+𝜙)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡
𝑁
𝑛=0
𝑁 → ∞ ⟹
𝜔𝑚 = 2𝜋(𝑓0 +𝑚𝑓𝑅)
Transformada de Fourier
⟹
𝐸 𝑡 =1
𝑇𝑅 𝐸 0 𝑚 − 𝑐 𝑒𝑖𝑚𝑡
∞
𝑚=−∞
𝐸 𝑡 = 𝐸 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡
𝑚
Interação átomo-campo Interação entre um trem de pulsos ultra-curtos e átomos de 2 níveis.
𝜕𝜌
𝜕𝑡= −
𝑖
ℏ𝐻 , 𝜌 + 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎çã𝑜
𝐻 = ℏ𝜔𝑘 𝑘
2
𝑘=1
𝑘 − 𝜇 . 𝐸
𝜌 22 = 𝑖Ω𝜌12 + 𝑐. 𝑐 − 𝛾22𝜌22
Ω = Ω 𝑡 =𝜇12𝐸(𝑡)
ℏ
Ω = Ω 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡
𝑚
𝜌 12 = 𝑖𝜔21 − 𝛾12 𝜌12 − 𝑖Ω(1 − 2𝜌22) 𝜇12 = 1 𝜇 2
Eq. de Bloch:
Frequência de Rabi
Resolvendo as equações de Bloch
Envoltória lenta:
Combinação linear de todas as frequências do pente:
Expansão em potências dos campos:
𝜌 12 = 𝑖21 − 12 12 − 𝑖Ω 1 − 222
𝜌 22 = 𝑖Ω12 + 𝑐. 𝑐. −2222 𝜌12 𝑡 = 𝜍12(𝑡)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡
𝜌12 𝑡 →
𝜔𝑗 , 𝜔𝑗± 𝜔𝑘 , 𝜔𝑗 ± 𝜔𝑘 ± 𝜔𝑙 , …
12 𝑡 = (𝑡)12(1)
𝑗
𝑒𝑖𝑗𝑡 + (𝑡)22(3)
𝑗𝑘𝑙
𝑒𝑖(𝑗 − 𝑘 + 𝑙)𝑡 +⋯
22 𝑡 = (𝑡)22(2)
𝑗𝑘
𝑒𝑖(𝑗 − 𝑘)𝑡 + (𝑡)22(4)
𝑗𝑘𝑙𝑚
𝑒𝑖(𝑗 − 𝑘 + 𝑙 − 𝑚)𝑡 +⋯+ 𝑐. 𝑐.
𝜌 (𝑡)12(1)
= Ω 0 𝑒𝑖𝑚𝑡 − 𝑒(𝑖21−12)𝑡
𝑖 21 − 𝑚 − 12𝑚
Condição inicial: 𝜌11 𝑡 = 0 = 1 ⇒
Cálculos numéricos e analíticos
Ω 0 =12
100
𝑚′ = ω21
𝑓𝑅 = 4012
2𝜋
Numérico:
Analítico: 𝜌12 𝑡 = Ω 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡 − 𝑒 𝑖𝜔21−𝛾12 𝑡
𝑖 𝜔21 − 𝜔𝑚 − 𝛾12
𝑀
𝑚=−𝑀
→ (Runge-Kutta) → 𝜌12 𝐸 𝑡 = 𝐸0(𝑡 − 𝑛𝑇𝑅)𝑒𝑖𝑛(𝜔𝑐𝑇𝑅+𝜙)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡
𝑁
𝑛=0
+ 𝐸𝑞. 𝐵𝑙𝑜𝑐ℎ
Acumulação coerente: D. Felinto et al, Opt. Commun. 215 , 69-73 (2003).
Cálculos numéricos e analíticos
Numérico:
Analítico:
M = 5 (11 modos)
Ω 0 =12
100
𝑚′ = ω21
𝑓𝑅 = 4012
2𝜋
𝜌12 𝑡 = Ω 0 𝑒𝑖𝜔𝑚𝑡 − 𝑒 𝑖𝜔21−𝛾12 𝑡
𝑖 𝜔21 − 𝜔𝑚 − 𝛾12
𝑀
𝑚=−𝑀
→ (Runge-Kutta) → 𝜌12 𝐸 𝑡 = 𝐸0(𝑡 − 𝑛𝑇𝑅)𝑒𝑖𝑛(𝜔𝑐𝑇𝑅+𝜙)𝑒𝑖𝜔𝑐𝑡
𝑁
𝑛=0
+ 𝐸𝑞. 𝐵𝑙𝑜𝑐ℎ
Quantidade de modos
280 288 2960.0088
0.0096
0.0104
0.0112
l1
2l
t/TR
101 modos
11 modos
1 modo
Quantos mais modos são levados em conta, mais bem descrito temporalmente é a dinâmica da matriz densidade.
Um campo cw (apenas 1 modo) descreve o comportamento médio da evolução da matriz densidade, inclusive o transiente.
Interação com vapor atômico
-200 -100 0 100 200
0.000
0.005
0.010
l
12
Dl
(12
)
𝜌 12𝐷 ~ 𝜌12exp (−𝛿
2/2𝛿𝐷)
𝛿 → 𝜔21 − 𝜔𝑚 + 𝑘𝑣
𝜔21 = 𝜔𝑚′
𝛿𝐷 = 150𝛾21 (largura Doppler)
Distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann
Condição de ressonância: 𝜔21 = 𝜔𝑚 ± 𝑘𝑣
𝑡 = 400𝑇𝑅 𝑓𝑖𝑥𝑜
Efeito Doppler
𝑀 = 11 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠
Conclusões e Perspectivas Apresentamos uma expressão analítica para a interação entre um trem de pulsos ópticos e um sistema de dois níveis, com ênfase no domínio espectral. Além de mais elegante, a solução analítica no domínio da frequência é muito mais eficiente em termos de tempo de computação.
Propagação de trens de pulsos em meios densos.
Utilizando um tratamento semelhante, estudamos a interação de um trem de pulsos com um sistema Λ (3 níveis), na condição de ressonância de 2 fótons. A ser submetido.
-400 -200 0 200 400
-100
0
100
Ab
so
rção
(u
ni.
arb
.)
(MHz)
Trem de pulsos com 𝑓𝑅 = 1 GHz
interagindo com vapor de Rubídio