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Descripcion de las practicas.
Las practicas siguientes corresponden todas ellas al tema cinco del programa de la
asignatura: “Integrales dobles y triples”. Estan organizadas del modo siguiente,
• Las tres primeras estan incluidas en el apartado de “integrales doble” y tratan
respectivamente,
Practica primera. De la integral doble de una funcion dada f(x, y) en una
region Ω del plano oxy descrita por las curvas que forman su contorno.
Practica segunda. Del calculo del volumen de un recinto R del espacio,
definido por el conjunto de superficies que lo limitan, hallando el valor de la
integral doble de cierta funcion en la region Ω en que se proyecta R sobre el
plano oxy.
Practica tercera. Tambien del calculo de un volumen en la misma forma que
la practica anterior pero efectuando en la integral doble, una vez planteada,
un cambio a las coordenadas polares.
• Las dos practicas siguientes tratan, por su parte, de la integracion triple. Con-
sisten en
Practica cuarta. Se pide integrar una funcion f(x, y, z) en un recinto R
dado en el espacio. Se convierte la integral triple en una doble (como la de
la practica primera) sobre la proyeccion de R en el plano oxy.
Practica quinta. Finalmente, la practica quinta tiene el mismo planteamien-
to y desarrollo que la anterior pero la integral doble que resulta se ejecuta
en coordenadas polares.
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Ejercicio del aula de informatica. No 1.
Ejercicio. Calcular la integral doble de la funcion
f(x, y) = 1− x2
en la region del plano Ω limitada por la curva y = x4 y la parabola y = 2−x2.
Solucion:
Representacion de Ω. Dibujemos ante todo la region Ω para lo cual basta escribir,
[> with(plots):
[> curva:=plot(xˆ4, x=-1..1):
[> parabola:=plot(2-xˆ2, x=-1..1):
[> display(curva,parabola,scaling=constrained);
Planteamiento de la integral. La integral doble
∫∫
Ω
(1− x2
)dx dy
se plantea hallando previamente los lımites de la region Ω de integracion. Si barremos
dicha region verticalmente, sera una integral de la forma
∫ b
a
(∫ y2(x)
y1(x)
(1− x2
)dy
)dx.
1. Primera integracion. Observemos que la region esta limitada,
(a) Inferiormente por la curva y = x4.
(b) Superiormenente por la parabola y = 2− x2.
Como consecuencia la primera integral es
∫ 2−x2
x4
(1− x2
)dy.
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2. Segunda integracion. Para hallar los lımites de la segunda integral calculemos los
puntos de interseccion de la curva y = x4 y la parabola y = 2 − x2 para lo cual
ponemos,
[> solve(y=xˆ4, y=2-xˆ2);
El resultado obtenido nos permite decir que Ω tambien esta limitada,
(a) Por la izquierda por el valor x = −1.
(b) Por la derecha por el x = 1.
De este modo la segunda integral tiene como lımites −1 y 1 y la integral doble
queda planteada ası: ∫ 1
−1
(∫ 2−x2
x4
(1− x2
)dy
)dx.
Calculo de las integrales.
1. Primera integracion. La integral∫ 2−x2
x4
(1− x2
)dy podemos hacerla en Maple
de dos formas distintas.
(a) De modo directo como una integral definida. Para ello se escribe,
[> integral1:=int(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2);
[> simplify(%);
(b) O bien de forma indirecta calculando en primer lugar la integral indefinida∫ (1− x2
)dy y sustituyendo luego los lımites de integracion. Ası:
[> IntIndef:=int(1-xˆ2, y);
[> integral1:=subs(y=2-xˆ2,IntIndef)-subs(y=xˆ4,IntIndef);
[> simplify(%);
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2. Segunda integracion. El resultado obtenido tras la primera integracion, que es
el que hemos llamado “integral1” se integra ahora entre x = −1 y x = 1 (lo
hacemos ya de forma directa como integral definida) de la siguiente manera (El
resultado es ya el valor de la integral doble planteada),
[> int(integral1, x=-1..1);
Nota importante. Existe en Maple una forma de hallar una integral doble sin dividirla
en las dos integrales reiteradas usuales, es decir hallandola de una sola vez. Es preciso
para ello importar el paquete student y emplear las ordenes Doubleint y value. En
el caso del ejercicio anterior esto se harıa como sigue,
[> with(student):
[> Doubleint(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);
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Ejercicio del aula de informatica. No 2.
Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el semiespacio y ≥ 0 por las
superficies z =y
1 + x2, z = 0, x2 + y2 = 1.
Solucion:
Representacion del recinto. Vamos a representar el recinto que limitan las superficies
dadas en el semiespacio indicado:
1. La mas sencilla de representar, como superficie explıcita, es el plano z = 0,
[> with(plots):
[> plano:=plot3d(0, x=-1..1, y=0..1):
2. Tambien como superficie explıcita representamos la superficie z =y
1 + x2,
[> superficie:=plot3d(y/(1+xˆ2), x=-1..1, y=0..1):
3. Y finalmente representamos el cilindro usando sus ecuaciones parametricas x =
cos u, y = senu, z = v. Tambien representamos todas las superficies conjunta-
mente
[> cilindro:=plot3d([cos(u),sin(u),v], u=0..Pi, v=0..1):
[> display(plano,superficie,cilindro);
Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy.
El recinto del enunciado esta limitado,
1. Inferiormente por el plano z = 0.
2. Superiormenente por la superficie z = y1+x2 .
Por lo tanto dicho volumen se obtiene como la integral doble∫∫
Ω
(y
1 + x2− 0
)dx dy.
donde el integrando es la diferencia de los valores de z en las superficies que limitan el
recinto superior e inferiormente y Ω es la region del plano oxy encerrada por las curvas
siguientes:
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1. La base del cilindro x2 + y2 = 1.
2. La proyeccion sobre el plano oxy de la interseccion de las superficies z = y1+x2 y
z = 0 (la cual es obviamente la recta y = 0).
(Bien entendido que de ambas curvas solo puede tomarse la parte del semiplano y ≥ 0
debido a la limitacion del enunciado).
[> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4):
[> semicircunferencia:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi], thickness=4):
[> display(ejeox,semicircunferencia,scaling=constrained);
A la vista de su representacion geometrica y si la barremos verticalmente, Ω esta
limitada,
1. Superiormente por la semicircunferencia superior de x2 + y2 = 1 que es, despe-
jando y, y =√
1− x2.
2. Inferiormente por el eje ox, de ecuacion explıcita en y, y = 0.
3. Por la izquierda por el valor x = −1.
4. Y por la derecha por el x = 1.
En virtud de todo esto el volumen se plantea ası:
V =∫ 1
−1
(∫ √1−x2
0
y
1 + x2dy
)dx.
Calculo de las integrales.
1. Primera integracion. La integral∫ √
1−x2
0
y
1 + x2dy se obtiene poniendo
[> integral1:=int(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2));
[> convert(%,parfrac,x);
Observese el resultado de la orden “convert” (descompone la fraccion para poder
integrarla).
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2. Segunda integracion. El resultado de la primera integracion se integra ahora entre
x = −1 y x = 1.
[> V:=int(integral1, x=-1..1);
Para efectuar la integral doble de una sola vez se tiene que escribir
[> with(student):
[> Doubleint(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2), x=-1..1);
[> V:=value(%);
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Ejercicio del aula de informatica. No 3.
Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el primer octante por el cilindro
x2 + y2 = x y el paraboloide elıptico z = 1− x2 − y2.
Solucion:
Representacion del recinto. La representacion del recinto descrito es la siguiente
1. Como el paraboloide z = 1 − x2 − y2 tiene vertice (0, 0, 1), semiejes a = 1 y
b = 1 y concavidad negativa se parametriza en la forma x = v cos u, y = v senu,
z = 1− v2 y se representa como,
[> with(plots):
[> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),1-vˆ2], u=0..Pi/2,
v=0..1):
2. Por su parte el cilindro x2 + y2 = x es vertical y su base es la circunferencia de
centro (1, 0, 0) y radio 1 y por ello se representa poniendo,
[> cilindro:=plot3d([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,v], u=0..Pi, v=0..1):
3. Por otra parte los planos coordenados oxy y oyz, que delimitan tambien este
recinto, quedan,
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=0..1, y=0..1):
[> planooyz:=plot3d([0,y,z], y=0..1, z=0..1):
4. Y todas las superficies conjuntamente,
[> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planooyz);
Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy.
El recinto tiene superior e inferiormente los siguientes lımites,
1. Inferiormente, el plano z = 0.
2. Superiormenente, el paraboloide z = 1− x2 − y2.
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Por lo tanto el volumen vale,
V =∫∫
Ω
(1− x2 − y2
)dx dy
donde:
1. El integrando, 1 − x2 − y2, es la diferencia de los valores de z en las superficies
que cubren el recinto por encima, z = 1− x2 − y2, y por debajo, z = 0.
2. Ω es la region del plano oxy encerrada por las curvas,
(a) x2 + y2 = 1 que es el corte del paraboloide con el plano z = 0.
(b) x2 + y2 = x, que es la circunferencia base del cilindro.
(c) Y por eje oy que es el corte del plano oyz con el z = 0.
[> circulo1:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi/2],thickness=4):
[> circulo2:=plot([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,u=0..Pi],thickness=4):
[> ejeoy:=plot([0,y,y=0..1],thickness=4):
[> display(circulo1,circulo2,ejeoy,scaling=constrained);
A la vista de su representacion geometrica calcularemos la integral cambiando a las
variables polares, es decir barriendo Ω radialmente. En esta forma los lımites de Ω son:
1. Para el angulo polar θ los valores θ = 0 y θ = π2.
2. Y para el radio polar ρ los siguientes:
(a) El valor de ρ en la circunferencia x2 + y2 = x que se obtiene sustituyendo
en esta ecuacion x = ρ cos θ, y = ρ senθ, y despejando ρ,
[> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=x);
[> solve(%,rho);
[> simplify(%[2]);
(b) Y el valor de ρ en la circunferencia x2 + y2 = 1 que se obtiene de la misma
manera
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[> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=1);
[> solve(%,rho);
Ademas el integrando original 1 − x2 − y2 debe ser sustituido por el producto del
Jacobiano ρ del cambio de variables por el que se obtiene pasando aquel a polares, es
decir
[> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), 1-xˆ2-yˆ2);
[> simplify(%);
En virtud de todo esto el volumen se plantea ası:
V =∫ π
2
0
(∫ 1
cos θρ
(1− ρ2
)dρ
)dθ =
∫ π2
0
(∫ 1
cos θ
(ρ− ρ3
)dρ
)dθ.
Calculo de las integrales.
1. Primera integracion. La integral∫ 1
cos θ
(ρ− ρ3
)dρ vale
[> integral1:=int(rho*(1-rhoˆ2), rho=cos(theta)..1);
2. Segunda integracion. El resultado de la primera integracion se integra entre θ = 0
y θ = π2.
[> V:=int(integral1, theta=0.. Pi/2);
La integral doble se harıa ası:
[> with(student):
[> Doubleint(rho-rhoˆ3, rho=cos(theta)..1, theta=0.. Pi/2);
[> value(%);
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Ejercicio del aula de informatica. No 4.
Ejercicio. Calcular la integral triple de la funcion
f(x, y, z) =1
x2 + y2
en el recinto R del espacio limitado por el paraboloide elıptico z = x2 + y2,
el cilindro parabolico y = 1− x2 y los plano y = 0 y z = 0.
Solucion:
Representacion de R. Representemos en primer lugar el recinto R,
1. Paraboloide. El paraboloide z = x2 + y2 tiene como vertice el origen de coor-
denadas, semiejes a = 1 y b = 1 y concavidad positiva. Por eso sus ecuaciones
parametricas son,
x = v cos u, y = v senu, z = v2,
y estas ecuaciones son las que usamos para representarlo,
[> with(plots):
[> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),vˆ2], u=0..2*Pi,
v=0..1):
2. Cilindro y planos. Tanto el cilindro parabolico como los dos planos coordenados
que se dan estan en forma explıcita, luego se representan ası,
[> cilindro:=plot3d([x,1-xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1):
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1):
[> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1):
3. Todas las superficies citadas dan, representadas conjuntamente, el recinto descrito
en el enunciado,
[> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planoozx);
Planteamiento.
Vamos a hacer este ejercicio reduciendo la integral triple a una doble mediante proyec-
cion sobre el plano oxy. Para ello tengamos en cuenta que,
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1. El recinto esta cubierto superiormente por el paraboloide z = x2 + y2.
2. E inferiormente por el plano z = 0.
Esto significa que la integral triple se reduce a una doble usando la identidad,
∫∫∫
R
1
x2 + y2dx dy dz =
∫∫
Ωf(x, y) dx dy
donde,
1. Integrando. f(x, y) es la funcion que resulta de integrar 1x2+y2 respecto de z
entre el valor de z en la superficie que limita R superiormente, z = x2 + y2 e
inferiormente, z = 0. Es decir que
f(x, y) =∫ x2+y2
0
1
x2 + y2dz
y vale
[> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2);
2. Region de integracion. Ω esta limitada por la parabola y = 1− x2 y el eje ox,
[> parabola:=plot(1-xˆ2, x=-1..1, thickness=4):
[> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4):
[> display(parabola,ejeox,scaling=constrained);
Esto significa que los lımites de Ω son
0 ≤ y ≤ 1− x2,
−1 ≤ x ≤ 1.
Como consecuencia de todo esto la integral triple queda:
∫∫∫
R
1
x2 + y2dx dy dz =
∫∫
Ωf(x, y) dx dy =
∫ 1
−1
∫ 1−x2
01 dx dy
y se obtiene del modo siguiente
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[> integral2:=int(integral1, y=0..1-xˆ2);
[> integraltriple:=int(integral2, x=-1..1);
Si la integral doble se hace de una sola vez el proceso completo de calculo de la
integral triple por reduccion a una simple y una doble hubiese sido,
[> with(student):
[> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2);
[> integraltriple:=Doubleint(integral1, y=0..1-xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);
Observacion. Igual que es posible calcular una integral doble en un solo paso
tambien podemos calcular de este modo una integral triple. La orden correspon-
diente es Tripleint y en el presente ejercicio se pondrıa (notese que se agrupan
en una sola las integraciones simple y doble hechas antes),
[> integraltriple:=Tripleint(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2, y=0..1-
xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);
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Ejercicio del aula de informatica. No 5.
Ejercicio. Calcular, usando coordenadas cilındricas, la integral triple
∫∫∫
R
2xz
x2 + y2dx dy dz
extendida al recinto del semiespacio z ≥ 0 encerrado por los planos y = 0,
z = 0, la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y el cilindro parabolico y = x2.
Solucion:
Representacion de R. El recinto del enunciado se representa del siguiente modo,
1. Esfera. Representamos la esfera utilizando sus ecuaciones parametricas (limita-
mos las variaciones de sus parametros u y v para la parte del espacio en que
y ≥ 0, z ≥ 0).
[> with(plots):
[> esfera:=plot3d([cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)],
u=0..Pi/2, v=0..Pi):
2. Cilindro y planos. El cilindro parabolico y = x2 y los planos y = 0 y z = 0 se
representan, a su vez, como sigue
[> cilindro:=plot3d([x,xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1):
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1):
[> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1):
3. Todas estas superficies dan el recinto descrito en el enunciado,
[> display(esfera,cilindro,planooxy,planoozx);
Planteamiento.
Reduzcamos la integral triple a una doble proyectando sobre el plano oxy. Puesto que,
1. El recinto esta cubierto superiormente por la semiesfera z =√
2− x2 − y2,
2. E inferiormente por el plano z = 0,
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dicha reduccion queda ası,
∫∫∫
R
2xz
x2 + y2dx dy dz =
∫∫
Ωf(x, y) dx dy
siendo,
1. Integrando. f(x, y) es la funcion que resulta integrando 2xzx2+y2 respecto de z entre
el valor de z en el plano, z = 0, y la esfera, z =√
2− x2 − y2,
f(x, y) =∫ √2−x2−y2
0
2xz
x2 + y2dz.
Esta integral vale
[> integral1:=int(2*x*z/(xˆ2+yˆ2), z=0..sqrt(2-xˆ2-yˆ2));
2. Region de integracion. Ω esta limitada por la parabola y = 1− x2, el eje ox y la
semicircunferencia y =√
2− x2 en que la esfera corta al plano oxy,
[> parabola:=plot(xˆ2, x=-1..1, thickness=4):
[> circunferencia:=plot(sqrt(2-xˆ2), x=-sqrt(2)..sqrt(2), thick-
ness=4):
[> ejeox:=plot(0, x=-sqrt(2)..sqrt(2), thickness=4):
[> display(parabola, circunferencia,ejeox,scaling=constrained);
Como consecuencia de todo esto la integral triple queda:
∫∫∫
R
1
x2 + y2dx dy dz =
∫∫
Ω
x (2− x2 − y2)
x2 + y2dx dy
pero teniendo en cuenta que tanto la region de integracion como el integrando son
simetricos respecto del plano x = 0 (porque al cambiar x por −x en las curvas que
limitan Ω o en el integrando ni unas ni el otro cambian) podemos usar esta simetrıa y
poner, ∫∫∫
R
1
x2 + y2dx dy dz = 2
∫∫
Ω′
x (2− x2 − y2)
x2 + y2dx dy
donde Ω′ es la mitad de Ω situada en el primer cuadrante.
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Calculo de la integral. Atendiendo a lo que se nos pide en el enunciado vamos a hallar
el valor de la integral doble haciendo un cambio a las coordenadas polares. En este
sentido los lımites de Ω′ son,
1. Para θ, θ = 0 y su valor en el punto de interseccion de la circunferencia x2+y2 = 2
y la parabola y = x2, lo cual se hace resolviendo el sistema x2 +y2 = 2, y = x2,
[> solve(xˆ2+yˆ2=2, y=xˆ2);
Y como el punto de interseccion resulta ser el (1, 1) el lımite superior de θ es π4.
2. Y para ρ, su valor en la parabola, que se obtiene pasando la ecuacion de esta a
coordenadas polares y despejando ρ,
[> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), y=xˆ2);
[> solve(%,rho);
y su valor en la circunferencia x2 + y2 = 2 que se halla del mismo modo,
[> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=2);
[> solve(%,rho);
Ademas el integrandox (2− x2 − y2)
x2 + y2queda, despues de convertirlo a polares y multi-
plicar por el jacobiano del cambio de variables,
[> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), x*(2-xˆ2-yˆ2)/
(xˆ2+yˆ2));
[> integrando:=simplify(%);
De acuerdo con todo lo anterior la integral
∫∫
Ω′
x (2− x2 − y2)
x2 + y2dx dy
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se convierte en coordenadas polares en
∫∫
Ω′
x (2− x2 − y2)
x2 + y2dx dy =
∫ π4
0
[∫ √2
senθcos2 θ
(2− ρ2
)cos θ dθ
]dθ
y se obtiene del siguiente modo,
[> integral2:=int(integrando, rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2));
[> integraltriple:=2*int(integral2, theta=0..Pi/4);
Si la integral doble se hace de una sola vez se pone
[> with(student):
[> integraltriple:=2*Doubleint(integrando,
rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2), theta=0..Pi/4);
[> value(%);
