บทที่ 05 ฟังก์ชัน

ตวสบายคณต เลม 2 http://www.pec9.com บทท 5 ฟงกชน

บทท 5 ฟงกช น

5.1 ความสมพนธ 5.1.1 ผลคณคารทเชยล บทนยาม ผลคณคารทเชยลของเซต A และเซต B คอเซตของคอนดบ (x , y) ทงหมด โดยท x เปนสมาชกของเซต A และ y เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A x B อานวา เอ คณ บ และเขยนในรปเงอนไขไดเปน A x B = (x , y) x A และ y B ตวอยาง ให A = 2 , 5 , B = 1 , 7 , 8 จงหา A x B วธท า ผลของ A x B คอเซตของคอนดบซงตวหนาของแตละคอนดบมาจากเซต A และตว หลงของแตละคอนดบอยในเซต B ดงรป จากรปจะไดวา A x B = { (2 , 1) , (2 , 7) , (2 , 8) , (5 , 1) , (5 , 7) , (5 , 8) }

ฝกท า ให A = 1 , 3 , B = 0 , 7 , 8 , C = จงหา A x B , B x A , A x C , B x C , A x A , C x C

วธท า

ขอควรรเกยวกบผลคณคารทเชยล ก าหนด A , B , C , D เปนเซตจ ากดใด ๆ จะไดวา

1) A x B = กตอเมอ A = หรอ B = 2) A x B = B x A กตอเมอ A = B หรอ A = หรอ B = 3) n(A x B) = n(A) n(B)

เมอ n(A x B) คอจ านวนสมาชกของ A x B n(A) คอจ านวนสมาชกของ A n(B) คอจ านวนสมาชกของ B

4) A x (B C) = (A x B) (A x C) 5) A x (B C) = (A x B) (A x C) 6) A x (B C) = (A x B) (A x C) ระวงมากๆ อยาสบสน 1) A (B x C) (A B) x (A C) 2) A (B x C) (A B) x (A C)

1. ให A = {1} , 2 , B = {0} , C = R จงหาจ านวนสมาชกของ AxB , AxC , AxA , BxB 1. 2 , , 4 , 1 2. 1 , , 2 , 2 3. 2 , 0 , 4 , 1 4. 1 , 0 , 2 , 2 2. ก าหนดให A = { 1 , 2 } , B = { 2 , 3 } และ C = { 3 , 4 } จงหาจ านวนสมาชกของ ( A x B ) ( A x C ) 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

3. จงหาจ านวนสมาชกของ (A x B) (A x C) เมอก าหนดให A = 1 , 2 , 3 , ... , 25 , B = 15 , 16 , 17 , ... , 100 , C = 1 , 2 , 3 , ... , 50

1. 100 2. 200 3. 400 4. 900 5.1.2 ความสมพนธ บทนยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B นนคอ r A x B ดงนน จ านวนความสมพนธจาก A ไป B = จ านวนสบเซตของ A x B = 2[ n(A) x n(B) ]

4. ก าหนดให A = 3 , 5 , 7 , B = 10 , 11 ความสมพนธจาก A ไป B มทงหมดกแบบ 1. 6 2. 26 3. 62 4. 22 5. ก าหนดให A = 2 , 3 , 4 ความสมพนธใน A มกแบบ 1. 9 2. 29 3. 92 4. 99

6(แนว En) ถาเซต A มสมาชก 5 ตวแลว จ านวนทงหมดของความสมพนธจาก A x A ไป A เทากบขอใดตอไปน 1. 225 2. 2125 3. 252 4. 1252

7. ก าหนดให A = 1 , 3 , 5 , B = 5 , 10 , 15 , 20 แลว r = (x , y) A x B y = 2x เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 10) 2. 3. (3 , 6) 4. (4 , 8) , (6 , 12)

8. ก าหนดให A = 1 , 3 , 5 , B = 5 , 10 , 15 , 20 แลว r = (x , y) A x B y = (x + 2)2 เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 5) 2. 3. (3 , 5) 4. (4 , 3) , (6 , 5)

9. ให A = 1 , 3 , 5 แลว r = (x , y) A x A y = 14 – 3x เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 5) 2. 3. (3 , 5) 4. (4 , 3) , (6 , 5)

10. ก าหนดให A = 1 , 3 , 5 , C = 4 , 6 , 8 , 10 แลว r = (x , y) C x A y = x – 1 เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 5) 2. 3. (3 , 5) 4. (4 , 3) , (6 , 5)

11. ก าหนดให B = 5 , 10 , 15 , 20 , C = 4 , 6 , 8 , 10 แลว r = (x , y) B x C y > x เทากบขอใดตอไปน 1. (10 , 20) 2. 3. (5,6) , (5,8) , (5,10) , (10,10) 4. (4 , 3) , (6 , 5)

12. ก าหนดให A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 แลว r = (x , y) A x A x > 2 และ y = 3 เทากบขอใดตอไปน 1. (3 , 3) , (4 , 3) , (5 , 3) 2. (3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5) 3. (3 , 3) 4. (4 , 3) , (5 , 3) 5.1.3 โดเมนและเรนจของความสมพนธ บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr เรนจของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ กรณท 1. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบแจกแจงสมาชก การหาโดเมน ใหน าเฉพาะสมาชกตวหนาของแตละคอนดบมาเขยนเปนเซตแลวตอบ การหาเรนจ ใหน าเฉพาะสมาชกตวหลงของแตละคอนดบมาเขยนเปนเซตแลวตอบ

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของความสมพนธมาให โดเมน คอชวงซงเกดจากเงาของกราฟบนแกน X

เรนจ คอชวงซงเกดจากเงาของกราฟบนแกน Y

กรณท 3. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได ใหแจกแจงสมาชกของความสมพนธ แลวจงหาโดเมนและเรนจเชนเดยวกบกรณท 1.

กรณท 4. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ขนท 1 การหาโดเมน ควรจดสมการในรป y = เทอมของ x เชน y = 2x + 6

การหาเรนจ ควรจดสมการใหอยในรป x = เทอมของ y เชน x = 26 y

ขนท 2 ใชหลกการพจารณาวา โดเมน คอคา x ทท าให y เปนจรง หรอคา x ทท าใหหาคา y ได

เรนจ คอคา y ทท าให x เปนจรง หรอคา y ทท าใหหาคา x ได การพจารณาคาโดเมนและเรนจ ในเบองตนควรค านงไวเสมอวา

1) ถาความสมพนธอยในรปเศษสวน จะไดวาตวสวนตองไมเทากบ 0 เชน y = 2 x

1 จะไดวา x + 2 0

2) ถาความสมพนธอยในรป y = x จะไดวา xR และ x 0 3) ถาความสมพนธอยในรป y = x2 จะไดวา xR และ x2 0 4) ถาความสมพนธอยในรป y = x จะไดวา x 0 และ x 0

13. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r = { (1 , 2) , (3 ,4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } 1. Dr = {1, 2, 3, 4} , Rr = {1, 2, 3, 4} 2. Dr = {1, 2, 3, 4} , Rr = {2, 3, 4, 5} 3. Dr = {1, 3, 5, 7} , Rr = {2, 4, 6, 8} 4. Dr = {1, 3, 5, 7} , Rr = {2, 3, 4, 5} 14. จากกราฟของความสมพนธดงรป โดเมนและ เรนจของความสมพนธคอขอใดตอไปน 1. Dr = [–1 ,1] , Rr = [– 2 ,] 2. Dr = [– 2 , 2 ] , Rr = [–1 , 1] 3. Dr = [0 ,1] , Rr = [ 0 , 2 ] 4. Dr = [ 0 , 2 ] , Rr = [0 , 1]

– 2 + 2

(0, 0) x

15. ให A = –1 , 0 , 1 , 2 , B = 6 , 7 , 8 , 9 และ r = (x , y) A x B y = 9 – x จงหา Dr และ Rr

1. Dr = { 0 , 1 , 2 } , Rr = {7 , 8 , 9 } 2. Dr = { –1 , 0 , 1 } , Rr = {7 , 8 , 9} 3. Dr = {–1 , 0 , 1 , 2 } , Rr = {6 ,7 , 8 , 9 } 4. Dr = { –1 , 0 , 1 } , Rr = {8 , 9 , 10}

16(แนว มช) ก าหนดให S = –2 , –1 , 0 , 1 , 2 และ R เปนเซตของจ านวนจรง

ก าหนดให r = (x , y) S x R y = x1 โดเมนของ r คอ………

1. { 0 , 1 , 2 } 2. { 1 , 2 } 3. {–2 , –1 , 0 } 4. {–2 , –1 }

17. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 1 x 1 +2x

คอขอใดตอไปน

1. Dr =x x 1 , Rr =y y 0 2. Dr =x x 1 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 1 , Rr =y y 2 4. Dr =x x 1 , Rr =y y

18. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x 2x 1

1. Dr =x x 2 , Rr =y y 1 2. Dr =x x 0 , Rr =y y 2 3. Dr =x x 2 , Rr =y y 2 4. Dr =x x 0 , Rr =y y 1 19. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) R x R y = 4 x

2 คอขอใดตอไปน

1. Dr =x x 4 , Rr =y y 1 2. Dr =x x 2 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 4 , Rr =y y 0 4. Dr =x x 2 , Rr =y y 0

20. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) x – xy + 2y + 1 = 0 คอขอใดตอไปน 1. Dr =x x 2 , Rr =y y 1 2. Dr =x x 0 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 2 , Rr =y y 2 4. Dr =x x 0 , Rr =y y 2

21. ก าหนดให r = (x , y) y – 5 = 2x – 6 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (3 , ) , Rr = [ 5 , ) 2. Dr = (3 , ) , Rr = (– , 5 ] 3. Dr = R , Rr = [ 5 , ) 4. Dr = R , Rr = (– , 5 ]

22. ก าหนดให r = (x , y) y = 4 – x – 3 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (3 , ) , Rr = [ 4 , ) 2. Dr = (3 , ) , Rr = (– , 4 ] 3. Dr = R , Rr = [ 4 , ) 4. Dr = R , Rr = (– , 4 ] 23. ก าหนดให r = (x , y) y = (x – 2)2 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ 2 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 2 , ) , Rr = R

24. ก าหนดให r = (x , y) y = x2 – 2 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ –2 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ –2 , ) , Rr = R 25. ก าหนดให r = (x , y) y = 1 +2x แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = [ –2 , ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = [ –2 , ) , Rr = [ –2 , ) 3. Dr = [– 1

2 , ) , Rr = [ 0 , ) 4. Dr = [– 12 , ) , Rr = [ –2 , )

26. ก าหนดให r = (x , y) y – 2 = x100 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (– , 0 ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = (– , 100 ] , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = (– , 0 ) , Rr = [ 2 , ) 4. Dr = (– , 100 ] , Rr = [ 2 , )

27. ก าหนดใหความสมพนธ r = { ( x , y ) y = 2 x } แลวโดเมนและเรนจของความสม- พนธ r คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = R 2. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , ) 28. ก าหนดใหความสมพนธ r = { ( x , y ) I I y = x – 2 } แลวโดเมนและ เรนจของความสมพนธ r คอขอใดตอไปน 1. Dr = I , Rr = I 2. Dr = I , Rr = I+ 3. Dr = I+ , Rr = I 4. Dr = I+ , Rr = I+ 29. ก าหนดใหความสมพนธ r = { ( x , y ) y = 2 } แลวโดเมนและเรนจของความสม- พนธ r คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = R 2. Dr = R , Rr = 2 3. Dr = 2 , Rr = R 4. Dr = 2 , Rr = 2

30. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 3 +x 12

1. Dr = R – {–3} , Rr = Rr = ( 0 , ) 2. Dr = R – {–3} , Rr = (– , 0) [2 , ) 3. Dr = R – {–2 , –4} , Rr = ( 0 , ) 4. Dr = R – {–2 , –4} , Rr = (– , 0) [2 , ) 31. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) 2 x + y = 6 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ –6 , 6 ] 2. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ –6 , 6 ] 3. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ 0 , 6 ) 4. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ 0 , 6)

32. ก าหนดให r = (x , y) y = x2 + 8x – 3 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ –19 , ) 4. Dr = R , Rr = [ –19 , )

33. ก าหนดให r = (x , y) y = 8 6x 2x

แลวขอใดตอไปนถก

1. Dr = (–, 2) (2 , 4) (4 , ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = (–, 2) (2 , 4) (4 , ) , Rr = (– , –1] (0 , ) 3. Dr = R , Rr = (– , –1] [ 0 , ) 4. Dr = R , Rr = (– , –1] (0 , )

34.(แนว En) ก าหนด r = { (x , y) R x R y = 2x 94 2x

} พจารณาขอความตอไปน

ก. โดเมนของ r คอ (– , –3 ) (3 , ) ข. เรนจของ r คอ (– , –1 ) (–94 , )

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

35. ก าหนดให r = { (x , y) R x R y = 2x 510

} แลวขอใดตอไปนถก

1. Dr = R – 5 , Rr = [0 , 2 ) 2. Dr = R – 5 , Rr = (0 , 2 ] 3. Dr = R , Rr = (0 , 2 ] 4. Dr = R , Rr = (0 , 2 ) 36(แนว En) ให r = { (x , y) R x R x2y – 2x2 + 3y + 7 = 0 } แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R – 3 , Rr = [ – 3

7 , 2 ) 2. Dr = R – 3 , Rr = (– 37 , 2 ]

3. Dr = R , Rr = [– 37 , 2 ) 4. Dr = R , Rr = (– 3

7 , 2 )

37(แนว En) ถาความสมพนธ r = {(x , y) R x R y = 2 – 421)(x 4

} แลวขอใดตอไปน

คอเรนจของ r 1. (– , 2) [3 , ) 2. (– , 2) (3 , ) 3. (– , 2] [3 , ) 4. [2 , 3]

38. จงหา Dr และ Rr ของความสมพนธ r = {(x , y) R x R | y = 162x } 1. Dr = [–4 , 4] , Rr = [ 0 , 4 ) 2. Dr= (–, –4] [4 , ) , Rr= [ 0 , 4 ) 3. Dr = [–4 , 4] , Rr = [ 0 , ) 4. Dr= (–, –4] [4 , ) , Rr= [ 0 , )

39. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 25 2x

1. Dr = (–5 , 5) , Rr = ( 0 , 5 ) 2. Dr= (–, –5) (5 , ) , Rr= ( 0 , 5 ) 3. Dr = (–5 , 5) , Rr = ( 0 , ) 4. Dr= (–, –5) (5 , ) , Rr= ( 0 , ) 40(แนว En) ก าหนดให r เปนความสมพนธในเซตของจ านวนจรง

โดยท r = {(x , y) y = 2x 12x 1

} ขอใดตอไปนถก

1. Dr = [–1 , 1] , Rr = [–1 , 1] 2. Dr = [–1 , 1] , Rr = [0 , 1] 3. Dr = [0 , 1] , Rr = [–1 , 1] 4. Dr = [0 , 1] , Rr = [0 , 1]

5.2 ตวผกผนของความสมพนธ บทนยาม ตวผกผนของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r ตวผกผนของความสมพนธ r เขยนแทนดวย r–1 ฝกท า จงหาตวผกผนของความสมพนธตอไปน 1. r = { (3 , 2) , (3 , 4) , (3 , 5) , (3 , 6) } 2. r = { (x , y) y 2x – 3 } 3. r = { (x , y) | y = x2 + 1 } 4. r = { (x , y) y = 3x }

41(แนว En) ให r = (x , y) R x R x = y2 – 6y + 10 ขอความใดตอไปนเปนจรง 1. D

r1 = R และ R

r1 = [0 , )

2. Dr1

= [0 , ) และ Rr1

3. Dr1

= R และ Rr1

= [1 , )

4. Dr1

= [1 , ) และ Rr1

5.3 ฟงกชน 6.3.1 ความหมายของฟงกชน บทนยาม ฟงกชน คอความสมพนธซงส าหรบคอนดบสองคใดๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตองไมตางกน วธการตรวจสอบวา ความสมพนธใดจะเปนฟงกชนหรอไม

กรณท 1. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบแจกแจงสมาชก ขนท 1 หากความสมพนธมสมาชกซ ากนหลายตว ใหตดสมาชกทซ ากนทงไปแลวเหลอไวตวเดยว

ขนท 2 ใหพจารณาโดเมนของสมาชกแตละตว หากโดเมนของสมาชกแตละตวไมซ ากน ความสมพนธนนเปนฟงกชน หากสมาชกมโดเมนซ ากน ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของความสมพนธมาให ใหลากเสนตรงขนานแกน Y ไปตดเสนกราฟของความสมพนธนน หากเสนขนานแกน Y ตดเสนกราฟจดเดยวเสมอ ความสมพนธนนเปนฟงกชน

หากเสนขนานแกน Y ตดเสนกราฟหลายจด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน กรณท 3. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได

ใหท าการแจกแจงสมาชกใหเหนจรง แลวตรวจสอบเหมอนกรณท 1 กรณท 4. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ใหใชนยามของฟงกชนทวา

ถา ( x , y) f และ ( x , z)f หาก y = z ความสมพนธนนจะเปนฟงกชน วธท าโดยละเอยดใหศกษาจากตวอยางตอๆ ไป

42. ความสมพนธในขอใดตอไปน ขอใดเปนฟงกชน ก. f = (2 ,6) , (3 , 6) , (4 , 6) ข. h = (2 , 3) , (3 , 4) , (3 , 5) ค. gof = (4 , 2) , (3 , 2) , (4 , 2) ง. f–1 = (2 , 2) , (2 , 2) , (3 , 6) จ. g + h = (3 , 6) , (4 , 6) , (3 , 6) 1. ก. เทานน 2. ก. และ ค. 3. ก. , ค. และ ง. 4. ก. , ค. , ง. และ จ.

43. ความสมพนธทมกราฟดงตอไปน ขอใดเปนฟงกชน 1. 2.

44. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม ก. { (x , y) B x By = x – 2 } ; B = { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 } ข. { (x , y) A x By < x } ; A = { 0 , 1 } , B = { –1 , 1 } 1. ก. เปน และ ข. เปน 2. ก. เปน และ ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน และ ข. เปน 4. ก. ไมเปน และ ข. ไมเปน

45. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม ก. r = (x , y) R x R 4y = x + 1 ข. r = (x , y) R x R x – y = 1 ค. f = (x , y) y2 = x + 6 1. ก. เปน , ข. เปน และ ค. เปน 2. ก. เปน , ข. เปน และ ค. ไมเปน 3. ก. เปน , ข. ไมเปน และ ค. เปน 4. ก. เปน , ข. ไมเปน และ ค. ไมเปน ฝกท า. จงบอกวาความสมพนธใดเปนฟงกชน 1. f = (x , y) y2 = x2 + 6

2. g = (x , y) y = x + 3 3. g = (x , y) x + y = 1 4. g = (x , y) x – y = 1 5. r = (x , y) y > 2x + 6 6. g = (x , y) cos y = x 7. f = (x , y) 3y3 + y2 + 2 y – 5 = x

8. g o h = (x , y) x = 3 9. g = (x , y) y5 = x2 + 3 10. h o h = (x , y) y = –2 11. g o h = (x , y) y = x 12. g o h = (x , y) y = x

5.3.2 ฟงกชนทควรรจก 5.3.2.1 ฟงกชนจาก A ไป B (function from A into B) บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมน และมเรนจเปนสบเซตของ B f เปนฟงกชนจาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A B ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, b) } โปรดสงเกต 1. ฟงกชนจาก A ไป B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว สวนสมาชกของ B จะถกใชหมดหรอไมกได 2. จ านวน f : AB = n(B) n(A)

5.3.2.2 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B (function from A onto B) บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมนและ B เปนเรนจ f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย f : A ทวถง B

ตวอยาง

f = { (1, k) , (2, m) , (3, m) } โปรดสงเกต ฟงกชนจาก A ไปทวถง B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว และสมาชกของ B จะถกใชหมดทกตวเชนกน

a b c b

5.3.2.3 ฟงกชนหนงตอหนง (one–to–one function) บทนยาม f เปนฟงชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B ส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา y1 = y2 แลว x1= x2 f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A 11 B ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, c) } โปรดสงเกต 1. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว สวนสมาชกของ B จะถกใชหมดหรอไมกได และการจบคจะเปนแบบตวตอตว 2. จ านวน f : A 11 B = Pn(B) , n(A)

หมายเหต หาก f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ( one-to-one correspondence) เขยนแทนดวย f : A 11 B

ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, c) }

46. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก A ไป B คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 2) , (2 , 3) , (2 , 1) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 4)

a b c b

ทวถง

47. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก B ไป A คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (7 , 2) , (8 , 3) , (7 , 1) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (7 , 2) , (8 , 3) , (9 , 3)

48. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก A ไป A คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 2) , (2 , 3) , (2 , 1) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 2)

49. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 9) , (2 , 8) , (3 , 7) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (7 , 2) , (8 , 3) , (9 , 3)

50. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก B ไปทวถง A คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 9) , (2 , 8) , (3 , 7) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (7 , 3) , (8 , 2) , (9 , 1)

51. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 2 , 3 , 4 ฟงกชน 1–1 จาก A ไป B คอ 1. (1 , 3) , (2 , 4) , (3 , 3) 2. (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 1) 3. (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) 4. (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 4)

วธการตรวจสอบวาฟงกชนใดจะเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม กอนตรวจสอบวาความเปนฟงกชนหนงตอหนง ตองตรวจสอบกอนวาความสมพนธนนๆ เปนฟงกชนหรอไมกอนเสมอแลวจงท าการตรวจสอบความเปนฟงกชนหนงตอหนงดงน กรณท 1. เมอโจทยก าหนดฟงกชนเปนแบบแจกแจงสมาชก ใหดเรนจ (สมาชกตวหลง ) ของคสมาชกแตละตว หากเรนจแตละตวมคาไมซ ากน จะเปนฟงกชนหนงตอหนง หากเรนจมคาซ ากน จะไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของฟงกชนมาให ใหลากเสนตรงขนานแกน X ไปตดเสนกราฟของฟงกชนนน หากเสนขนานแกน X ตดเสนกราฟจดเดยวเสมอ จะเปนฟงกชนหนงตอหนง

หากเสนขนานแกน X ตดเสนกราฟหลายจด จะไมเปนฟงกชนหนงตอหนง กรณท 3. เมอโจทยก าหนดฟงกชนเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได ใหท าการแจกแจงสมาชกใหเหนจรง แลวตรวจสอบเหมอนกรณท 1 กรณท 4. เมอโจทยก าหนดฟงกชนเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ใหใชนยามของฟงกชน 1 – 1 ทวา " ถา (x , y) f และ (z , y) f ถาตรวจสอบ

ไดวา x = z จะแสดงวาฟงกชนนนเปนฟงกชน 1 – 1 ทนท ” วธท าโดยละเอยดใหศกษาจากตวอยางตอๆ ไป

52. ฟงกชนในขอใดตอไปนเปนฟงกชนหนงตอหนง 1. f1 = { (1 , 2) , (3 , 4) , (5 , 6) , (7 , 4) } 2. f2 = { (5 , 7) , (1 , 3) , (4 , 6) , (2 , 7) } 3. f3 = { (3 , 5) , (1 , 4) , (2 , 8) , (6 , 3) } 4. f4 = { (2 , 4) , (5 , 3) , (7 , 4) , (1, 5) } 53. ความสมพนธซงมกราฟดงตอไปน ขอใดเปนฟงกชนหนงตอหนง 1. 2. 3. 4.

54. จากฟงกชนตอไปน มกขอทเปนฟงกชน 1 – 1 ก. r = { (x , y) A x B y < x } ; A = { 0 , 1 } , B = {–1 , 1 } ข. f = { (x , y)R x R y = x + 1 } ค. f = { (x , y)R x R y = x2 + 2x + 1 } ง. f = { (x , y)R x R y = 3x – 1 } 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 55. ฟงกชนในขอใดตอไปน เปนฟงกชนหนงตอหนง 1. f = (x , y) y = x2 2. g = (x , y) y = x – 1+ 2

3. h = (x , y) y = 1 2x 3 x 4. h = (x , y) y = 12x

56(แนว Pat) ก าหนดให A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { a , b} ฟงกชนจาก A ไป B ม จ านวนทงหมดกฟงกชน

57(แนว En) ก าหนดให A = {1 , 2 , 3 } และ B = {a , b} และให S = { f f : A B เปนฟงกชนทวถง }

จ านวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน 1. 22 2. 25 3. 27 4. 30

58(แนว Pat) ก าหนดให A = { 1 , 2 } , B = { a , b , c , d } ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B มจ านวนทงหมดกฟงกชน

5.3.2.4 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง และ A เปนสบเซตของโดเมน 1. f เปนฟงกชนเพม (increasing function) ใน A กตอเมอส าหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว y1 < 2

2. f เปนฟงกชนลด (decreasing function) ใน A กตอเมอส าหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว y1 > y2

(ก) ฟงกชนเพม

(ข) ฟงกชนลด

59. จงพจารณาวา ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอลด ก) f = { (x , y)R x R y = 3x – 2 } ข) g = { (x , y)R x R y = – x3 + 1 } 1. ก. เพม ข. ลด 2. ก. เพม ข. เพม 3. ก. ลด ข. เพม 4. ก. ลด ข. ลด 5.3.3 ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ พจารณาความสมพนธ อนเปนฟงกชนตอไปน

f = { (x , y) y = x2 + 2x – 6 } เราอาจเขยนเปน f (x) = x2 + 2x – 6 โดยท f (x) = y

และเรยก f (x) วาเปน คาของฟงกชน f ท x อานวาเอฟทเอกซ หรอ เอฟเอกซ ฝกท า จงเขยนความสมพนธอนเปนฟงกชนตอไปน ใหอยในรปทเอกซ

1. f = { (x , y) y = 2x – 6 }

2. g = { (x , y) y = 12x } 3. h–1 = { (x , y) y = 2x – 6 } 4. gof = { (x , y) y = 3x + 6 }

ฝกท า จงเปลยนเปนรปของความสมพนธ 1. f (x) = 3x + 3

2. f (x) = x 3. f (x) = x2 + 6 4. (g o f) (x) = 3x2 + 2x + 6 5. (f o g) (x) = 3x2 – 7x 6. f –1(x) = 4x 60. ก าหนดให f (x) = x2 –3x + 8 ใหหาคาของ f (0) , f (1) , f (a) 1. 8 , 6 , a2 – 8 2. 6 , 8 , – 3a 3. 8 , 6 , a2 – 3a + 8 4. 6 , 8 , a2 – 3a + 8

61. จากสมการทก าหนด จงหา f (2) , f (7) , f (0) , f (4)

f(x) =

0 >x เมอ 53x

0 x 3 เมอ 8

3 <x เมอ 14x

1. 1 , –27 , 8 , 15 2. –27 , 1 , 0 , 15 3. 1 , –27 , 8 , –15 4. –27 , 1 , 0 , –15

62(แนว Pat) ก าหนดให f (x) = x2 + x + 1 และ a , b เปนคาคงตวโดยท b 0

ถา f (a + b) = f (a – b) แลว 2a มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –0.5 2. 0.5 3. –1 4. 1

63. ก าหนดให f (3x – 1) = 2x2 + 3x คาของ f (5) ตรงกบขอใด 1. 65 2. 35 3. 27 4. 14 64. ก าหนดให f (x + 3) = 2x – 1 คาของ f (1) ตรงกบขอใด 1. –5 2. 5 3. –1 4. 1

65. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 1 คาของ f (1) ตรงกบขอใด 1. –5 2. 5 3. –1 4. 1

66. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 1 คาของ f (x) ตรงกบขอใดตอไปน 1. x – 2 2. 2 x 3. x + 2 4. – 2 x

67. ก าหนดให f (x + 1) = x2 + 3 คาของ f (x) ตรงกบขอใดตอไปน 1. x2 – 2 x + 3 2. x2 – 2 x + 4 3. x2 – x + 3 4. x2 – x + 4 68(แนว En) ก าหนดให f (x) = x2 + x + 1 จงหา g (x) ทท าให f (x) = g (x – 1) 1. g(x) = x2 + 3x + 3 2. g(x) = x2 + x – 1 3. g(x) = x2 – x + 1 4. g(x) = x2 – 3x + 3

69. ก าหนดให f (x – 1) = 2x + 3 คาของ f (x + 2) ตรงกบขอใดตอไปน 1. 2 x + 3 2. – 2 x + 3 3. 2 x + 9 4. x + 9 70. ก าหนดให f (3x + 3) = 3x + 5 คาของ f (x) ตรงกบขอใดตอไปน 1. x – 3 2. 2 x – 3 3. 2 x – 1 4. x + 2

71. ก าหนดให f = (1 , a) , (3 , b) , (5 , c) แลว ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. f (1) = a , Df = 1 , Rf = a 2. f (3) = b , Df = 3 , Rf = b

3. f (5) = c , Df = 5 , Rf = c 4. f (1) + f (3) + f (5) = 9

72(แนว มช) โดเมนของ f (x) = 3 x x 53

x คอขอใดตอไปน

1. ( 3 , 5 ) 2. (3 , 5 ] 3. [ 3 , 5 ) 4. [3 , 5 ]

5.3.4 ฟงกชนผกผน ตวผกผนของฟงกชน f คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ f ถาตวผกผนนนเปนฟงกชน จะเรยกวาฟงกชนผกผน

ทฤษฏบท ให f เปนฟงกชน f จะมฟงกชนผกผนกตอเมอ f เปนฟงกชน 1 – 1

ฝกท า ถา f = (1 , r) , (2 , s) , (3 , r) , (4 , t) จงหา f –1 , Df 1 , R

f 1 และ

f –1 เปนฟงกชนหรอไม 73. ก าหนดให f = (1 , a) , (3 , b) , (5 , c) แลว f –1(a) + f –1(b) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 4 4. 9

74. ก าหนดให f (x) = 3x – 4 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

4 +x 2. 3x + 4 3. 3

4 x 4. 3x – 4

75. ก าหนดให f (x) = 5x + 7 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = 3x – 1 2. f–1(x) = 3 1x 3. f–1(x) = 5x – 7 4. f–1(x) = 5 7x

76. ก าหนดให f (x) = 2x 1 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = x1 + x 2. f–1(x) = x1 – x 3. f–1(x) = x1 + 2 4. f–1(x) = x1 – 2

77. ก าหนดให f (x) = 3 – 4x5 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 5

4x 3 2. f–1(x) =

3. f–1(x) = 3

5 x4 4. f–1(x) = 3

78. ก าหนดให f (x) = (4 – x3)5 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 5

4x 3 2. f–1(x) =

3. f–1(x) = 3

5 x4 4. f–1(x) = 3

79. ก าหนดให f (x) = 3 x 2 x

แลว f –1(3) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 29 2. 2

9 3. – 211 4. 2

80. ก าหนดให f (x) = 12x แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 212x 2. f–1(x) = 2

12x และ x ≥ 0

3. f–1(x) = 2 12x 4. f–1(x) = 2 12x และ x ≥ 0

81. ก าหนดให f (x) = 1 + 1x แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = (x – 1)2 + 1 2. f–1(x) = (x – 1)2 + 1 และ x ≥ 1 3. f–1(x) = (x – 1)2 – 1 4. f–1(x) = (x – 1)2 – 1 และ x ≥ 1

82. ก าหนดให f (x) = 46x เมอ x [0 , 10] แลว f –1 (x) เทากบขอใดตอไปน

1. 642x ; x [ 2 , 8 ] 2. 6

42x ; x [ 0 , 10 ]

3. 6 x2 – 4 ; x [ 2 , 8 ] 4. 6 x2 – 4 ; x [ 0 , 10 ]

83. สมมตวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง และ f (3) = 10 , f (10) = 18 , f–1(4) = 3 แลว คาของ f–1(10) + f–1(18) + f (3) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 31 2. 17 3. –17 4. –31

84. ถา f เปนฟงกชนซง f (x) = 5 + 2x แลว f –1(10) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 25 4. – 25

85. ก าหนดให f (x + 3) = 8x – 4 แลว f –1(0) เทากบขอใดตอไปน 1. 0.5 2. –0.5 3. 3.5 4. –3.5

86(แนว มช) ถา f เปนฟงกชน ซง f (x + 3) = 2x – 1 แลว f –1(3) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 5 4. –5

87(แนว En) ก าหนดให f ( 2

1 x + 1) = 21 x – 1 แลว f –1(2) เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2 3. 4 4. 6

88. ก าหนดให f (x – 1) = x2 – 5x + 7 แลว f –1(1) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 0 4. 1 , 2

89. ก าหนดให f (x + 1 ) = x3 + 3x2 + 3x + 3 แลว f –1(–6) เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –3 3. –2 4. –1 90. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 4 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2

5 +x 2. 2x + 5 3. x + 5 4. x – 5

91. ก าหนดให f (6x + 2) = 3x – 7 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

5 +x 2. 3x + 5 3. 3x + 5 4. 2x + 16

92. ก าหนดให f (x) = 3 5x 4 2x

แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. f –1(x) = 2 5x 4 3x

2. f –1(x) = 2 5x

3. f –1(x) = 2 5x 4 3x

4. f –1(x) = 2 5x

93. ก าหนดให f –1 (x) = 3 x

แลว f (x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. f (x) = 3 x

2. f (x) = 1 x x 3

3. f (x) = 3 x

4. f (x) = 1 x x 3

5.3.5 ฟงกชนประกอบ บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ Rf Dg ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย gof คอฟงกชนทมโดเมนคอ Dgof = {x Df f (x) Dg} และก าหนด gof โดย (g o f) (x) = g [ f (x) ] ส าหรบทก x ใน Dgof

94. ก าหนดให f = (1 , 2) , (3 , 4) , (5 , 6) g = (2 ,10) , (4 , 20) , (6 , 30) แลว g o f คอขอใดตอไปน 1. (1 , 2) , (3 , 4) , (5 , 6) 2. (1 , 10) , (3 , 20) , (5 , 30) 3. (2 , 1) , (4 , 3) , (6 , 5) 4. (10 , 1) , (20 , 3) , (30 , 5)

ฝกท า. ก าหนดให f = (1 , 7) , (2 , 8) , (3 , 9) , (7 , 1) , (8 , 2) , (9 , 3) g = (1 ,1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) จงหา g o f , f o g , g o g

95. ก าหนดให f (x) = x + 6 ; g (x) = 2x –3 คาของ (g o f) (2) และ (f o g) (3) เทากบขอ ใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. 11 , 9 2. 11 , 12 3. 13 , 9 4. 13 , 12

96. ก าหนดให f (x) = x2 – 2 x , g (x) = x 5 คาของ (g o f) (3) และ (f o g) (9) เทากบขอใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. 11 , 0 2. หาคาไมได , 0 3. หาคาไมได , 9 4. 11 , 9

97. ก าหนดให f (x) =

4 x ; x 4 x 2 ; 0

2x ; 122x

g (x) =

2x ; 22x2x ; 12x

แลว (g o f) (2) + (g o g) (–3) เทากบขอใดตอไปน 1. –20 2. –16 3. 6 4. 12

98. ก าหนดให f (x) = 3x

h (x) =

0x เมอ 32x0x เมอ 22x

g (x) = x2 + 1 จะไดวา f o ( h o g ) (1) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3 2. 5 3. 6 4. 10

99. ก าหนด f (x) = x และ g (x) = x2 แลว (g o f) (x) และ (f o g) (x) เทากบขอใด 1. (g o f) = x , (f o g) (x) = | x | 2. (g o f) (x) = x , (f o g) (x) = x 3. (g o f) หาไมได , (f o g) (x) = x 4. (g o f) = x , (f o g) (x) หาไมได

100.(แนว En) ถา f (x) = 4x และ g (x) = 1x2 คา x ทท าให (f o g) (x) = (g o f) (x)

เทากบขอใดตอไปน

1. 0.2 2. 0.4 3. 1.0 4. 2.0

101(แนว มช) ก าหนดให g = (x , y) R x R y = 2x + 5 และ h = (x , y) R x R y = 4x – 3 คาของ (h–1o g–1) ( 3 ) เทากบเทาใด

102. ก าหนดให f ( x ) = x + 4 และ g( x ) = 3 x คาของ (g o f)–1(x) เทากบขอใดตอไปน 1. x3 – 4 2. x3 + 4 3. x

3 – 4 4. x3 + 4

103. ก าหนดให f (x) = x – 2 และ (g o f) (x) = x2 – 4x – 4 คาของ g (–1) เทากบขอใด ตอไปน 1. – 7 2. –3 3. 3 4. 7

104. ก าหนดให f (x) = 2x + 1 และ (g o f) (x) = 2x + 4 คาของ g (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x – 3 2. x + 3 3. 2x – 4 4. 2x + 4

105. ก าหนดให f (x) = x + 3 และ (g o f) (x) = 3x + 7 คาของ g (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 3x – 2 2. 3x + 2 3. 3x – 7 4. 3x + 7

106. ก าหนดให (g o f) (x) = 12x และ g (x) = x แลว f(x) เทากบขอใดตอไปน

1. x3 + 2 2. x2 – 1 3. 2x – 3 4. 12x

107. ก าหนดให (g o f) (x) = x3 + 2 และ g (x) = x + 2 จงหา f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x3 + 2 2. x3 3. 2x – 3 4. x3 + 3 108. ก าหนดให (g o f) (x) = 4x – 5 และ g (x) = 2x + 1 จงหา f (x) 1. x + 2 2. x 3. 2x – 3 4. x + 3 f o f –1( x ) = x

109. ก าหนดให g–1(x) = 3x – 5 และ (f o g) (x) = x + 1 ขอใดตอไปนถกตอง 1. f (x) = 3x – 4 2. f–1(x) = 3x – 4 3. f (x) = 3

5 x 4. f–1(x) = 3 5 x

110.(แนว En) ถา f (x) = x – 1 และ (g o f–1) (x) = 4x2 – 1 แลวเซตค าตอบของสมการ g (x) = 0 คอขอใดตอไปน 1. { 2 , 3 } 2. { 2

1 , 23 } 3. { 0 , 1 } 4. { 2

1 , 25 }

111. ก าหนดให (f–1 o g–1) (x) = 4x – 5 และ g (x) = 2x + 1 จงหา f (x) 1. 2

1 x 2. 2x + 3 3. 81 x 4. x + 8

ถา f และ g เปนฟงกชนแบบ 1 – 1 และไปทวถง ( g o f ) –1 = f –1o g –1

112. ก าหนดให (f–1 o g)–1 (x) = 2x – 6 และ g (x) = x + 3 จงหา f–1(x) 1. 2

1 x 2. 21 x 3. 2

3 x 4. 23 x

113. ก าหนดให f (x) = x + 1 และ g (x) = x จงหา Dgof 1. R 2. [ 0 , ) 3. ( – , 0 ] 4. [ –1 , ) 114. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = x2 จงหา Dfog 1. R 2. [ 0 , ) 3. ( – , 0 ] 4. ( – , 0 )

115. ก าหนดให f (x) = 5x , g (x) = x2 จงหา Dgof และ g o f 1. [ 5 , ) , x – 5 2. [ 5 , ) , (x + 5)2 3. [ 0 , ) , x – 5 4. R , x – 5

116. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , ) 117. ก าหนดให f (x) = x

1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , ) 118. ก าหนดให f (x) = x

1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , )

119. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ g o g เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , ) 5.3.6 การด าเนนการของฟงกชน บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ R ผลบวก , ผลตาง , ผลคณ และผลหาร ของ f และ g เขยนแทนดวย f+g , f – g , f.g และ gf ตามล าดบ เปนฟงกชนซงก าหนดคาโดย (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f – g) (x) = f (x) – g (x) (f . g) (x) = f (x) . g (x) (x)gf = (x)g

(x) f เมอ g (x) 0

โดเมนของ f +g , f – g และ f . g คอ Df Dg ส าหรบโดเมนของ gf คอ { x x Df Dg และ g (x) 0 }

120. ก าหนดให f = (1 , 9) , (2 , 4) , (3 , 8) , (4 , 7) , (5 , 6) g = (1 , 3) , (3 , 2) , (7 , 6) , (5 , 0) ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. f + g = (1 , 12) , (3 , 10) , (5 , 6) 2. f – g = (1 , 6) , (3 , 6) , (5 , 6) 3. f g = (1 , 27) , (3 , 16) , (5 , 0) 4. gf = (1 , 3) , (3 , 4) , (5 , 0)

121. ก าหนดให f = (2 , 1) , (5 , 4) , (7 , 3) , (9 , 6) g = (2 , 5) , (5 , 1) , (7 , 0) , (8 , 3) ขอใดตอไปนถก 1. Df+g = 2 , 5 , 7 , 8 , 9 2. D f– g = 9 3. D f g = 2 , 5 , 7 , 8 , 9 4.

gfD = 2 , 5

122. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = x ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. (f + g) (9) = 84 2. (f – g) (–4) = 18 3. (f g) (4) = 32 4. gf (16) = 64

123(แนว Pat) ถา f (x) = 3 x และ g (x) = 2x แลว (f–1 + g–1) (2) มคาเทาใด

124(แนว En) ถา f (x) = x)(2 x)(3 และ g (x) = +3x1 แลวโดเมนของ f . g

คอเซตในขอใดตอไปน 1. 2. – , 2 3. –3 , 2 4. –3 , 2

125. ก าหนด f (x) = x + 1 เมอ –4 < x 3 g (x) = x – 2 เมอ –2 x < 5 ขอใดตอไปนถก 1. (f + g) (x) = 2x – 1 เมอ –6 < x < 8 2. (f – g) (x) = 3 เมอ –2 < x < 3 3. (f . g) (x) = x2 – x – 2 เมอ 8 < x < 15 4. 2x 1x )(x)gf(

เมอ { –2 x 3 } – { 2 }

126. ก าหนดให f (x) = 2x9 และ g (x) = 22x ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. (f + g ) (x) = 22x2x9 ; Df + g = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]

2. (f – g) (x) = 22x2x9 ; Df – g = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]

3. (f . g) (x) = 2)2)(x2x(9 ; Df . g = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]

4. )(x)gf( = 22x2) 2x)(x (9

; gfD = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]

เฉลยบทท 5 ฟงกช น

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบขอ 3. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบขอ 1. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 4. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบขอ 4. 46. ตอบขอ 1. 47. ตอบขอ 4. 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบขอ 4. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 3. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบขอ 3. 56. ตอบ 14 57. ตอบขอ 4. 58. ตอบ 14 59. ตอบขอ 1. 60. ตอบขอ 3. 61. ตอบขอ 3. 62. ตอบขอ 4. 63. ตอบขอ 4. 64. ตอบขอ 1. 65. ตอบขอ 3. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 2. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 3. 70. ตอบขอ 4. 71. ตอบขอ 4. 72. ตอบขอ 2. 73. ตอบขอ 3. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบขอ 4. 76. ตอบขอ 4. 77. ตอบขอ 1. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 3. 80. ตอบขอ 4. 81. ตอบขอ 4. 82. ตอบขอ 1. 83. ตอบขอ 2. 84. ตอบขอ 3. 85. ตอบขอ 3. 86. ตอบขอ 3. 87. ตอบขอ 3. 88. ตอบขอ 4. 89. ตอบขอ 2. 90. ตอบขอ 3. 91. ตอบขอ 4. 92. ตอบขอ 2. 93. ตอบขอ 2. 94. ตอบขอ 2. 95. ตอบขอ 3. 96. ตอบขอ 2. 97. ตอบขอ 2. 98. ตอบขอ 1. 99. ตอบขอ 1. 100. ตอบขอ 1.

101. ตอบ 0.5 102. ตอบขอ 1. 103. ตอบขอ 1. 104. ตอบขอ 2. 105. ตอบขอ 1. 106. ตอบขอ 2. 107. ตอบขอ 2. 108. ตอบขอ 3. 109. ตอบขอ 1. 110. ตอบขอ 2. 111. ตอบขอ 3. 112. ตอบขอ 4. 113. ตอบขอ 4. 114. ตอบขอ 1. 115. ตอบขอ 1. 116. ตอบขอ 3. 117. ตอบขอ 4. 118. ตอบขอ 4. 119. ตอบขอ 1. 120. ตอบขอ 4. 121. ตอบขอ 4. 122. ตอบขอ 2. 123. ตอบ 12 124. ตอบขอ 4. 125. ตอบขอ 4. 126. ตอบขอ 4.

บทที่ 05 ฟังก์ชัน

Documents

5 (Function) - RMUTI · 1 บทที่ 5 ฟังก์ชัน (Function) การเขียนโปรแกรมทั้งหมดภายในฟังก์ชันเดียวหากเป็นโปรแกรมขนาดใหญ่

Function ( ฟังก์ชัน ) อ.สมชาติ แผ่อำนาจ krusomchart.Wordpress

บทที่ 6 มาตรฐานการก ากับดูแล ... · 2020-05-15 · บทที่ 6 มาตรฐานการก ากับดูแลธุรกิจประกันภัย

บทที่ 05 ฟังก์ชัน (Function)

บทที่ 1 การวาดเส้นสร้างสรรค์ · 2018-05-28 · บทที่ 1 การวาดเส้นสร้างสรรค์ นับตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบันการเขียนภาพ

เรื่อง ฟังก์ชัน

05 - WordPress.com · 2016-03-31 · ฟังก์ชัน 95 ข้อตกลง เราจะใช้สัญลักษณ์ และ 𝑅 แทนโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

บทที่ 2 วรรณกรรมที่เกี่ยวข้องird.stou.ac.th/dbresearch/uploads/63/บทที่ 2.pdf · 2015-05-29 · บทที่ 2. วรรณกรรมที่เกี่ยวข้อง

บทที่ 2 เอกสารและงานวิจัยที่ ...ird.stou.ac.th/dbresearch/uploads/122/บทที่ 2.pdf · 2015-05-29 · บทที่ . 2

บทที่ 4 ผลการวิจัย · 2017-05-18 · บทที่ 4 ... เวกเตอรํ ์สเปซ และการทดสอบและการประเมินผลการใช้งาน

บทที่ 2 หลักการช่วยในการเตรียม ... · 2020-05-29 · บทที่ 2 หลักการช่วยในการเตรียมตรวจพิเศษต่างๆ

บทที่ 3 วิธีด าเนินการวิจัย · 2018-05-08 · บทที่ 3 ... ในการวิจัยเรื่อง รายงานการใช้เอกสารประกอบการสอนราย

บทที่ ผลการวิเคราะห์ข้อมูลird.stou.ac.th/dbresearch/uploads/63/บทที่ 4.pdf · 2015-05-29 · บทที่ . ผลการวิเคราะห์ข้อมูล

บทที่ 6ird.stou.ac.th/dbresearch/uploads/136/บทที่ 6.pdf · 2015-05-29 · บทที่ 6. สรุปผล ... มีรูปแบบการจัดการเรียนการสอน

บทที่ 2 ทบทวนวรรณกรรมird.stou.ac.th/dbresearch/uploads/149/บทที่ 2.pdf · 2015-05-29 · บทที่ 2. ทบทวนวรรณกรรม

บทที่ 2ird.stou.ac.th/dbresearch/uploads/60/บทที่ 2.pdf · 2015-05-29 · ทฤษฎีการปรึกษากลุ่มที่เน้นความคิดและเหตุผล

บทที่ 3 ระเบียบวิธีวิจัย · 2017-05-05 · บทที่ 3 ... การวิจัยครั้งนี้ใช้รูปแบบการวิจัยเชิงปริมาณ

ฟังก์ชัน (Function)

บทที่ 5 ฟังก์ชัน Function

บทที่ 5 · 2019-05-08 · บทที่ . 5. การ ... ห่วงโซ่อุปทาน ... ที่ใช้ไม้จากป่ าธรรมชาติหรือป่าปลูกที่มี