Transformaciones isométricas.

Transformaciones IsométricasLas transformaciones isométricas son 

movimientos que solo producen cambios de posición, manteniendo su forma y tamaño.

Son 3:TraslaciónRotaciónSimetría

TraslaciónMovimiento que desliza o mueve una

figura, reproduciendo su diseño y manteniendo su forma, tamaño y posición.

Una traslación mantiene sus lados de igual medida y paralelos a los de la figura de origen.

Elementos de una traslación Dirección: Puede ser vertical, horizontal u

oblicua. Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste,

izquierda, derecha, arriba, abajo, etc. Magnitud: Distancia que existe entre la

posición inicial y final de cualquier punto de la figura que se desplaza.

En la figura, F se traslada 5 cm. en dirección horizontal hacia la derecha y 3 cm. en dirección vertical hacia abajo, dando origen a la figura F’. En este caso, solo se ha especificado la traslación del punto B a B’, pero TODOS los puntos de la figura F han experimentado la misma transformación:

Traslación en ejes de coordenadas En la figura, el triángulo ABC, situado en un sistema coordenado, experimenta una traslación oblicua, generando vértices homólogos A’, B’ y C’.

Vector de traslación En la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladado de los respectivos puntos de la figura F.

Observamos que la coordenada de A es (3, 7) y que la de A’, su imagen, es (8, 4). Entonces, concluimos que el punto A se desplazó 5 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo.Es posible verificar que ocurre lo mismo con B y C, con respecto a B’ y C’ y, en general,  con todos los puntos de la figura F.Se dice, entonces, que el vector de traslación de la figura F es (5, -3), también señalado como 5i – 3j, que indica que cada punto de la figura original F se desplaza 5 unidades a la derecha (por el signo positivo) y 3 unidades hacia abajo ( por el signo negativo). En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yj

Rotaciones Una rotación es un movimiento de giro de

una figura en torno a un punto, denominado centro de rotación.

Una rotación transforma la figura original, manteniendo su forma y tamaño pero cambiando su posición.

La figura B se ha obtenido a partir de una rotación en el plano de la figura A.

Esta rotación corresponde a giros sucesivos en 90° con centro en la punta del ala del ave, tal como lo muestran las figuras

siguientes

Elementos de una rotación Magnitud del giro: Medida del ángulo

determinado por un punto cualquiera de la figura original, el punto de rotación como vértice y el punto correspondiente en la transformación obtenida.

Sentido de giro: Puede ser a la derecha, negativa u  horario (en sentido de las manecillas del reloj), o a la izquierda, positiva o antihorario (en sentido contrario a las manecillas del reloj).

Rotación en ejes de coordenadas Como ya sostuvimos, una rotación o giro es

una isometría en que todos los puntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo.

El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación. O sea, todos los puntos de la figura son rotados a través de círculos concéntricos respecto de un origen O y describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.

Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido antihorario.

Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj. También se denomina sentido horario.

Una rotación considera:

•Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en forma convencional. •Medida del ángulo (a)  es el giro en que se efectuará la rotación. •Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo.

En la figura, el triángulo F, con vértices ABC, será girado en 90º en sentido antihoraio,con centro en el origen O,

Volúmenes a partir de rotación de figura planas Supongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al eje de coordenadas, realiza un giro de 360º con eje en su lado AD. En estas condiciones, genera un cilindro de radio AB y altura AD.

El volumen V del cilindro obtenido es V = r2 h

siendo el radio r = AB y la altura h = AD.

De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar un cono cuando gira en torno de uno de sus catetos AC.

El volumen V del cono obtenido es V = 1/3 r2 h ,

Simetrías Un eje de simetría es una recta que divide

una figura en 2 partes congruentes, siendo una la imagen especular de la otra.

De ese modo, si pudiera doblarse la figura por el eje de simetría, ambas partes coincidirían perfectamente.

simetría vertical simetría

horizontal

simetría en letras del alfabeto

Ningún eje de

simetría

1 eje de simetría

vertical 1 eje de simetría

horizontal 1 eje de simetría vertical

y otro horizontal

Simetría con respecto a un eje (simetría axial). Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero

cambia su posición.

Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmento que une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.

Simetría con respecto a un punto (simetría puntual). Para hallar la  simetría con respecto a un punto se

debe prolongar, en igual distancia, la recta que une un  punto de la figura con el punto de simetría.

Sea el punto O, el punto de simetría, entonces

Simetría con respecto a ejes de coordenadas Las simetrías con ejes de coordenadas,

 como referencia,  serán horizontales con respecto al eje X y verticales con respecto al eje Y

Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje X, tendrá siempre como punto simétrico a (x, -y).Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje Y, tendrá siempre como punto simétrico a (-x, y).

Ejemplo La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’.La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje X con la

Simetrías sucesivas Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son

equivalentes a un movimiento de traslación

Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes perpendiculares son equivalentes a una simetría con respecto al punto de intersección de los ejes de simetría.

Teselaciones (Embaldosados) Se conoce con el nombre de teselación a una configuración

geométrica obtenida por el acoplamiento de una figura o pieza de base, que se repite invariablemente hasta cubrir completamente un plano.

•Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempos más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente,  como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, vestuario, tal como lo muestran las figuras siguientes:

Teselaciones a partir de figuras simples Triángulos 

Cuadrados

 Hexágonos

El embaldosado con Transformaciones Isométricas

La simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar que estos se construyen sobre la base

de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos: