الهندسة الفراغية

الهندسة والتعليم – الفراغية التربية مديرية

طولكرم

الخواجا مدرسة ابراهيمللبنات الثانوية

الثامنة الوحدةالعاشر الصف الرياضيات منهاج

الفراغية الهندسة

مفاهيم ومسلمات

الهندسة فيالفراغية

توازي مستقيم ومستوى

أوضاعالمستقيمات والمستويات

الفراغ في

مع مستوى تقاطعمتوازيين مستويين

االسقاط العمودي

مستقيم تعامدمستوى مع

الزاويةالزوجية

احد على انقريلعرضه المواضيع

الهندسةالفراغية

خواص في يبحث الذي الرياضيات علم فروع أحد هيالتعرض دون وسطوحها ومساحاتها وأشكالها األجسام

خواصها إلى

نقطتين أي فيه أخذت لو الذي السطح هوالمستقيم لوقع بمستقيم بينهما ووصل

السطح . هذا على بتمامه

المستوى

سx

x

x

انا اذامستو

ى

المسلمة

مسميات من تتكون الفراغية الهندسةالمستوى ) – - ( المستقيم النقطة

ومسلمات نظريات

نقبل األولية المسميات بين تربط عبارة هيالنظرية وبين بينها الفرق وهذا برهان بدون بصحتها

برهان . لها يوجد النظرية ان حيث

1مسلمة وحيد مستقيم بهما يمر الفراغ في مختلفتين نقطتين أي

x

x

استقامة على أنها س المستوى نقاط من لمجموعة نقولاليه تنتمي ل مستقيم س المستوى في وجد إذا واحدة

س ل ويكون النقاط هذه

xxx

xx

2مسلمة

ليست مختلفة نقاط ثالث المستوى يحويواحدة استقامة على

x

xx

المستوى تعيينالفراغ في

مستقيمان متقاطعان

ونقطة مستقيمعليه تقع ال

ليست نقاط ثالثاستقامة على

واحدة

مستقيمانمتقاطعان

x

xxx

3مسلمة

مستوية غير مختلفة نقاط اربعة الفراغ يحوياألقل على

ىتو

سم

ا

ب

جـ

دىستو

م

4مسلمة

مختلفتين نقطتين في س ومستوى ل مستقيم اشترك اذابأكمله . المستوى في بأكمله يقع ل المستقيم فان

با

5مسلمة

يتقاطعان فإنهما مختلفان مستويان تقاطع اذامستقيم . في

تقاطع خط المستويين بين المشترك الخط ويسمىالمستويين

ص

س

6مسلمة

رسم يمكن فانه معلوم مستقيم خارج نقطة وقعت إذاالمعلوم . المستقيم يوازي منها واحد مستقيم

x

7مسلمة

وحيد مستوى هناك معلوم مستوى خارج نقطة أليالمعلوم المستوى ويوازي بها يمر

x

اب

جـ

د

هـ

وعن وأجيبي المقابل الشكل تأملي

التالية :األسئلة

المكونة المستويات عينيالتسمية . مع للشكل

اب

جـ

د

هـ

ويوازي مستويا سم

جـ ب ا المستوى

جـ ب ا يوازي المستوىد هـ و المستوى

اب

جـ

د

هـ

ويوازي مستويا أذكري

و ا الحرف

هو و ا الحرف يوازي الذي المستويهـ د جـ ب المستوى

اب

جـ

د

هـ

ويحوي مستوى يوجد هل

ويقطع ب النقطة؟ هو ما ؟ جـ اب المستوى

نعم

او هـ د جـ ب المستوىو هـ ب ا المستوى

تدريب :الثالث السؤال

من 90ص المقرر الكتاب

متوازيان في وقعا

واحد مستوىيتقاطعا ولم

متخالفان يتقاطعا لم

يقعا ولممستوى في

واحد

متقاطعان

يتقاطعافي ننقطة واحدة

متخالفان يتقاطعا لم

يقعا ولممستوى في

واحد

با

جـ

د

ز

حهـ

و تخطيط يمثل الرسوم الشكلعلى مدرسية لقاعة هندسي

مستطيالت : متوازي شكلاالحرف من زوجين أذكري

المتقاطعة

متقاطعان , ب ا د اا في

د , هـ ح هـهـ في متقاطعان

االحرف من زوجين أذكريالمتوازية

ز ا //وب

و د //اهـ

االحرف من زوجين أذكريالمتخالفة

د ا //هـب

ح ب //دز

تعريف التي الزوايا احدى هي متخالفين مستقيمين بين الزاوية

ثالث مستقيم أي مع المستقيمين هذين أحد يصنعهااآلخر . للمستقيم dموازيا عليه نقطة من مرسوم

متوازيان ال المستقيم

مع يشتركفي المستوىأي نقطة أي

متوازيان

المستقييقع م بتمامه

في المستوى

متقاطعان المستقيم

يقطع المستوى نقطة في

متقاطعان المستويان

يتقاطعان خط فيمستقيم

متوازيان المستويا

ال نيشتركان

اية فينقطة

( 1نظرية )

المستوى في dمستقيما مستوى خارج مستقيم وازى اذاالمستوى . ذلك يوازي فإنه

ل1

ل2

س

2ل // 1ل

س 2ل س // 1ل

المستوى , خارج معلوم مستقيم ب ا معلوم مستوى سد , , جـ بموازاة , Эس جـ ا المستقيم رسم س

أن = . : أثبتي د ب جـ ا بحيث د ب المستقيماب س . // المستقيم المستوى

ا

جـ

س

ب

د

الفرض ) (: المعطىد // اجـ ب

د = ب جـ ا

المطلوب : اب س // المستقيم المستوى

ا

جـ

س

ب

د

البرهان : اجـ ان د // بما ب

وليكن مستوى يعينان شريحة )صفهما ( 7راجعي

بالفرض = د ب اجـ ان وحيثاضالع متوازي د جـ ب ا الشكل اذا

ب ا dد //اذا اضالع )جـ متوازي في متقابالن (ضلعان

ب ا dد // اذا جـس المستوى في واقع د جـ

ب ا dس //اذا المستوى

تدريب :األول السؤال

من 96ص المقرر الكتاب

( 2نظرية )

تقاطعه خطي فإن متوازيين مستويين مستوى قطع إذامتوازيين . يكونان معهما

ا

جـ

سب

صد

س ص // المستوى المستوىع لهما المستوى قاطع

تقاطع اب عمع سخطد تقاطع جـ ع مع صخط

dد // اب إذا جـ

ا

جـ

سب

صد

ع

لهما ع , ص // سالفرض : قاطعد , ابفي الترتيب . جـ على

اثبات : د // أبالمطلوب . جـ

البرهان :أن بالفرض ص // سبما

مع ابفان يتقاطع د ال (1. . . )جـد ∩ اب Ø =جـ

د , ابلكن مستوى جـ يحويهما ( 2 . . . ) عواحد

( 2 ( , ) 1من )د // اب جـ

#

متوازيان الفراغ في لثالث الموازيان المستقيمان

ل1

ل2 ل

3

2ل // 1ل3ل // 2ل

3ل // 1ل

خط فان متقاطعان مستويان بهما ومر مستقيمان توازى اذاالمستقيمين . هذين من dكال يوازي تقاطعهما

3ل // 1لس 3ل ص 1ل

2ل = ص ∩ س 3ل // 1ل

ل1

ل2

ل3

صس

ع, , المستوى ب ا في متقاطعان مستويان ص سكان , فاذا الترتيب على و هـ د جـ في يقطعهما

د : //اب جـ أن فاثبت ع و // المستوى هـ

ص س

ع

جـ

د

هـ

و

ا

ب

البرهان :ع //اب المستوى

ب ا يحوي س المستوىد, جـ في ع المستوى ويقطع

ب ا dنتيجة ) //اذا د (1 ( . . . ) 2جـاب ان ع , //بما المستوى

ب ا يحوي ص المستوىو هـ في ع المستوى ويقطع

ب ا dنتيجة ) //اذا و (2 ( . . . ) 2هـ( 2( , ) 1من )د نتيجة ) //جـ و # ( 1هـ

تدريب :األول السؤال

من 99ص المقرر الكتاب

عدة قطعت إذا انه برهنيبمستقيمين مستويات متوازية

المحصورة القطع أطوال فإنمتناسبة . تكون بينهما

ل1

ل2

جـ

د

هـ

و

ا

بص

س

ع

المعطيات :ع //ص //س

جـ , , 1ل ب ا النقاط في قطعهاو , , . 2ل هـ د النقاط في قطعها

المطلوب :أن دهـ = اب اثبات

جـ و ب هـ

ل1

ل2

جـ

د

هـ

و

ا

بص

س

ع

العمل:و نرسم م ا في ص ليقطع

د ونرسم ب , ا هـ , م و , م جـ

م

البرهان : س ان اذا , //بما م // اد ص هـ

لماذا؟ ≈ ) ( هـ د ا المثلث هـ وم المثلثهـ = اماذا (1 )د

و و م هـم بالمثل و // ب ومنه جـ

م = اب ( 2 )اجـ و ب م

أن ( : 2 ( , ) 1من ) ينتجب هـ = ا دجـ و ب # هـ

تدريب :الرابع السؤال

من 99ص المقرر الكتاب

تعريف

كان إذا مستوى على عمودي أنه لمستقيم يقالالواقعة المستقيمات جميع على عموديا المستقيم

المستوى . ذلك س ┴ في ل

( 3نظرية )

عند متقاطعين مستقيمين على العمودي المستقيممستويهما . على dعموديا يكون تقاطعهما نقطة

لل1

2

ل3

س

التقاطع 2ل , 1ل ┴ 3ل نقطة منس ┴ 3ل

نتيجة

من معلوم مستقيم على العمودية المستقيمات جميعمستوى في جميعها تقع المستقيم لهذا تنتمي نقطة

المعلوم . المستقيم على عمودي واحد

ل4 ل

2

ل3

س

التقاطع 3ل ┴ 2 ل, 4ل ,1ل نقطة منس الى ينتمي وجميعهم

3ل ┴س

ل1

نتيجة

d عموديا ويكون معلومة بنقطة يمر واحد مستقيم هناكمعلوم . مستوى على

ل3

جـمستقيم رسم يمكن جـ نقطة منس المستوى على عمودي واحد

س

نتيجة

مستويين من كل على dعموديا مستقيم كان اذامتوازيين يكونان فإنهما

ل3

س ┴ ل

ص ┴ ل

سص //س

نتيجة

على dعموديا احدهما وكان مستقيمان توازى اذا. d ايضا عليه dعموديا اآلخر كان مستوى

ل1

2 ل // 1ل

س ┴ 1ل

س ┴ 2 لس

ل2

نتيجة

متوازيان مستوى على العموديان المستقيمان

ل1 س ┴ 1ل

س ┴ 2 ل

2 ل // 1لس

ل2

تطبيق :ثم االول السؤال

ص من 104الثانيالمقرر الكتاب

تعريف

مستوى على معلومة لنقطة العمودي المسقطالعمودية المستقيمة القطعة موقع هو معلوم

المستوى ذلك على النقطة من المرسومة

س

ا

ب

على ا مسقطس المستوى

ب هي

معلوم مستوى على مستقيمة قطعة مسقط

س

ا

ب

س

با

س

ا

بس

المستقيمة: ≥ مالحظة القطعة طول القطعة مسقط طول

تعريف

الزاوية هي مستوى على مستقيم ميل زاويةالمستوى . على ومسقطه المستقيم هذا بين

ا

بهـ

على ب ا مسقطس المستوى

ب جـ هواب ميل زاوية هـ

س المستوى علىجـ

تطبيق :ص 106تدريبالكتاب منس . ثم 1المقرر

109ص

(4نظرية )

عموديا وكان مستوٍ على مائل مستقيم رسم اذاالمائل المستقيم مسقط فان المستوى في مستقيم على

المستقيم هذا على dعموديا يكون المستوى على

بهـ

جـ

د ┴ ابا بجـ اب مسقطب

جـ ┴ د ب ب

د

عكس (4نظرية )

عموديا مسقطه وكان مستوٍ على مائل مستقيم رسم اذاالمائل المستقيم فان المستوى في مستقيم على

المستقيم هذا على dعموديا يكون المستوى على

بهـ

جـ

جـ ┴ ا د ب بجـ اب مسقطبب د ┴ ا ب

د

مثا ل

جـ = ا الموضح الشكل اد , 20في سماد┴ = حيث جـ اب سم 10المستوى

ق ┴ , ) جـ ب ب جـ ( = <د أوجدي. :30ابب ( 1 ا د ( )> ( 2طول ب ا ق

10 سم

30 با

جـ

د

سم 20

البرهان

جـ ┴ 1( ب ا المستوى د اجـ اب المستوى على ب د مسقط ب ا

جـ ┴ ب ب د أن نظرية) ( وبماب ا dجـ ┴اذا ب

ب, ∆ في الزاوية قائم جـ ب اجـ = ½ ا ب لزاوية) ا (30مقابلب = ا ان سم 10أي

ا ∆ في الزاوية قائم ب ا د وكذلكب) ( ا = ) ( 2د ب + ) (2د 2ا

100 + 100 = 200 ب = 2 10د

ا ( ∆ 2 في الزاوية قائم ب ا د ان بماد = = ا سم 10اب

ومتساوي ∆ ا في الزاوية قائم ب ا د ان أيالساقين

د ) > ( = ب ا ق 45اذا

10 سم

30 با

جـ

د

سم 20

تطبيق : 109ص 2س

الكتاب منالمقرر .