02 Vectoresa

Vectores en el plano

VECTORES EN EL PLANO

Curso 2009

Prof: Lauro Gamarra Arturo


El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio

P Q

Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto

inicial P y punto final Q

→PQ


R SP Q

S

R

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por

→PQ

Vectores de la misma magnitud→→

= RSPQ


La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido

→→≠ SRRS

Vectores de la misma dirección

S

R Q

P

S

R

S

R

Vectores en direcciones distintas

P

Q


Vectores Equivalentes

Q

P

→→= RSPQ

Tienen la misma magnitud y dirección

S

R

Definición Geométrica

Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes


OEje x

Eje y

Representante del vector por el origen de coordenadas


(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

u

a

b

A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:

P(a,b))b,a(OPu ==

→

Eje Y

OEje X


u=(a,b)

Dado (a,b)∈ℜ2 se le asocia el vector u así:

u

a

bP(a,b)

Eje Y

OEje X

Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de

números reales


Punto P en el plano

(a,b)∈ℜ2

Vector u=OPdesde el origen hasta P

Esta correspondencia se llama:

Sistema de coordenadas rectangulares


Magnitud o módulo de un vector u

El vector nulo (0,0) no tiene dirección

Dirección θ de u

Angulo positivo que forma con el eje X

22 bau +=ab

tag =θ

u

a

b(a,b)

Eje Y

OEje X

θ

Un vector de módulo uno se llama unitario


Operaciones con vectores

Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y α un número real. Se define el vector:

suma u+v como

u+v= (x+a, y+b)

producto por un escalar α u como

α u=(αx, αy).



Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que u+v=(x+a,y+b)

Eje Y

OEje X

u+ v u

v



u+v=(x+a,y+b)

a

y

O

Eje Y

Eje X

u+ v u

v

a x

y

b b

b x

x



Si u=(x,y), α∈ℜ pruebe gráficamente que αu=(αx, αy)

Eje Y

OEje X

αu

u

α>0

αu α<0



αu=(αx, αy)

αu

u

O

Eje Y

Eje X x

y

Triángulos semejantes

y¿

x?

u

u==

α

αy

αx

?

¿


Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes

coordenados

Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j

Eje Y

O Eje X

u

x

y

i

j xi

yj


Producto escalar

Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

ybxav.u j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u

bjaivyjxiu

+=+++=

+=+=


Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:

u.v=ax+by

Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo ϕ no negativo mas pequeño entre u y v.

ϕ

Producto escalar


Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o π.

Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de π/2

Producto escalar

Eje X

Eje Y

π/2π


Propiedades del producto escalar

Teorema: Sean u,v vectores en ℜ2 y α un número real, entonces:

u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) (αu).v = α(u.v) = u.(α v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva) 2uu.u =


Interpretación geométrica:

Teorema:Sean u y v vectores no nulos y ϕ el ángulo entre ellos, entonces ϕ= cosvuv.u

ϕ

v

u

ucosϕ

w= vv

v.u2


•Una magnitud escalar está determinada completamente por un único número con las unidades apropiadas y no tiene dirección, ni sentido.

•Una magnitud vectorial está determinada completamente por un número con las unidades apropiadas (módulo), una dirección y un sentido


Ejemplo de vector

•Una partícula viaja de A a B a lo largo del camino representado por la línea roja discontinua•esta es la distancia que ha recorrido y es un escalar•El desplazamiento es la línea negra continua de A a B•El desplazamiento es independiente del camino que tomemos entre ambos puntos•El desplazamiento es un vector


• Dibujar los vectores del final de uno al origen del Otro

• La resultante se dibujadesde el origen del primer vector hasta el final del último

Vectores en el planoSuma gráfica de vectores

•Cuando se tienen muchos vectores, se repite el proceso hasta que se incluyen todos ellos

•La resultante se dibuja desde el origen del primer vector hasta el final del último

Vectores en el planoPropiedades de la suma de vectores

Propiedad Conmutativa:

La suma es independientedel orden de los vectores

A+B=B+A

Vectores en el planoPropiedad asociativa:

Cuando sumamos tres o más vectores, la suma es independiente de la forma en que los vectores se agrupan.

Vectores en el planoDiferencia de vectores

Es un caso especial de suma de vectores

•Para calcular A – B, se hace A+(-B)

•Continuar con el procedimiento standard de suma de vectores

Vectores en el planoVectores unitarios

Un vector unitario es un vector sin unidades cuyo módulo es exactamente la unidad. Se utilizan para especificar dirección y sentido.

Por ejemplo, dado un vector a, podemos hallar un vector unitario en la dirección y sentido de a, sin más que escribir:


Los símbolos representan a los vectores unitarios en un sistema de coordenadas rectangular

Forman un conjunto de vectores unitarios perpendiculares dos a dos


Para hallar las componentes de un vector, se proyecta éste en las tres direcciones X, Y y Z,

hallando Ax, Ay y Az y escribiendo el vector:


Gracias

Vectores en el planoProblemas de aplicación

En la siguiente se dan los problemas de aplicación una de ellas esta resuelta y la otra es para resolver, por favor responda de manera clara y precisa cada pregunta que no esta resuelta, según sus conocimientos adquiridos.



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