05 - WordPress.com · 2016-03-31 · ฟังก์ชัน 95 ข้อตกลง เราจะใช้สัญลักษณ์ และ 𝑅 แทนโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

05 ฟังกช์นั

ให ้𝐴 = {1, 2, 3} และ 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} พจิารณาความสมัพนัธจ์ากเซต 𝐴 ไปยงัเซต 𝐵

ต่อไปนี้ 𝑟1 = {(1, 𝑎), (1, 𝑐), (2, 𝑏), (3, 𝑏)},

𝑟2 = {(1 , 𝑎), (2 , 𝑎), (3 , 𝑐)} และ 𝑟3 = {(1, 𝑎), (2, 𝑐), (3, 𝑑)}

จะเหน็วา่ความสมัพนัธ ์𝑟1 จะมสีมาชกิในโดเมนของ 𝑟1 จบัคู่กบัสมาชกิในเรนจข์อง 𝑟1 มากกวา่หนึ่ง

ตวั และความสมัพนัธ ์𝑟2 และ 𝑟3 นัน้ แต่ละสมาชกิในโดเมนจบัคู่กบัสมาชกิในเรนจเ์พยีงตวัเดยีว

เทา่นัน้ ความสมัพนัธท์ีม่เีงื่อนไขวา่ แต่ละสมาชกิในโดเมนของความสมัพนัธจ์ะจบัคู่กบัสมาชกิใน

เรนจข์องความสมัพนัธน์ัน้เพยีงตวัเดยีวเทา่นัน้ เช่น 𝑟2 และ 𝑟3 เราจะเรยีกความสมัพนัธล์กัษณะ

เช่นนี้วา่เป็น “ ฟังกช์นั ”

5.1 ฟังกช์นั

บทนิยาม 5.1.1 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซต และ 𝑓 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไปยงั 𝐵 จะเรยีก 𝑓 วา่เป็น ฟังกช์นั (function) กต่็อเมื่อ ส าหรบัแต่ละสมาชกิในโดเมนจะจบัคู่

กบัสมาชกิในเรนจเ์พยีงตวัเดยีวเท่านัน้ นัน่คอื 𝑓 เป็นฟังกช์นั ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∀𝑦, 𝑧 ∈ 𝐵, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑧

บทท่ี

94 ห ลั ก ค ณิ ต ศ า ส ต ร์

ถา้ 𝑓 เป็นฟังกช์นั จะไดว้า่ ส าหรบัแต่ละ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 จะม ี𝑦 ∈ 𝐵 เพยีงตวัเดยีวเท่านัน้ ซึง่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 เราจะเรยีก 𝑦 วา่ ภาพ (image) ของ 𝒙 ภายใต้ 𝒇 หรอืค่าของฟังกช์นั 𝒇 ของ 𝒙 และเขยีนแทน (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ดว้ย 𝑦 = 𝑓(𝑥)

ข้อสงัเกต 1. ∅ เป็นฟังกช์นั เพราะ ∅ ⊆ 𝐴 × 𝐵 และสอดคลอ้งสมบตัขิา้งตน้ 2. จากบทนิยาม 5.1.1 ถา้ตอ้งการจะแสดงวา่ความสมัพนัธ ์𝑓 จาก 𝐴 ไป 𝐵 ไม่เป็นฟังกช์นัจะตอ้งแสดงวา่ ม ี𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 และม ี𝑦, 𝑧 ∈ 𝐵 ซึ่ง (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 แต ่𝑦 ≠ 𝑧

ทฤษฎีบท 5.1.1 ให ้𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัใดๆ จะไดว้า่ 𝑓 = 𝑔 กต่็อเมื่อ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑔 และ ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 จะไดว้า่ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) พิสจูน์ (⇒) สมมตวิา่ 𝑓 = 𝑔 ให ้𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ดงันัน้ จะม ี𝑦 ∈ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 ซึ่ง (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 โดยสมมตฐิาน จะไดว้า่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑔 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 นี้แสดงวา่ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ⊆ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ท านองเดยีวกนั จะไดว้า่ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ⊆ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ดงันัน้ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ให ้𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 จะไดว้า่ม ี𝑦 ∈ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 ซึ่ง (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 นัน่คอื 𝑦 = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝑓 = 𝑔 จะไดว้า่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑔 นัน่คอื 𝑦 = 𝑔(𝑥) ดงันัน้ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (⇐) สมมตวิา่ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑔 และ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ให ้(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 และ 𝑦 = 𝑓(𝑥) โดยสมมตฐิาน จะไดว้า่ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) นัน่คอื (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑔 ดงันัน้ 𝑓 ⊆ 𝑔 ท านองเดยีวกนั จะไดว้า่ 𝑔 ⊆ 𝑓 สรุปไดว้า่ 𝑓 = 𝑔 ∎

จากทฤษฎบีท 5.1.1 ในการแสดงวา่ 𝑓 ≠ 𝑔 จะตอ้งแสดงวา่ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ≠ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 หรอื ม ี𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ซึ่ง 𝑓(𝑥) ≠ 𝑔(𝑥)

ตวัอย่าง 5.1.1. ให ้𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = 𝑥3 + 4} จงแสดงวา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นั พิสจูน ให ้𝑥, 𝑦 และ 𝑧 เป็นจ านวนจรงิใดๆ ซึง่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 และ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 จะไดว้า่ 𝑦 = 𝑥3 + 4 และ 𝑧 = 𝑥3 + 4 นัน่คอื 𝑦 = 𝑧 ดงันัน้ 𝑓 เป็นฟังกช์นั

ตวัอย่าง 5.1.2. ให ้𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | |𝑥| + |𝑦| = 4} จงแสดงวา่ 𝑔 ไม่เป็นฟังกช์นั พิสจูน เนื่องจาก |1| + |3| = 4 และ |1| + |−3| = 4 จะไดว้า่ (1, 3) ∈ 𝑔 และ (1 ,−3) ∈ 𝑔 ดงันัน้ 𝑔 ไม่เป็นฟังกช์นั

ฟั ง ก์ ชั น 95

ข้อตกลง เราจะใชส้ญัลกัษณ์ 𝐷𝑓 และ 𝑅𝑓 แทนโดเมนและเรนจข์องฟังกช์นั 𝑓 ตามล าดบั

บทนิยาม 5.1.2 จะกล่าววา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัจากเซต 𝐴 ไปยงัเซต 𝐵 (function from A into B) กต่็อเมื่อ 𝑓 เป็นฟังกช์นั ซึ่ง 𝐷𝑓 = 𝐴 และเขยีนแทนดว้ย 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵

บทนิยาม 5.1.3 ให ้𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 เรยีก 𝑓 วา่ ฟังก์ชนัค่าจริง (real – valued function) กต่็อเมื่อ 𝑅𝑓 ⊆ ℝ

ข้อตกลง ในการเขยีนฟังกช์นัค่าจรงิซึง่มโีดเมนเป็นเซตยอ่ยของ ℝ เรานิยมเขยีนในลกัษณะ𝑦 = 𝑓(𝑥) เช่น จากตวัอยา่ง 5.1.5 เราเขยีนแทนดว้ย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 2 และ 𝑔(𝑥) =√𝑥2 − 16 ตามล าดบั

ส าหรบัฟังกช์นัค่าจรงิ เราสามารถสรา้งฟังกช์นัค่าจรงิขึน้มาใหม่ โดยอาศยัผลจากน าค่าของฟังกช์นัมาบวก ลบ คูณ หรอืหารกนั

ตวัอย่าง 5.1.3. ให ้ 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 =𝑥2−9

𝑥−3 } และ

𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = 𝑥 + 3} เมื่อเขยีนในรูปค่าของฟังกช์นั จะได ้

𝑓(𝑥) =𝑥2−9

𝑥−3= 𝑥 + 3 เมื่อ 𝑥 ≠ 3 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3

เนื่องจาก 𝐷𝑓 = ℝ− {3} และ 𝐷𝑔 = ℝ ดงันัน้ โดยทฤษฎบีท 5.1.1 จะไดว้า่ 𝑓 ≠ 𝑔

ตวัอย่าง 5.1.4. (1) ให ้𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = 5𝑥 + 4} จะไดว้า่ 𝑓 เป็นฟังกช์นั ซึ่ง 𝐷𝑓 = ℝ และ 𝑅𝑓 = ℝ ดงันัน้ 𝑓: ℝ → ℝ

(2) ให ้𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = √𝑥 + 4 } จะไดว้า่ 𝑔 เป็นฟังกช์นั ซึ่ง 𝐷𝑔 = [−4,∞) และ 𝑅𝑔 = [0,∞) ดงันัน้ 𝑔: [−4,∞) → ℝ

ตวัอย่าง 5.1.5. ให ้ 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 2 } และ 𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = √𝑥2 − 16 } จะไดว้า่ 𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัค่าจรงิ เพราะวา่ 𝑅𝑓 = [−6,∞) และ 𝑅𝑔 = [0, 4]


บทนิยาม 5.1.4 ให ้𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ และ 𝑔 ∶ 𝐵 → ℝ เรานิยามฟังกช์นั 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔 และ 𝑓/𝑔 ดงันี้

𝑓 + 𝑔 ∶ 𝐴 ∩ 𝐵 → ℝ ก าหนดโดย (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 𝑓 − 𝑔 ∶ 𝐴 ∩ 𝐵 → ℝ ก าหนดโดย (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 𝑓𝑔 ∶ 𝐴 ∩ 𝐵 → ℝ ก าหนดโดย (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵

𝑓/𝑔 ∶ 𝐴 ∩ 𝐵 − {𝑥 | 𝑔(𝑥) = 0} → ℝ ก าหนดโดย (𝑓/𝑔)(𝑥) =𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 − {𝑥 | 𝑔(𝑥) = 0}

แบบฝึกหดั 5.1

1. ให ้ 𝐴 = {1, 2, 3} จงหาความสมัพนัธบ์น 𝐴 ทัง้หมดทีเ่ป็นฟังกช์นั

2. จากความสมัพันธ์ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชนัหรือไม่ พร้อมทัง้หาโดเมน

และเรนจ ์𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 2} 𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥𝑦 − 𝑦 − 𝑥 = 4} ℎ = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ | 𝑥2 + |𝑦| = 5}

𝑙 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥2

4+𝑦2

9= 1 }

𝑘 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑦 = √9 − 4𝑥2 }

3. ให ้𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 และ 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 เป็นฟังกช์นัใดๆ จงพสิจูน์วา่ 𝑓 ∩ 𝑔 ∶ 𝐴 ∩ 𝐵 → 𝐶

4. ให ้𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 และ 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 โดยที ่𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ เป็นฟังกช์นัใดๆ จงพสิจูน์วา่ 𝑓 ∪ 𝑔 ∶ 𝐴 ∪ 𝐵 → 𝐶

ตวัอย่าง 5.1.5. ให ้𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัค่าจรงิ นิยามโดย

𝑓(𝑥) = 𝑥−3𝑥2−4

และ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6

จะไดว้า่ 𝐷𝑓 = ℝ− {−2, 2} และ 𝐷𝑔 = ℝ นัน่คอื 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = ℝ− {−2,2} ดงันัน้ ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ ℝ − {−2, 2} จะไดว้า่

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =𝑥−3

𝑥2−4+ 𝑥2 − 𝑥 − 6 =

𝑥4−𝑥3−10𝑥2+5𝑥+21

𝑥2−4

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) =𝑥−3

𝑥2−4− (𝑥2 − 𝑥 − 6) =

−𝑥4+𝑥3+10𝑥2−3𝑥−27

𝑥2−4

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = (𝑥−3

𝑥2−4) (𝑥2 − 𝑥 − 6) =

𝑥2−6𝑥+9

𝑥−2

และส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ ℝ − {−2,2, 3} จะไดว้า่

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

= (𝑥−3

𝑥2−4) ∙ (

1

𝑥2−𝑥−6) =

1

𝑥3+2𝑥2−4𝑥−8


5.2 ฟังกช์นัหน่ึงต่อหน่ึง ฟังกช์นัทัว่ถึงและฟังกช์นัผกผนั

บทนิยาม 5.2.1 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 จะกล่าววา่ 𝑓 เป็น ฟังกช์นัหน่ึงต่อหน่ึง (one-to-one function หรอื injective function) กต่็อเมื่อ ส าหรบัแต่ละสมาชกิ 𝑦 ทกุตวัในเรนจ ์จะมสีมาชกิ

𝑥 ∈ 𝐴 เพยีงตวัเดยีวเทา่นัน้ ซึ่ง (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 เขยีนแทนดว้ย 𝑓: 𝐴1−1→ 𝐵 นัน่คอื

𝑓: 𝐴1−1→ 𝐵⇔ ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, ∀𝑦 ∈ 𝐵, (𝑥1, 𝑦) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥2, 𝑦) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2

จะกล่าววา่ 𝑓 เป็น ฟังกช์นัทัว่ถึง 𝐵 (onto function หรอื surjective function) กต่็อเมื่อ 𝑅𝑓 = 𝐵 เขยีนแทนดว้ย 𝑓: 𝐴 ทัว่ถึง

→ 𝐵 นัน่คอื 𝑓: 𝐴

ทัว่ถึง→ 𝐵⇔ ∀𝑦 ∈ 𝐵,∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥) = 𝑦

ข้อสงัเกต 𝑓:𝐴1−1→ 𝐵 ⇔ ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, ∀𝑦 ∈ 𝐵, (𝑥1, 𝑦) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥2, 𝑦) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2

⇔ ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⇒ 𝑥1 = 𝑥2

⇔ ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

ตวัอย่าง 5.2.1. (1) 𝑓 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑐)} เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง (2) 𝑔 = {(1, 𝑎), (2, 𝑎), (3, 𝑐)} ไม่เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง

ภาพแสดงการจบัคู่ของสมาชกิของคู่อนัดบัใน 𝑓 และ 𝑔

ตวัอย่าง 5.2.2. ให ้𝑓: ℝ → ℝ โดยที ่𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง พิสจูน ให ้𝑥1 และ 𝑥2 เป็นจ านวนจรงิใดๆ โดยที ่𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) นัน่คอื

5𝑥1 + 1 = 5𝑥2 + 1 ดงันัน้ 𝑥1 = 𝑥2 สรุปไดว้า่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง


เนื่องจากฟังกช์นัเป็นความสมัพนัธ ์ดงันัน้เราสามารถหาความสมัพนัธผ์กผนัไดเ้ช่นกนั แต่ความสมัพนัธผ์กผนันัน้อาจจะเป็นฟังกช์นั หรอืไม่เป็นฟังกช์นักไ็ด้ เช่น

ให ้ 𝑓 = {(1, 𝑥), (2, 𝑦), (3, 𝑦)} จะไดว้า่ 𝑓−1 = {(𝑥, 1), (𝑦, 2), (𝑦, 3)} ไม่เป็นฟังกช์นั 𝑔 = {(1, 𝑥), (2, 𝑦), (3, 𝑧)} จะไดว้า่ 𝑔−1 = {(𝑥, 1), (𝑦, 2), (𝑧, 3)} เป็นฟังกช์นั

ตวัอย่าง 5.2.3. ให ้𝑔:ℝ → ℝ โดยที ่𝑔(𝑥) = 2𝑥2 + 3 ไม่เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง พิสจูน เลอืก 𝑥1 = 1 และ 𝑥2 = −1 ดงันัน้ 𝑔(𝑥1) = 5 = 𝑔(𝑥2)

ดงันัน้ 𝑔 ไม่เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง

ตวัอย่าง 5.2.4. (1) ให ้𝑓:ℝ → ℝ โดยที ่𝑓(𝑥) = |𝑥| + 3 เนื่องจาก 𝑅𝑓 = [3,∞) ดงันัน้ 𝑓 ไม่เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึบน ℝ แต ่𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึบน [3,∞) (2) ให ้𝑔:ℝ → ℝ โดยที ่𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 จะไดว้า่ 𝑔 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึบน [−1,∞)

ตวัอย่าง 5.2.5. จงแสดงวา่ฟังกช์นั 𝑓:ℝ − {0} → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = 1𝑥+ 1

เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึบน ℝ พิสจูน ให ้𝑥, 𝑦 ∈ ℝ − {0} โดยที ่𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ดงันัน้ 1

𝑥+ 1 =

1𝑦+ 1 จะไดว้า่ 𝑥 = 𝑦

ดงันัน้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง

เนื่องจาก 1 ∈ ℝ จะไดว้า่ 𝑓(𝑥) = 1𝑥+ 1 ≠ 1 ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ ℝ − {0}

ดงันัน้ 𝑓 ไม่เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึบน ℝ

ตวัอย่าง 5.2.6. ก าหนดให ้𝑔 ∶ ℤ × ℤ → ℤ × ℤ ซึ่งนิยามโดย

𝑔(𝑚, 𝑛) = (𝑚 + 𝑛,𝑚 + 2𝑛) จงแสดงวา่ฟังกช์นั 𝑔 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ

พิสจูน ให ้(𝑚, 𝑛), (𝑘, 𝑙) ∈ ℤ × ℤ โดยที ่𝑔(𝑚, 𝑛) = 𝑔(𝑘, 𝑙) ดงันัน้ (𝑚 + 𝑛,𝑚 + 2𝑛) = (𝑘 + 𝑙, 𝑘 + 2𝑙) จะไดว้า่ 𝑚 + 𝑛 = 𝑘 + 𝑙 และ 𝑚 + 2𝑛 = 𝑘 + 2𝑙

𝑛 = (𝑚 + 2𝑛) − (𝑚 + 𝑛) = (𝑘 + 2𝑙) − (𝑘 + 𝑙) = 𝑙 ดงันัน้ 𝑛 = 𝑙 และ 𝑚 = (𝑚 + 𝑛) − 𝑛 = (𝑘 + 𝑙) − 𝑙 = 𝑘

นี้แสดงวา่ (𝑚, 𝑛) = (𝑘, 𝑙) ดงันัน้ 𝑔 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง ต่อไปจะแสดงวา่ 𝑔 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ ให ้(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ จะตอ้งหา (𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ ซึ่ง 𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑎, 𝑏) เลอืก 𝑥 = 2𝑎 − 𝑏 และ 𝑦 = 𝑏 − 𝑎 ดงันัน้ (𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ และ

𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 2𝑦) = (2𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑎, 2𝑎 − 𝑏 + 2(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎, 𝑏) ดงันัน้ 𝑔 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ


บทนิยาม 5.2.2 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 จะกล่าววา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหาตวัผกผนัได้ (invertible function) กต่็อเมื่อ 𝑓−1 เป็นฟังกช์นั และในกรณเีชน่นี้ เรากลา่ววา่ 𝑓−1 เป็นฟังกช์นัผกผนั

(inverse function) ของ 𝑓

ข้อสงัเกต (1) เนื่องจาก 𝑓 ⊆ 𝐴 × 𝐵 ดงันัน้ 𝑓−1 ⊆ 𝐵 × 𝐴 (2) ให ้𝑓 เป็นฟังกช์นัหาตวัผกผนัได ้ดงันัน้ส าหรบั (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 จะไดว้า่

(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑓−1 เนื่องจาก 𝑓−1 เป็นฟังกช์นั ดงันัน้ เราสามารถเขยีน 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) แทน (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑓−1 ได ้นัน่คอื

𝑦 = 𝑓(𝑥) กต่็อเมื่อ 𝑥 = 𝑓−1(𝑦)

ทฤษฎีบท 5.2.1 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 จะไดว้า่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหาตวัผกผนัได ้กต่็อเมื่อ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง

พิสจูน์ (⇒) สมมตวิา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหาตวัผกผนัได ้จะไดว้า่ 𝑓−1 เป็นฟังกช์นั ให ้𝑥1 และ 𝑥2 เป็นสมาชกิใดๆ ใน 𝐴 และ 𝑦 ∈ 𝐵 โดยที ่(𝑥1, 𝑦), (𝑥2, 𝑦) ∈ 𝑓ดงันัน้ (𝑦, 𝑥1), (𝑦, 𝑥2) ∈ 𝑓

−1 เนื่องจาก 𝑓−1 เป็นฟังกช์นั ดงันัน้ 𝑥1 = 𝑥2 นี้แสดงวา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง (⇐) สมมตวิา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ดงันัน้ 𝑓−1 ⊆ 𝐵 × 𝐴 ให ้𝑦 ∈ 𝐵 และ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 โดยที ่(𝑦, 𝑥1) ∈ 𝑓−1 และ (𝑦, 𝑥2) ∈ 𝑓−1 จะไดว้า่ (𝑥1, 𝑦) ∈ 𝑓 และ (𝑥2, 𝑦) ∈ 𝑓 นัน่คอื 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) โดยสมมตฐิาน 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง จะไดว้า่ 𝑥1 = 𝑥2 นัน่คอื 𝑓−1 เป็นฟังกช์นั ∎

หมายเหต เราสามารถหาฟังกช์นัผกผนัของ 𝑓 ไดด้งันี้ จาก 𝑦 = 𝑓(𝑥) =2𝑥𝑥−3

ดงันัน้ ตวัผกผนัของ 𝑓 คอื 𝑥 = 2𝑦𝑦−3

ซึ่งเราสามารถเขยีน 𝑦 ในเทอมของ 𝑥 ไดด้งันี้ 𝑦 = 3𝑥𝑥−2

ดงันัน้ 𝑓−1(𝑥) = 3𝑥𝑥−2

เนื่องจาก 𝐷𝑓−1 = ℝ− {2} = 𝑅𝑓

ดงันัน้ 𝑓−1: ℝ − {2} → ℝ โดยที ่𝑓−1(𝑥) = 3𝑥𝑥−2

ตวัอย่าง 5.2.7. ให ้𝑓: ℝ − {3} → ℝ นิยามโดย 𝑓(𝑥) = 2𝑥𝑥−3

จงพสิจูน์วา่ฟังกช์นั 𝑓 เป็นฟังกช์นัหาตวัผกผนัได ้พิสจูน ให ้𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ − {3} โดยที ่𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) จะไดว้า่ 2𝑥1

𝑥1−3=2𝑥2𝑥2−3

นัน่คอื 2𝑥1𝑥2 − 6𝑥1 = 2𝑥1𝑥2 − 6𝑥2 ท าใหไ้ดว้า่ 𝑥1 = 𝑥2 ดงันัน้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง โดยทฤษฎบีท 5.2.1 จะไดว้า่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหาตวัผกผนัได ้


บทนิยาม 5.2.3 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 นิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥 ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 จะเรยีกฟังกช์นั 𝑓 วา่ ฟังก์ชนัเอกลกัษณ์ (identity function) บน 𝐴 และเขยีนแทนดว้ย 𝑖𝐴 นัน่คอื

𝑖𝐴(𝑥) = 𝑥 ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴

ข้อสงัเกต ฟังกช์นัเอกลกัษณ์เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่งและทัว่ถงึบน 𝐴 นัน่คอื 𝑖𝐴: 𝐴1 − 1

⟶ทัว่ถงึ

𝐴

ถา้ 𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 แลว้ 𝑓−1: 𝐵1 − 1


𝐴

ทฤษฎีบท 5.2.2

พิสจูน์ สมมตวิา่ 𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 จะไดว้า่ 𝐷𝑓 = 𝐴 และ 𝑅𝑓 = 𝐵

เนื่องจาก 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง จะไดว้า่ 𝑓−1 เป็นฟังกช์นัผกผนั ดงันัน้ 𝑓−1: 𝐵⟶ 𝐴 ให ้𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝐵 และ 𝑥 ∈ 𝐴 ซึ่ง (𝑦1, 𝑥), (𝑦2, 𝑥) ∈ 𝑓−1 ดงันัน้ (𝑥, 𝑦1), (𝑥, 𝑦2) ∈ 𝑓 เนื่องจาก 𝑓 เป็นฟังกช์นั จะไดว้า่ 𝑦1 = 𝑦2 นี้แสดงวา่ 𝑓−1 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก 𝑅𝑓−1 = 𝐷𝑓 = 𝐴 ดงันัน้ 𝑓−1 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึบน 𝐴

นัน่คอื 𝑓−1: 𝐵1 − 1


𝐴 ∎


1. ให ้𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} จงหาฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่งทัง้หมดซึ่งมโีดเมนและเรนจเ์ป็นเซตยอ่ยของ 𝐴

2. จงตรวจสอบวา่ ฟังกช์นัทีก่ าหนดใหต่้อไปนี้เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นฟังกช์นัทัว่ถงึหรือไม่

พรอ้มทัง้พสิจูน์ค าตอบ

1) ให ้ 𝑓:ℝ → ℝ นิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 5

2) ให ้ 𝑓: (−∞,−1] → [4,∞) นิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 5

3) ให ้ 𝑓: ℤ → ℤ นิยามโดย 𝑓(𝑛) = 3𝑛 + 10

4) ให ้ 𝑓: ℤ → ℤ นิยามโดย 𝑓(𝑛) = 𝑛3 − 𝑛2

5) ให ้ 𝑓:ℕ → ℕ นิยามโดย 𝑓(𝑛) = 𝑛2 − 4𝑛 + 5

6) ให ้ 𝑓:ℝ − {−1, 1} → ℝ นิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥1−|𝑥|

7) ให ้ 𝑓: (−∞,53] → ℝ นิยามโดย 𝑓(𝑥) = √5− 3𝑥


8) ให ้ 𝑓:ℝ → ℝ นิยามโดย 𝑓(𝑥) = {−𝑥 เมื่อ 𝑥 ≤ 0𝑥2 เมื่อ 𝑥 > 0

9) ให ้ 𝑓 ∶ ℤ → ℤ × ℤ นิยามโดย 𝑓(𝑛) = (2𝑛, 𝑛 + 3)

10) ให ้ 𝑓 ∶ ℤ × ℤ → ℤ นิยามโดย 𝑓(𝑚, 𝑛) = 3𝑚 − 4𝑛

11) ให ้ 𝑓 ∶ ℝ − {2} → ℝ − {5} นิยามโดย 𝑓(𝑥) = 5𝑥+1

𝑥−2

12) ให ้ 𝑓 ∶ ℝ − {1} → ℝ − {1} นิยามโดย 𝑓(𝑥) = (𝑥+1𝑥−1)3

13) ให ้ 𝑓 ∶ ℤ × ℤ → ℚ นิยามโดย 𝑓(𝑚, 𝑛) = 𝑚

|𝑛|+1

3. ให ้𝑓: 𝐴 → ℝ โดยที ่𝐴 ⊆ ℝ

จะกล่าววา่ 𝑓 เป็น ฟังกช์นัเพ่ิมข้ึนโดยแท้ (strictly increasing function) กต่็อเมื่อ ส าหรบัทกุ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ถา้ 𝑎 < 𝑏 แลว้ 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)

และจะกล่าววา่ 𝑓 เป็น ฟังกช์นัลดลงโดยแท้ (strictly decreasing function) กต่็อเมื่อ ส าหรบัทกุ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ถา้ 𝑎 < 𝑏 แลว้ 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏) จงพสิจูน์วา่

1) ถา้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัเพิม่ขึน้โดยแท ้แลว้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง

2) ถา้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัเพิม่ขึน้โดยแท ้แลว้ 𝑓−1 เป็นฟังกช์นัลดลงโดยแท ้

4. ให ้𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัใดๆ จงพสิจูน์วา่

1) ถา้ 𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง แลว้ 𝑓 ∩ 𝑔 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง

2) ถา้ 𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง 𝑅𝑓 ∩ 𝑅𝑔 = ∅ และ 𝑓 ∪ 𝑔 เป็นฟังกช์นั แลว้

𝑓 ∪ 𝑔 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง


5.3 ฟังกช์นัประกอบ

พจิารณาฟังกช์นั 𝑓 และ 𝑔 ซึ่ง 𝑓 ⊆ 𝐴 × 𝐵 และ 𝑔 ⊆ 𝐵 × 𝐶

ให ้ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 และ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑔 จะไดว้า่ 𝑦 = 𝑓(𝑥) และ 𝑧 = 𝑔(𝑦) ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 และ 𝑦 ∈ 𝐷𝑔 นัน่คอื 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 , 𝑧 ∈ 𝑅𝑔 และ 𝑧 = 𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑓(𝑥))

ให ้ℎ = {(𝑥, 𝑧) ∈ 𝐴 × 𝐶 | 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 , 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∧ 𝑧 = 𝑔(𝑦)}

ซึ่งเป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไปยงั 𝐶 จะแสดงวา่ ℎ เป็นฟังกช์นั ให ้ 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐶 ซึ่ง (𝑥, 𝑧1) ∈ ℎ และ (𝑥, 𝑧2) ∈ ℎ จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 และม ี 𝑦1 ∈ 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ซึ่ง 𝑦1 = 𝑓(𝑥) และ 𝑧1 = 𝑔(𝑦1) และม ี 𝑦2 ∈ 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ซึ่ง 𝑦2 = 𝑓(𝑥) และ 𝑧2 = 𝑔(𝑦2) เนื่องจาก 𝑓 เป็นฟังกช์นั ดงันัน้ 𝑦1 = 𝑦2 และเนื่องจาก 𝑔 เป็นฟังกช์นั จะไดว้า่ 𝑔(𝑦1) = 𝑔(𝑦2) ท าใหไ้ดว้า่ 𝑧1 = 𝑧2 นี้แสดงวา่ ℎ เป็นฟังกช์นั ตามตอ้งการ

เราเขยีนแทน (𝑥, 𝑧) ∈ ℎ ได้ในรูป 𝑧 = ℎ(𝑥) เนื่องจาก มี 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥)

และ 𝑧 = 𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑓(𝑥)) ท าให้ได้ว่า ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) ดังนัน้ เราสามารถสร้างฟังก์ชนัใหม่

โดยอาศยัฟังกช์นั 𝑓 และ 𝑔 ไดใ้นลกัษณะเช่นเดยีวกบัขา้งตน้

บทนิยาม 5.3.1 ให ้𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัใดๆ ฟังกช์นัประกอบ (composite function) ของ 𝑓 และ 𝑔 เขยีนแทนดว้ย 𝑔 ∘ 𝑓 คอื ฟังกช์นัซึง่ก าหนดโดย 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) ส าหรบั

ทกุ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ซึ่ง 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔

ข้อสงัเกต (1) 𝐷𝑔∘𝑓 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔}

(2) 𝐷𝑔∘𝑓 ⊆ 𝐷𝑓 และ 𝑅𝑔∘𝑓 ⊆ 𝑅𝑔

(3) ถา้ 𝑓:𝐴 → 𝐵 และ 𝑔: 𝐵 → 𝐶 แลว้ 𝑔 ∘ 𝑓 เป็นฟังกช์นัจาก 𝐴 ไป 𝐵

𝐴

𝐷𝑓

𝑥

𝐶

𝑅𝑔

𝑧

𝐵

𝐷𝑔

𝑦

𝑅𝑓

𝐷𝑔

𝑓 𝑔


ทฤษฎีบท 5.3.1 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 จะไดว้า่

(1) 𝑓 ∘ 𝑖𝐴 = 𝑓 (2) 𝑖𝐵 ∘ 𝑓 = 𝑓

พิสจูน์ (1) เนื่องจาก 𝑓: 𝐴 → 𝐵 และ 𝑖𝐴: 𝐴 → 𝐴 จะไดว้า่ 𝑓 ∘ 𝑖𝐴 เป็นฟังกช์นัจาก 𝐴 ไป 𝐵 เนื่องจาก 𝑖𝐴 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ ดงันัน้ 𝐷𝑓∘𝑖𝐴 = 𝐴 = 𝐷𝑓 และส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴,

𝑓 ∘ 𝑖𝐴(𝑥) = 𝑓(𝑖𝐴(𝑥)) = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ 𝑓 ∘ 𝑖𝐴 = 𝑓 (2) แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 5.3.2 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 จะไดว้า่

(1) ถา้ 𝑓:𝐴

1−1→ 𝐵 และ 𝑔:𝐵

1−1→ 𝐶 แลว้ 𝑔 ∘ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง

(2) ถา้ 𝑓:𝐴 ทัว่ถึง→ 𝐵 และ 𝑔: 𝐵

ทัว่ถึง→ 𝐶 แลว้ 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴

ทัว่ถึง→ 𝐶

(3) ถา้ 𝑓:𝐴1 − 1


𝐵 และ 𝑔: 𝐵1 − 1


𝐶 แลว้ 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴1 − 1


𝐶

พิสจูน์ (1) สมมตวิา่ 𝑓: 𝐴1−1→ 𝐵 และ 𝑔: 𝐵

1−1→ 𝐶 จะไดว้า่ 𝑔 ∘ 𝑓 เป็นฟังกช์นัจาก 𝐴 ไป 𝐵

ให ้𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 โดยที ่𝑔 ∘ 𝑓(𝑥1) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥2) นัน่คอื 𝑔(𝑓(𝑥1)) = 𝑔(𝑓(𝑥2))

เนื่องจาก 𝑔 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง และ 𝑓(𝑥1),𝑓(𝑥2) ∈ 𝐵 ดงันัน้ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) เนื่องจาก 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง และ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 ดงันัน้ 𝑥1 = 𝑥2 ดงันัน้ 𝑔 ∘ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง (2) สมมตวิา่ 𝑓: 𝐴

ทัว่ถึง→ 𝐵 และ 𝑔: 𝐵


ให ้𝑧 ∈ 𝐶 เนื่องจาก 𝑅𝑔 = 𝐶 จะไดว้า่ 𝑧 ∈ 𝑅𝑔 ดงันัน้ จะม ี𝑦 ∈ 𝐵 ซึ่ง 𝑧 = 𝑔(𝑦) และเนื่องจาก 𝑅𝑓 = 𝐵 จะไดว้า่ 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 ดงันัน้ จะม ี𝑥 ∈ 𝐴 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) นัน่คอื

𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑦) = 𝑧 นี้แสดงวา่ 𝑧 ∈ 𝑅𝑔∘𝑓 ดงันัน้ 𝑔 ∘ 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ 𝐶 ∎

ตวัอย่าง 5.3.1. ให ้𝑓, 𝑔 ∶ ℝ → ℝ นิยามโดย 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 และ 𝑔(𝑥) = |𝑥| − 3 จะไดว้า่ 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(3𝑥 + 5) = |3𝑥 + 5| − 3 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(|𝑥| − 3) = 3(|𝑥| − 3) + 5 = 3|𝑥| − 4 𝑓 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(3𝑥 + 5) = 3(3𝑥 + 5 ) + 5 = 9𝑥 + 20 𝑔 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑔(𝑥)) = 𝑔(|𝑥| − 3) = ||𝑥| − 3| − 3


ทฤษฎีบท 5.3.3 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 และ 𝑔: 𝐵 → 𝐶 จะไดว้า่

(1) ถา้ 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴

1−1→ 𝐶 แลว้ 𝑓:𝐴

1−1→ 𝐵

(2) ถา้ 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 ทัว่ถึง→ 𝐶 แลว้ 𝑔: 𝐵


พิสจูน์ (1) สมมตวิา่ 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴1−1→ 𝐶

ให ้𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 โดยที ่𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) เนื่องจาก 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2) ∈ 𝐵 ดงันัน้𝑔(𝑓(𝑥1)) = 𝑔(𝑓(𝑥2)) นัน่คอื 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥1) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥2) โดยสมมตฐิาน 𝑔 ∘ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง จะไดว้า่ 𝑥1 = 𝑥2 ดงันัน้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง (2) สมมตวิา่ 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐵

ทัว่ถึง→ 𝐶 จะไดว้า่ 𝑅𝑔∘𝑓 = 𝐶

ให ้𝑧 ∈ 𝐶 ดงันัน้ 𝑧 ∈ 𝑅𝑔∘𝑓 นัน่คอื จะม ี𝑥 ∈ 𝐴 ซึ่ง 𝑧 = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) เนื่องจาก 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 ดงันัน้ 𝑧 ∈ 𝑅𝑔 นี้แสดงวา่ 𝑔 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ ∎

ทฤษฎีบท 5.3.4 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 จะไดว้า่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง กต่็อเมื่อ ส าหรบัเซต 𝐶 ใดๆ ถา้ 𝑔, ℎ: 𝐶 → 𝐴 และ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ แลว้ 𝑔 = ℎ พิสจูน์(⇒) สมมตวิา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง และให ้ 𝐶 เป็นเซตใดๆ ซึ่ง 𝑔, ℎ: 𝐶 → 𝐴 โดยที ่𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ นัน่คอื 𝐷𝑔 = 𝐷ℎ = 𝐶 ให ้𝑥 ∈ 𝐶 เนื่องจาก 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ

ดงันัน้ 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓 ∘ ℎ(𝑥)นัน่คอื 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(ℎ(𝑥)) โดยสมมตฐิาน 𝑓: 𝐴1−1→ 𝐵 จะไดว้า่

𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) โดยทฤษฎบีท 5.1.1 จะไดว้า่ 𝑔 = ℎ

(⇐) สมมตวิา่ ส าหรบัทกุเซต 𝐶 ถา้ 𝑔, ℎ: 𝐶 → 𝐴 และ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ แลว้ ℎ = 𝑔

จะแสดงวา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง ให ้𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 โดยที ่𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ให ้𝐶 = {𝑥1} และนิยาม 𝑔: 𝐶 → 𝐴 และ ℎ: 𝐶 → 𝐴 โดย 𝑔(𝑥1) = 𝑥1 และ ℎ(𝑥1) = 𝑥2

ดงันัน้ 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥1) = 𝑓(𝑔(𝑥1)) = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) = 𝑓(ℎ(𝑥1)) = 𝑓 ∘ ℎ(𝑥1) จะไดว้า่ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ โดยสมมตฐิาน 𝑔 = ℎ ดงันัน้ 𝑥1 = 𝑔(𝑥1) = ℎ(𝑥1) = 𝑥2 แสดงวา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง ∎

ทฤษฎีบท 5.3.5 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 จะไดว้า่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ กต่็อเมื่อ ส าหรบัเซต 𝐶 ใดๆ ถา้ 𝑔, ℎ: 𝐵 → 𝐶 และ 𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ ∘ 𝑓 แลว้ 𝑔 = ℎ พิสจูน์(⇒) สมมตวิา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ และให ้𝐶 เป็นเซตใดๆ ซึ่ง 𝑔: 𝐵 → 𝐶 และ ℎ: 𝐵 → 𝐶 โดยที ่𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ ∘ 𝑓 จะไดว้า่ 𝐷𝑔 = 𝐷ℎ = 𝐵, 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 และ ℎ ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 นัน่คอื 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = ℎ ∘ 𝑓(𝑥) ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 ให ้𝑦 ∈ 𝐵 เนื่องจาก 𝑅𝑓 = 𝐵 ดงันัน้ จะม ี𝑥 ∈ 𝐴 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) และจะไดว้า่ 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = ℎ ∘ 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥)) นัน่คอื 𝑔(𝑦) = ℎ(𝑦) ดงันัน้ โดยทฤษฎบีท 5.1.1 จะไดว้า่ 𝑔 = ℎ

(⇐) สมมตวิา่ ส าหรบัทกุเซต 𝐶 ถา้ 𝑔, ℎ: 𝐵 → 𝐶 และ 𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ ∘ 𝑓 แลว้ 𝑔 = ℎ

ฟั ง ก์ ชั น 105 จะแสดงวา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึนัน่คอื 𝐵 = 𝑅𝑓 ให ้𝑦′ ∈ 𝐵 สมมตวิา่ 𝑦′ ∉ 𝑅𝑓 นัน่คอื ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 จะไดว้า่ 𝑦′ ≠ 𝑓(𝑥)

ให ้𝑎 ∈ 𝐴 ดงันัน้ 𝑓(𝑎) ≠ 𝑦′ ให ้𝐶 = 𝐵 และ 𝑔: 𝐵 → 𝐵, ℎ: 𝐵 → 𝐵 ซึ่งนิยามโดย 𝑔(𝑦) = 𝑦 ส าหรบัทกุ 𝑦 ∈ 𝐵 และ

ℎ(𝑦) = {𝑦 เมื่อ 𝑦 ≠ 𝑦′

𝑓(𝑎) เมื่อ 𝑦 = 𝑦′

จะไดว้า่ 𝐷𝑔∘𝑓 = 𝐷ℎ∘𝑓 = 𝐴 และ 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥)) = ℎ ∘ 𝑓(𝑥) ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 ดงันัน้ 𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ ∘ 𝑓 เนื่องจาก 𝑔(𝑦′) = 𝑦′ ≠ 𝑓(𝑎) = ℎ(𝑦′) จะไดว้า่ 𝑔 ≠ ℎ ซึ่งเกดิขอ้ขดัแยง้ ดงันัน้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ ∎

ทฤษฎบีทต่อไปจะแสดงวา่ 𝑓 ∘ 𝑓−1 และ 𝑓−1 ∘ 𝑓 เป็นฟังกช์นัเอกลกัษณ์

ให ้𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 จะไดว้า่


(1) 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 (2) 𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑖𝐵

พิสจูน์ (1) ให ้𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 ดงันัน้ โดยทฤษฎบีท 5.2.2 จะไดว้า่ 𝑓−1: 𝐵1 − 1


𝐴

ดงันัน้ 𝑓−1 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐴 นัน่คอื 𝐷𝑓−1∘𝑓 = 𝐴 = 𝐷𝑖𝐴 ให ้𝑥 ∈ 𝐴 เนื่องจาก 𝐷𝑓 = 𝐴 จะม ี𝑦 ∈ 𝐵 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 จะไดว้า่

𝑓−1 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑖𝐴(𝑥) โดยทฤษฎบีท 5.1.1 สรุปไดว้า่ 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 (2) พสิจูน์ในท านองเดยีวกบั (1) ∎

ตวัอย่าง 5.3.2. จากตวัอยา่ง 5.2.7 เราทราบว่า 𝑓: ℝ − {3} → ℝ โดยที ่𝑓(𝑥) = 2𝑥

𝑥−3

เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง และ ม ี𝑓−1: ℝ − {2} → ℝ โดยที ่ 𝑓−1(𝑥) =

3𝑥

𝑥−2

ดงันัน้ 𝑓:ℝ − {3}1 − 1


ℝ − {2} และ 𝑓−1: ℝ − {2}1 − 1


ℝ− {3} จะไดว้า่

𝑓 ∘ 𝑓−1: ℝ − {2} → ℝ − {2} และ 𝑓−1 ∘ 𝑓: ℝ − {3} → ℝ− {3} โดยที ่𝑓 ∘ 𝑓−1(𝑥) = 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑓 (

3𝑥

𝑥−2) = 𝑥 ส าหรบัทกุ 𝑥 ≠ 2

และ 𝑓−1 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1 (2𝑥

𝑥−3) = 𝑥 ส าหรบัทกุ 𝑥 ≠ 3


ทฤษฎีบท 5.3.7 ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 และ 𝑔: 𝐵 → 𝐴

(1) ถา้ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 แลว้ 𝑔: 𝐵

ทัว่ถึง→ 𝐴 และ 𝑓:𝐴

1−1→ 𝐵

(2) ถา้ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝐵 แลว้ 𝑔: 𝐵1−1→ 𝐴 และ 𝑓:𝐴

ทัว่ถึง→ 𝐵

(3) ถา้ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 และ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝐵 แลว้ 𝑔 = 𝑓−1 และ 𝑓 = 𝑔−1

พิสจูน์ (1) สมมตวิา่ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 เนื่องจาก 𝑔:𝐵 → 𝐴 จะไดว้า่ 𝑅𝑔 ⊆ 𝐴 ให ้𝑥 ∈ 𝐴 จะไดว้า่ 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑖𝐴(𝑥) = 𝑥 นัน่คอื 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 เนื่องจาก 𝐷𝑓 = 𝐴 จะไดว้า่ ม ี𝑦 ∈ 𝐵 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ จะม ี𝑦 ∈ 𝐵 ซึ่ง 𝑔(𝑦) = 𝑥 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝑅𝑔 ท าใหไ้ดว้า่ 𝐴 ⊆ 𝑅𝑔 ดงันัน้ 𝑅𝑔 = 𝐴 นัน่คอื 𝑔: 𝐵

ทัว่ถึง→ 𝐴

ให ้𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 โดยที ่𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) เนื่องจาก 𝑔 เป็นฟังกช์นั และ 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2) ∈ 𝐵 จะไดว้า่ 𝑔(𝑓(𝑥1)) = 𝑔(𝑓(𝑥2)) นัน่คอื 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥1) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥2) เนื่องจาก 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 ดงันัน้ 𝑖𝐴(𝑥1) = 𝑖𝐴(𝑥2) นัน่คอื 𝑥1 = 𝑥2 นี้แสดงวา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง (2) พสิจูน์ไดใ้นท านองเดยีวกบั (1)

(3) สมมตวิา่ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 และ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝐵 จาก (1) และ (2) จะไดว้า่ 𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 และ

𝑔: 𝐵1 − 1


𝐴 ดงันัน้ 𝐷𝑔 = 𝐷𝑓−1 = 𝐵 และ 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔−1 = 𝐴

ให ้𝑦 ∈ 𝐵 เนื่องจาก 𝑅𝑓 = 𝐵 จะไดว้า่ ม ี𝑥 ∈ 𝐴 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) เนื่องจาก 𝑔 เป็นฟังกช์นั และ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 จะไดว้า่

𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑖𝐴(𝑥) = 𝑥 = 𝑓−1(𝑦)

ดงันัน้ โดยทฤษฎบีท 5.1.1 จะไดว้า่ 𝑔 = 𝑓−1 ท านองเดยีวกนัพสิจูน์ไดว้า่ 𝑓 = 𝑔−1 ∎

ถา้ 𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 แลว้ (𝑓−1)−1 = 𝑓 บทแทรก 5.3.8

พิสจูน์ สมมตวิา่ 𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 โดยทฤษฎบีท 5.2.2 จะไดว้า่ 𝑓−1: 𝐵1 − 1


𝐴

และโดยทฤษฎบีท 5.3.6 จะไดว้า่ 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴 และ 𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑖𝐵 ดงันัน้ (𝑓−1)−1 = 𝑓 โดยทฤษฎบีท 5.3.7 ∎


ให ้𝑓: 𝐴1 − 1


𝐵 และ 𝑔:𝐵1 − 1


𝐶


(1) (𝑔 ∘ 𝑓)−1: 𝐶

1 − 1


𝐴

(2) (𝑓−1 ∘ 𝑔−1): 𝐶1 − 1


𝐴

(3) (𝑔 ∘ 𝑓)−1 = 𝑓−1 ∘ 𝑔−1

พิสจูน์ แบบฝึกหดั ∎


1. ก าหนดฟังกช์นั 𝑓 และ 𝑔 นิยามดงัต่อไปนี้ จงหา 𝑓 ∘ 𝑔 และ 𝑔 ∘ 𝑓 พรอ้มทัง้ 𝐷𝑓∘𝑔 และ 𝐷𝑔∘𝑓

1) 𝑓: ℤ → ℤ โดยที ่ 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2 และ 𝑔:ℕ → ℤ โดยที ่𝑔(𝑛) = 2 − 𝑛

2) 𝑓: ℤ → ℤ โดยที ่ 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 3 และ 𝑔:ℕ → ℤ โดยที ่𝑔(𝑛) = 3 − 𝑛

3) 𝑓:ℕ → ℝ โดยที ่ 𝑓(𝑛) = 4 − √𝑛 และ 𝑔: ℤ → ℤ โดยที ่𝑔(𝑥) = 𝑥 − 5

2. ให ้𝐴 = {5, 6, 8}, 𝐵 = {0, 1}, 𝐶 = {1, 2, 3} และให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 และ 𝑔: 𝐵 → 𝐶 ซึ่ง

𝑓 = {(5, 1), (6, 0), (8, 1)} และ 𝑔 = {(0, 1), (1, 1)} จงหา 𝑔 ∘ 𝑓

3. ให ้𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {0, 1, 2}, 𝐶 = {1, 2, 3} ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵 และ 𝑔: 𝐵 → 𝐶 ซึ่ง

𝑓 = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 0)} และ 𝑔 = {(0, 1), (1, 1), (2, 3)} จงหา 𝑔 ∘ 𝑓

4. ให ้𝐴 = {1, 2, 3} และให ้𝑓, 𝑔: 𝐴 → 𝐴 ก าหนดโดย 𝑓 = {(1, 2), (2, 2), (3, 1)} และ

𝑔 = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)} จงหา 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝑓 ∘ 𝑔

5. ให ้𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} และให ้𝑓, 𝑔: 𝐴 → 𝐴 ก าหนดโดย 𝑓 = {(𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑐)} และ

𝑔 = {(𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑎)} จงหา 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝑓 ∘ 𝑔

6. ให ้𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 13 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥3 จงหา 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝑓 ∘ 𝑔

7. ให ้𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = 1

𝑥2+1 และ 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 จงหา 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝑓 ∘ 𝑔

8. ให ้𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังกช์นัค่าจรงิ ซึ่งโดเมนเป็นเซตยอ่ยของ ℝ และซึ่งนิยามดงันี้

𝑓(𝑥) =1

𝑥−2 และ 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2

จงหาฟังกช์นัต่อไปนี้ 𝑓 + 𝑔, 𝑓𝑔, 𝑓𝑔, 𝑓 ∘ 𝑔, (𝑓 ∘ 𝑔)−1, (𝑔 ∘ 𝑓)−1, 𝑓−1, 𝑔−1, 𝑓−1 ∘ 𝑔−1

และ 𝑔−1 ∘ 𝑓−1


9. ให ้𝑓, 𝑔: ℤ × ℤ → ℤ × ℤ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑚,𝑛) = (𝑚𝑛,𝑚2) และ

𝑔(𝑚, 𝑛) = (𝑚 + 1,𝑚 + 𝑛) จงหา 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝑓 ∘ 𝑔

10. 𝑓, 𝑔: ℤ × ℤ → ℤ × ℤ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑚, 𝑛) = (3𝑚 − 4𝑛, 2𝑚 + 𝑛) และ

𝑔(𝑚, 𝑛) = (5𝑚 + 𝑛,𝑚) จงหา 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝑓 ∘ 𝑔

11. ให ้𝑓: ℤ × ℤ → ℤ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑚, 𝑛) = 𝑚 + 𝑛 และ 𝑔: ℤ → ℤ × ℤ ซึ่งนิยามโดย

𝑔(𝑚) = (𝑚,𝑚) จงหา 𝑔 ∘ 𝑓 และ 𝑓 ∘ 𝑔

12. ให ้𝑓: ℝ2 → ℝ2 ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥3) จงหา 𝑓 ∘ 𝑓

13. ให ้𝑓: 𝐴 → 𝐵,𝑔:𝐵 → 𝐶 และ ℎ: 𝐶 → 𝐷

1) จงพสิจูน์วา่ 𝐷𝑓∘(𝑔∘ℎ) = 𝐷(𝑓∘𝑔)∘ℎ

2) จงพสิจูน์วา่ 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ) = (𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ

14. ให ้𝑓: ℝ → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = 2 − 5𝑥 จงพสิจูน์วา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่งและทัว่ถงึ

และ 𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑖ℝ

15. จงพสิจูน์ทฤษฎบีท 5.3.9


5.4 ภาพและภาพผกผนั

ให ้𝑓: 𝑋 → 𝑌 เราทราบว่า ส าหรบัแต่ละ 𝑥 ∈ 𝑋 เราสามารถหาค่าของฟังกช์นั 𝑓 ของ 𝑥 ได ้ในหวัขอ้นี้เราจะพจิารณาค่าของฟังกช์นั 𝑓 ของเซต 𝐴 เมื่อ 𝐴 ⊆ 𝑋 ซึ่งจะเทา่กบัเซตของค่าของฟังกช์นั 𝑓 ของ 𝑥 ส าหรบัทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 นัน่คอื {𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐴 }

และในทางกลบักนั ถา้ 𝐵 ⊆ 𝑌 เราจะหาสมาชกิ 𝑥 ∈ 𝑋 ซึ่ง 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 ดงันัน้ เราจะไดเ้ซตยอ่ยของ 𝑋 ซึ่งค่าของฟังกช์นัเป็นสมาชกิของ 𝐵 นัน่คอื {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 }

บทนิยาม 5.4.1 ให ้𝑓: 𝑋 → 𝑌, 𝐴 ⊆ 𝑋 และ 𝐵 ⊆ 𝑌 ภาพ (direct image หรอื image) ของ 𝐴 ภายใต ้𝑓 คอื เซตของสมาชกิใน 𝑌 ทีเ่ป็นค่า

ของฟังกช์นัของสมาชกิในเซต 𝐴 เขยีนแทนดว้ย 𝑓[𝐴] นัน่คอื 𝑓(𝐴) = {𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐴 }

ภาพผกผนั (inverse image) ของ 𝐵 ภายใต ้𝑓 คอืเซตของสมาชกิใน 𝑋 ทีม่คี่าของฟังกช์นัเป็นสมาชกิของเซต 𝐵 เขยีนแทนดว้ย 𝑓−1(𝐵) นัน่คอื

𝑓−1(𝐵) = {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 } ดงันัน้ 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) ⇔ ∃𝑎 ∈ 𝐴, 𝑦 = 𝑓(𝑎) 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵) ⇔ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵

ข้อสงัเกต (1) 𝑓(𝐴) ⊆ 𝑅𝑓 และ 𝑓−1(𝐵) ⊆ 𝐷𝑓 (2) เราสามารถหา 𝑓−1(𝐵) ไดเ้สมอไม่วา่ฟังกช์นั 𝑓 จะมฟัีงกช์นัผกผนัหรอืไม่ และ 𝐵 ⊆ 𝑌 ไม่จ าเป็นตอ้งเป็นเซตยอ่ยของ 𝑅𝑓


ทฤษฎีบท 5.4.1 ให ้𝑓: 𝑋 → 𝑌 จะไดว้า่

(1) 𝑓(∅) = ∅ (2) 𝑓(𝑋) ⊆ 𝑌 (3) ถา้ 𝐴 ⊆ 𝐶 ⊆ 𝑋 แลว้ 𝑓(𝐴) ⊆ 𝑓(𝐶)

(4) 𝑓(⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ) = ⋃ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 เมื่อ 𝐴𝑖 ⊆ 𝑋 ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼

(5) 𝑓(⋂ 𝐴𝑖𝑖∈ 𝐼 ) ⊆ ⋂ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 เมื่อ 𝐴𝑖 ⊆ 𝑋 ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼

ตวัอย่าง 5.4.1. ให ้𝑓: ℝ → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 จงหา 𝑓(𝐴) และ 𝑓−1(𝐵) เมื่อ 𝐴 = {−2, 2, 3} และ 𝐵 = {−4, 8, 9} วิธีท า (1) เนื่องจาก 𝐴 = {−2, 2, 3} ดงันัน้ 𝑓(−2) = 4, 𝑓(2) = 4 และ 𝑓(3) = 9 ดงันัน้ 𝑓(𝐴) = {4,9} (2) เนื่องจาก 𝐵 = {−4, 8, 9} และ 𝑅𝑓 = [0,∞) ดงันัน้ −4 ∉ 𝑅𝑓 จงึไม่ม ี𝑥 ∈ ℝ ซึ่ง

𝑓(𝑥) = −4 และเนื่องจาก 𝑓(√8) = 8, 𝑓(−√8) = 8, 𝑓(3) = 9 และ 𝑓(−3) = 9 ดงันัน้ 𝑓−1(𝐵) = {√8,−√8, 3,−3}

ตวัอย่าง 5.4.2. ให ้𝑓: ℝ → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 และ 𝐴 = [1, 3] จงพสิจูน์วา่ 𝑓(𝐴) = [1, 9] พิสจูน์ ให ้𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) จะไดว้า่ 𝑦 ∈ ℝ และจะม ี𝑥 ∈ [1, 3] ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 เนื่องจาก 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 ดงันัน้ 1 ≤ 𝑥2 ≤ 9 นัน่คอื 𝑦 ∈ [1, 9] ดงันัน้ 𝑓(𝐴) ⊆ [1, 9] ให ้𝑧 ∈ [1, 9] เลอืก 𝑥 = √𝑧 จะไดว้า่ 𝑥 ∈ ℝ เนื่องจาก 1 ≤ 𝑧 ≤ 9 จะไดว้า่ 1 ≤ √𝑧 ≤ 3 นัน่คอื 𝑥 ∈ [1, 3] และ 𝑧 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ 𝑧 ∈ 𝑓(𝐴) สรุปไดว้า่ [1, 9] ⊆ 𝑓(𝐴) ดงันัน้ 𝑓(𝐴) = [1, 9]

ตวัอย่าง 5.4.3. ให ้𝑓: ℝ → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ให ้𝐵 = (−3, 8] จงพสิจูน์วา่ 𝑓−1(𝐵) = [−2√2, 2√2] พิสจูน์ ให ้𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵) จะไดว้า่ 𝑥2 = 𝑓(𝑥) ∈ (−3, 8] เนื่องจาก 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ≥ 0 ดงันัน้ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 8 จะไดว้า่ −2√2 ≤ 𝑥 ≤ 2√2 ดงันัน้ 𝑥 ∈ [−2√2, 2√2] นัน่คอื 𝑓−1(𝐵) ⊆ [−2√2, 2√2] ให ้𝑥 ∈ [−2√2, 2√2] ดงันัน้ −2√2 ≤ 𝑥 ≤ 2√2 จะไดว้า่ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 8 นัน่คอื 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∈ [0, 8] เนื่องจาก [0, 8] ⊆ (−3,8] จะไดว้า่ 𝑓(𝑥) ∈ (−3,8] นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵) ดงันัน้ [−2√2, 2√2] ⊆ 𝑓−1(𝐵) สรุปไดว้า่ 𝑓−1(𝐵) = [−2√2, 2√2] ตามตอ้งการ


พิสจูน์ (1) สมมตวิา่ 𝑓(∅) ≠ ∅ ดงันัน้ จะม ี𝑦 ∈ 𝑓(∅) นัน่คอื ม ี𝑥 ∈ ∅ ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ซึ่งเกดิขอ้ขดัแยง้ ดงันัน้ 𝑓(∅) = ∅ (2) เหน็ไดช้ดัจากนิยามของ 𝑓(𝑥) (3) ให ้𝐴, 𝐶 ⊆ 𝑋 โดยที ่𝐴 ⊆ 𝐶 ให ้𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝐴 ⊆ 𝐶 จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝐶 ดงันัน้ จะม ี𝑥 ∈ 𝐶 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) นัน่คอื 𝑦 ∈ 𝑓(𝐶) สรุปไดว้า่ 𝑓(𝐴) ⊆ 𝑓(𝐶) (4) ให ้𝑦 ∈ 𝑓(⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ) ดงันัน้ม ี𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ดงันัน้ จะม ี𝑘 ∈ 𝐼 ซึ่ง 𝑥 ∈ 𝐴𝑘 นี้แสดงวา่ 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴𝑘) ดงันัน้ 𝑦 ∈ ⋃ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 ท าใหไ้ด ้𝑓(⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ) ⊆ ⋃ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 ให ้𝑧 ∈ ⋃ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 ดงันัน้ จะม ี𝑘 ∈ 𝐼 ซึ่ง 𝑧 ∈ 𝑓(𝐴𝑘) เนื่องจาก 𝑧 ∈ 𝑓(𝐴𝑘) ดงันัน้ จะม ี𝑥 ∈ 𝐴𝑘 ซึ่ง 𝑧 = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝐴𝑘 ⊆ ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 จะไดว้า่ 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 นี้แสดงวา่ 𝑧 ∈ 𝑓(⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ) ดงันัน้ ⋃ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 ⊆ 𝑓(⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ) สรุปไดว้า่ 𝑓(⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐼 ) = ⋃ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 (5) ให ้𝑦 ∈ 𝑓(⋂ 𝐴𝑖𝑖∈ 𝐼 ) ดงันัน้ จะม ี𝑥 ∈ ⋂ 𝐴𝑖𝑖∈ 𝐼 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝑥 ∈ ⋂ 𝐴𝑖𝑖∈ 𝐼 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴𝑖 ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼 นัน่คอื 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴𝑖) ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼 ดงันัน้ 𝑦 ∈ ⋂ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 สรุปไดว้า่ 𝑓(⋂ 𝐴𝑖𝑖∈ 𝐼 ) ⊆ ⋂ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼 ∎

ตวัอยา่งต่อไป เราจะแสดงวา่ 𝑓(⋂ 𝐴𝑖i∈ I ) ไม่จ าเป็นตอ้งเทา่กบั ⋂ 𝑓(𝐴𝑖)𝑖∈𝐼


(1) 𝑓−1(∅) = ∅ (2) 𝑓−1(𝑌) = 𝑋 (3) ถา้ 𝐵 ⊆ 𝐷 ⊆ 𝑌 แลว้ 𝑓−1(𝐵) ⊆ 𝑓−1(𝐷)

(4) 𝑓−1(⋃ 𝐵𝑖𝑖∈𝐼 ) = ⋃ 𝑓−1(𝐵𝑖)𝑖∈𝐼 เมื่อ 𝐵𝑖 ⊆ 𝑌 ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼

(5) 𝑓−1(⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 ) = ⋂ 𝑓−1(𝐵𝑖)𝑖∈𝐼 เมื่อ 𝐵𝑖 ⊆ 𝑌 ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼

(6) 𝑓−1(𝑌 − 𝐵) = 𝑋 − 𝑓−1(𝐵) เมื่อ 𝐵 ⊆ 𝑌

ตวัอย่าง 5.4.4. ให ้𝑓:ℝ → ℝ ซึ่งนิยามโดย 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 ให ้ 𝐴 = {1, 2, 3} และ 𝐵 = {−2, 0, 1, 3} จะไดว้า่ 𝑓(𝐴) = {3, 6, 11} และ 𝑓(𝐵) = {2, 3, 6, 11} ดงันัน้ 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵) = {3, 6, 11} เนื่องจาก 𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3} ดงันัน้ 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) = {3, 11}

นัน่คอื 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵)


พิสจูน์ (2) เหน็ไดช้ดัวา่ 𝑓−1(𝑌) ⊆ 𝑋 ให ้𝑥 ∈ 𝑋 เนื่องจาก 𝐷𝑓 = 𝑋 ดงันัน้ จะม ี𝑦 ∈ 𝑌 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑌) ดงันัน้ 𝑋 ⊆ 𝑓−1(𝑌) สรุปไดว้า่ 𝑓−1(𝑌) = 𝑋 (3) สมมตวิา่ 𝐵, 𝐷 ⊆ 𝑌 โดยที ่𝐵 ⊆ 𝐷 และให ้𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵) จะไดว้า่ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 เนื่องจาก 𝐵 ⊆ 𝐷 จะไดว้า่ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐷) สรุปไดว้า่ 𝑓−1(𝐵) ⊆ 𝑓−1(𝐷) (5) ให ้𝑥 ∈ 𝑓−1(⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 ) ไดว้า่ 𝑓(𝑥) ∈ ⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 นัน่คอื ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵𝑖 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵𝑖) ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼 นี้แสดงวา่ 𝑥 ∈ ⋂ 𝑓−1(𝐵𝑖)𝑖∈𝐼

ดงันัน้ 𝑓−1(⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 ) ⊆ ⋂ 𝑓−1(𝐵𝑖)𝑖∈𝐼 ให ้𝑥 ∈ ⋂ 𝑓−1(𝐵𝑖)𝑖∈𝐼 จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵𝑖) ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼 ดงันัน้ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵𝑖 ส าหรบัทกุ 𝑖 ∈ 𝐼 จะไดว้า่ 𝑓(𝑥) ∈ ⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝑓−1(⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 ) ดงันัน้ ⋂ 𝑓−1(𝐵𝑖)𝑖∈𝐼 ⊆ 𝑓−1(⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 )

สรุปไดว้า่ 𝑓−1(⋂ 𝐵𝑖𝑖∈ 𝐼 ) = ⋂ 𝑓−1(𝐵𝑖)𝑖∈𝐼 (6) ให ้𝐵 ⊆ 𝑌

ให ้𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑌 − 𝐵) จะไดว้า่ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑌 − 𝐵 ดงันัน้ 𝑓(𝑥) ∉ 𝐵 ดงันัน้ 𝑥 ∉ 𝑓−1(𝐵) จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝑋 − 𝑓−1(𝐵) ดงันัน้ 𝑓−1(𝑌 − 𝐵) ⊆ 𝑋 − 𝑓−1(𝐵) ให ้𝑥 ∈ 𝑋 − 𝑓−1(𝐵) จะไดว้า่ 𝑥 ∉ 𝑓−1(𝐵) นัน่คอื 𝑓(𝑥) ∉ 𝐵 เนื่องจาก 𝑅𝑓 ⊆ 𝑌 ดงันัน้ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑌 นัน่คอื 𝑓(𝑥) ∈ 𝑌 − 𝐵 จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑌 − 𝐵)

ดงันัน้ 𝑋 − 𝑓−1(𝐵) ⊆ 𝑓−1(𝑌 − 𝐵) สรุปไดว้า่ 𝑓−1(𝑌 − 𝐵) = 𝑋 − 𝑓−1(𝐵) ∎


(1) ถา้ 𝐴 ⊆ 𝑋 แลว้ 𝐴 ⊆ 𝑓−1 (𝑓(𝐴))

(2) ถา้ 𝐵 ⊆ 𝑌 แลว้ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) ⊆ 𝐵

พิสจูน์ (1) สมมตวิา่ 𝐴 ⊆ 𝑋 ให ้𝑥 ∈ 𝐴 เนื่องจาก 𝐴 ⊆ 𝑋 จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝑋 ดงันัน้ จะม ี𝑦 ∈ 𝑌 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ 𝑦 ∈ 𝑓[𝐴] แสดงวา่ 𝑥 ∈ 𝑋 และ ม ี𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑓(𝐴)) สรุปไดว้า่ 𝐴 ⊆ 𝑓−1(𝑓(𝐴))

(2) ให ้𝐵 ⊆ 𝑌 กรณทีี ่1 𝐵 = ∅ จะได ้𝑓−1(𝐵) = 𝑓−1(∅) = ∅ ดงันัน้ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) = 𝑓(∅) = ∅


กรณทีี ่2 𝐵 ≠ ∅ ให ้𝑦 ∈ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) จะไดว้า่ 𝑦 ∈ 𝑌 และ ม ี𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵) ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ดงันัน้ ม ี𝑧 ∈ 𝐵 ซึ่ง 𝑧 = 𝑓(𝑥) จงึได ้𝑦 = 𝑧 ดงันัน้ 𝑦 ∈ 𝐵 สรุปไดว้า่ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) ⊆ 𝐵 ∎


(1) 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง กต่็อเมื่อ ส าหรบัทกุ 𝐴 ⊆ 𝑋, 𝑓−1(𝑓(𝐴)) = 𝐴

(2) 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง กต่็อเมื่อ ส าหรบัทกุ 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑋, 𝑓−1(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(B) พิสจูน์ (1) สมมตวิา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง และให ้𝐴 ⊆ 𝑋 โดยทฤษฎบีท 5.4.3

จะไดว้า่ 𝐴 ⊆ 𝑓−1(𝑓(𝐴))

ต่อไปจะแสดงวา่ 𝑓−1(𝑓(𝐴)) ⊆ 𝐴 ให ้𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑓(𝐴)) ดงันัน้ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑓(𝐴) นัน่คอื จะม ี𝑎 ∈ 𝐴 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑎) ดงันัน้ 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง ดงันัน้ 𝑥 = 𝑎 นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝐴 นี้แสดงวา่ 𝑓−1(𝑓(𝐴)) ⊆ 𝐴 สรุปไดว้า่ 𝑓−1(𝑓(𝐴)) = 𝐴 ในทางกลบักนั สมมตวิา่ 𝑓−1(𝑓(𝐴)) = 𝐴 ส าหรบัทกุ 𝐴 ⊆ 𝑋 ให ้𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋 โดยที ่𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) โดยสมมตฐิาน จะไดว้า่

{𝑥1} = 𝑓−1(𝑓({𝑥1})) = 𝑓

−1(𝑓({𝑥2})) = {𝑥2}

ดงันัน้ 𝑥1 = 𝑥2 นัน่คอื 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง (2) แบบฝึกหดั ∎


(1) 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ กต่็อเมื่อ ส าหรบัทกุ 𝐵 ⊆ 𝑌, 𝑓(𝑓−1(𝐵)) = 𝐵

(2) 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ กต่็อเมื่อ ส าหรบัทกุ 𝐴 ⊆ 𝑋,𝑌 − 𝑓(𝐴) ⊆ 𝑓(𝑋 − 𝐴) พิสจูน์ (1) สมมตวิา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ นัน่คอื 𝑅𝑓 = 𝑌

ให ้𝐵 ⊆ 𝑌 โดยทฤษฎบีท 5.4.3 จะไดว้า่ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) ⊆ 𝐵 จะตอ้งแสดงวา่ 𝐵 ⊆ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) ให ้𝑦 ∈ 𝐵 เนื่องจาก 𝑅𝑓 = 𝑌 จะไดว้า่ 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 ดงันัน้ จะม ี𝑥 ∈ 𝑋 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝑦 ∈ 𝐵 และ 𝑦 = 𝑓(𝑥) จะไดว้า่ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝐵) นัน่คอื 𝑦 ∈ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) ดงันัน้ 𝐵 ⊆ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) สรุปไดว้า่ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) = 𝐵

ในทางกลบักนั สมมตวิา่ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) = 𝐵 ส าหรบัทกุ 𝐵 ⊆ 𝑌 จะแสดงวา่ 𝑅𝑓 = 𝑌 ให ้𝐵 = 𝑌 จะได ้𝑓(𝑓−1(𝑌)) = 𝑌 โดยทฤษฎบีท 5.4.2 จะไดว้า่ 𝑓−1(𝑌) = 𝑋 ดงันัน้ 𝑓(𝑋) = 𝑌 เนื่องจาก 𝑓(𝑋) = 𝑅𝑓 ดงันัน้ 𝑅𝑓 = 𝑌 สรุปไดว้า่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ (2) แบบฝึกหดั ∎


ทฤษฎีบท 5.4.6 ให ้𝑓: 𝑋ทัว่ถึง→ 𝑌 และ 𝐴 ⊆ 𝑋 ถา้ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง แลว้

𝑌 − 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝑋 − 𝐴) พิสจูน์ สมมตวิา่ 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก 𝑓 เป็นฟังกช์นัทัว่ถงึ โดยทฤษฎบีท 5.4.5(2) จะไดว้า่ 𝑌 − 𝑓(𝐴) ⊆ 𝑓(𝑋 − 𝐴) ให ้𝑦 ∈ 𝑓(𝑋 − 𝐴) จะไดว้า่ ม ี𝑥 ∈ 𝑋 − 𝐴 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) สมมตวิา่ 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) ดงันัน้ จะม ี𝑎 ∈ 𝐴 ซึ่ง 𝑦 = 𝑓(𝑎) จะไดว้า่ 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥) เนื่องจาก 𝑓 เป็นฟังกช์นัหนึ่งต่อหนึ่ง จะไดว้า่ 𝑎 = 𝑥 ซึ่งเกดิขอ้ขดัแยง้ ดงันัน้ 𝑦 ∉ 𝑓(𝐴) นัน่คอื 𝑦 ∈ 𝑌 − 𝑓(𝐴) นี้แสดงวา่ 𝑓(𝑋 − 𝐴) ⊆ 𝑌 − 𝑓(𝐴) สรุปไดว้า่ 𝑌 − 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝑋 − 𝐴) ∎


1. ให ้ 𝑓: ℝ → ℝ นิยามโดย 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 2

จงหาภาพ และภาพผกผนัภายใต ้ 𝑓 ของเซตต่อไปนี้ พรอ้มทัง้พสิจูน์ค าตอบ

1) {−1,0, 1, 2, 4} 2) [−3, 2] 3) (0, 1) 4) (−2, 4]

2. ให ้ 𝑔: ℝ → ℝ นิยามโดย 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5

จงหาภาพ และภาพผกผนัภายใต ้𝑔 ของเซตต่อไปนี้ พรอ้มทัง้พสิจูน์ค าตอบ

1) {−2,−, 1, 1, 3} 2) [−2, 4] 3) (0, 3) 4) [−3, 5)

3. จงพสิจูน์หรอืยกตวัอยา่งคา้นขอ้ความต่อไปนี้ เมื่อ 𝑓: 𝑋 → 𝑌, 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑋 และ 𝐶, 𝐷 ⊆ 𝑌

1) ถา้ 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝐵) แลว้ 𝐴 = 𝐵

2) ถา้ 𝑓−1(𝐶) = 𝑓−1(𝐷) แลว้ 𝐶 = 𝐷

4. ให ้𝑓: 𝑋 → 𝑌 และ 𝑔: 𝑌 → 𝑍 จงพสิจูน์วา่

1) 𝑔 ∘ 𝑓(𝐴) = 𝑔(𝑓(𝐴)) ส าหรบัทกุ 𝐴 ⊆ 𝑋

2) (𝑔 ∘ 𝑓)−1(𝐶) = 𝑓−1(𝑔−1(𝐶)) ส าหรบัทกุ 𝐶 ⊆ 𝑍

5. จงยกตวัอยา่งฟังกช์นั 𝑓: 𝑋 → 𝑌 และ 𝐴 ⊆ 𝑋 ซึ่ง 𝑌 − 𝑓(𝐴) ≠ 𝑓(𝑋 − 𝐴)

6. จงยกตวัอยา่งฟังกช์นั 𝑓: 𝑋 → 𝑌 และ 𝐴 ⊆ 𝑋 และ 𝐵 ⊆ 𝑌 ซึ่ง 𝐴 ≠ f−1(f(A))

และ 𝑓(𝑓−1(𝐵)) ≠ 𝐵

7. จงพสิจูน์ทฤษฎบีท 5.4.4 (2) และทฤษฎบีท 5.4.5 (2)

Documents

05 - WordPress.com · 2016-03-31 · ฟังก์ชัน 95 ข้อตกลง เราจะใช้สัญลักษณ์ และ 𝑅 แทนโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน