الهندسة الفراغية 2017

عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (0)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة


زالزة أ بؼاد )ح ىف املخؼامد الإحداىث امنظام3

) حدازيات مذؼامد امشلك امللابل ميثل مذوازى مس خطيالتـال 1مثـ ىف هظام اإ

(0،0،0أ حد رؤوسو ينطبق ػىل هلطة ال ضل و)

(0 ، 4 ،6) فاإن اإحدازيات امنلطة ب ىه

حدازيات امنلطة جػ ىه (2 ، 0 ،6)واإ

= ضفراإذا اكهت )س،ص،ع( ثلع ىف املس خوى ص ع فاإن س (1)أكمل ـال2مثـ

س س( املس خلامين 2) /

، ع ع /

0ص = اذلى مؼادمخو س عيكوانن املس خوى الإحداىث

خرت الاجابة امطحيحة ـال3مثـ اإ

س خوى س ع يساوى ....... وحدة طول( غن امل 1،2،ػػ3ؼد امنلطة ) ب (1)

3 1ػػ 2 1

( ػىل حمور س يساوى ..... وحدة طول2،3،4طول امؼمود املرسوم من امنلطة )ػػ (2)

2 3 5 4

حدازيات هلطة منخطف كطؼة مس خلمية اإ ( 2، ع 2ص، 2( ، ب) س 1، ع 1، ص 1بفرض أ ن أ ) س

فاإن منخطف أ ب = ) ، ، (

(8، 2، ػػ 5( ، ) 4، 2، 3هلطة منخطف املطؼة املس خلمية امىت طرفاىا ) ػػأ وجداإحدازيات ـال1مثـ

( 6، 0، 1= ) منخطف املطؼة املس خلمية = ) ، ، (

ذا اكهت جػ ـال2مثـ أ وجد اإحدازيات امنلطة ب (4،0، ػػ1) hب حير h هلطة منخطف ( ىه2،2،6) اإ

= 6 ،،= 2 ،،= 2( حير 2، ع 2، ص 2ب ) س

E 12= 2، ع 8= 4+ 4= 2، ص 3= 1ػػ4= 2س

E (12، 8، 3) ( = 2، ع 2، ص 2ب ) س

2س +1س

2

2ص +1ص

2

2ع +1ع

2

5 +3ػػ

2

2ػػ 2

2

4 +8

2

2س +1

2

2ص +4ػػ

2

2ع +0

2


امبؼد بني هلطخني ىف امفراغ ، ب hمنلطخني ( هلطخني ىف امفراغ ، فاإن امب ؼد بني ا2، ع 2، ص 2( ، ب )س1، ع 1، ص 1)س hاإذا اكهت

h = ب ( 1ػػ س 2)س2

( 1ػػ ص 2)ص + 2

( 1ػػ ع 2)ع + 2

(6، 1، 2( ، ب ) 4 ،1 ،9) hأ وجد امبؼد بني امنلطخني ـال1مثـ

h = ب (2 4ػػ)2

(1ػػ 1) + 2

(9ػػ 6) + 2

= 4 +0 +9 =13 وحدة طول

( كامئ امزاوية ، 0، 5، 2( ، جػ ) ػػ2، 1، ػػ 2( ، ب) 1، 4، 4ػػ )hأ زبت أ ن املثور اذلى رؤوسو ـال2مثـ

وأ وجد مساحذو :

h = ب (2 +4)2

(4ػػ 1)ػػ + 2

(1ػػ 2) + 2

= 36 +25 +1 =62 وحدة طول

h = جػ (4+ 2)ػػ2

(4ػػ 5) + 2

(1ػػ 0) + 2

= 4 +1 +1 =6 وحدة طول

(2 + 2)ب = حػ2

(5ػػ 1ػػ) + 2

(0ػػ 2) + 2

= 16 +36 +4 =56 وحدة طول

( h )ب2

= ) ب جػ ( 2

( +h)جػ2 E " h ب جػ كامئ امزاوية ىف جػ

وحدة مربؼة 6 ×56 =2 21× مساحة املثور =

حكون مثور مدساوى امساكني( 3، 5، 3( ، جػ ) ك، 3، 5( ، ب) 7 ،1 ،3)h امنلطأ زبت أ ن ـال3مثـ

لضالعمث أ وجد ) كمي ( ك امىت جتؼل املثور مدساوى ال ، احلليلية دليع كمي ك

h = ب (7 5ػػ)2

(3ػػ 1) + 2

(كػػ 3) + 2

= 4 +4 +9 ك + ك6ػػ2

وحدة طول

hجػ = (7 + 3)2

(5ػػ 1) + 2

(3ػػ 3) + 2

= 16 +16 +0 =32 وحدة طول

(5 +3)= جػ ب2

(5ػػ 3) + 2

(3ػػ ك ) + 2

= 4 +4 +9 ك + ك6ػػ2

وحدة طول

h ب جػ ملك كمي ك = ب،" h ك ك + 6ػػ 17ب جػ مدسوى ال لضالع غندما2

=32

2 6 3= ك كمب E 0= 55ك ــ 6ــ 2ك

1

2


ىف امفراغ مؼادةل امكرة ث ؼرف امكرة بأ هنا مجموػة من هلط امفراغ امىت ثبؼد غن هلطة اثبخة ) مرنز امكرة (

ثلعب ؼدا اثبخًا ) يسمى هطف كطر امكرة( فاإذا اكهت امنلطة ) س ، ص ، ع(

ػىل امكرة امىت مرنزىا امنلطة ) ل ، ك ، ن ( وطول هطف كطرىا هق

)س ػػ ل ( يكون 2

ك ( + )ص ػػ 2

+ ) ع ػػ ن( 2

= هق

مالحظة : املؼادةل امؼامة نوكرة ىه :

س 2

+ ص 2

+ ع 2

= ضفر دن ع + 2ك ص + 2ل س + 2+

ل ،،، هق = ل امكرة مرنزىا ) ػػ ل ، ػػ ك ، ػػ ن (متث 2

+ ك 2

+ ن 2

دػػ

وحدات 7( وطول هطف كطرىا 4، ػػ 5، 3امىت مرنزىا امنلطة ) أ وجد امطورة املياس ية ملؼادةل امكرة ـال1مثـ

( 3) س ػػ مؼادةل امكرة : 2

( 5+ ) ص ػػ 2

( 4+ ) ع + 2

=49

( هنائيًا كطر فهيا 1، 2، 1) ب ( ، 3، ػػ 3 ،4) hأ وجد مؼادةل امكرة اإذا اكن ـال2مثـ

( 1، ػػ 3، 2، ، ( = ) مرنز امكرة )

E " م =h = (3 +2)2

(3ػػ 4) + 2

(1 +3ػػ) + 2

= 25 +1 +4 =30 وحدة طول


( 3+ ) ص ػػ 2

( 1+ ) ع + 2

=30

( 5، 1، ػػ 2( ومتر ابمنلطة ) 1، 6، ػػ 1ا امنلطة ) أ وجد مؼادةل امكرة اإذا اكن مرنزى ـال3مثـ

(1ػػ 2) = هق2

(6+ 1ػػ ) + 2

(1ػػ 5) + 2

= 1 +25 +16 =42 وحدة طول


( 6+ ) ص+ 2

( 1+ ) ع ػػ 2

=42

أ وجد مرنز وطول هطف كطر امكرة : س ـال4مثـ2

+ ص 2

ع+ 2

0ص = 4س + 2ػػ

( 0، 2، ػػ 1مؼامل ص ، ػػ مؼامل ع ( = ) مؼامل س ، ػػ مرنز امكرة ) ػػ

ل هق = 2

+ ك 2

+ ن 2

(1) = دػػ 2

(2+ )ػػ 2

5= 0ػػ 0+

3 +1

2

4 +2

2

1+ 3ػػ

2

1

2

1

2

1

2


س2أ وجد مرنز وطول هطف كطر امكرة : ـال5مثـ2

ص2+ 2

ع2+ 2

0= 5+ 4ص ػػ 6س ػػ 2ػػ

س امطورة امؼامة ( 2)ابملسمة ػىل 2

ص + 2

+ ع 2

0= + 2ص ػػ 3ػػ س ػػ

( 1مرنز امكرة ) ػػ مؼامل س ، ػػ مؼامل ص ، ػػ مؼامل ع ( = ) ، ،

ل هق = 2

+ ك 2

+ ن 2

) ( = دػػ 2

) ( +2

وحدة طول 1 = 1ػػ = 1+

، ومتس مس خوايت الإحدازيات املوجبة ؟ طول وحدات 3 أ وجد مؼادةل امكرة امىت طول هطف كطرىا ـال6مثـ

وحدة طول 3، هق = ( 3، 3، 3مرنز ادلائرة )


( 3+ ) ص ػػ 2

( 3+ ) ع ػػ 2

=9

املخجيات ىف امفراغ مذجو املولضع ىف امفراغ

ىو طول امطؼة املس خلمية املوهجة امىت متثل املخجو مؼيار املخجو

( سh) h║ =║فاإن ( عh، صh، سh= ) hاإذا اكن 2

( +hص )2

( + hع)2

.............= ║ ║h( فاإن 2، 4، 3= ) ػػ hن اإذا اك أكمل ـال1مثـ

║h║ = (3)ػػ2

( +4)2

( +2)2

= 9 +16 +4 =29 وحدة طول

اإذا اكنh واكن ( 1، ك، 2= ) ػػ h║ ║ =3 ........... = وحدات فاإن ك

║h║ = (2)ػػ2

(ك+ ) 2

( +1)2

+ ك 4ابمرتبيع 3= 2

+1 =9 E = ك2

مذجو اموحدة ىو مذجو مؼياره يساوى وحدة امطول

1

2

1

2

1

2

5

2

1

2

3

2

1

2

3

2

5

2


S ( =5 ،0 ،0 ) W ( =0 ،1 ،0 ) U ( =0 ،0 ،1 )

S║ ║ =5=5 ║ W ║ =5=5 ║ U ║= 5=5

امخؼبري غن مذجو بدلةل مذجيات اموحدة ال ساس ية

U عW + h صS + h سh = h ميكن نخابة فاإن ( عh، صh، سh= ) hاإذا اكن

W +U 5ػػ h =2 Sفاإن (1، 5، ػػ 2) = hمفثاًل

مجع وطرح املخجيات ىف امفراغ

( فاإن عب، صب، سب( ، ب = ) عh، صh، سh= ) hاإذا اكن

h = ب + (hسب+ س ،hصب+ ص ،hعب + ع )

h = ػػ ب (hسبػػ س ،hصبػػ ص ،hعب ػػ ع )

ػػ ب h أ وجد ف Uػػ W 3= ب، W +3 U 2ػػ h =Sاإذا اكن ـال 2مثـ

h ( =1 3، 2، ػػ ، ) ( 1، ػػ 3، 0= ) ب

E h ( = 4، 5، ػػ 1( = ) 1+ 3، 3ػػ 2، ػػ 0ػػ 1ػػ ب = )S 5ػػ W +4 U

ىف ػدد حليلى رضب املخجو

( عhك، صhك، سhك= ) hك ح فاإن Jك ( ، عh، صh، سh= ) hاإذا اكن

6Uػػ 4S +3 W، جػ = 2Uػػ W 4= ب، W +5 U 3ػػ h =2Sاإذا اكن ـال 3مثـ

جػ 2ػػ 3 hب + 2h أ وجد الًك من املخجيني

2h ( 2ػػ، 4، 0+ ) ( 5، 3، ػػ 2) 2= + ب

( 8، 2، ػػ 4( = ) 2ػػ 10، 4+ 6، ػػ 0+ 4= )

3 h (6، ػػ 3، 4) 2ػػ ( 5، 3، ػػ 2) 3= جػ 2ػػ

(27، 15، ػػ 14( = )12+ 15، 6 ػػ 9، ػػ 8 +6 = )

جساوى املخجيات ىف امفراغ

( فاإن عب، صب، سب( = ) عh، صh، سhاإذا اكن )

hسب= س ، hصب= ص ، hعب= ع


S +2 W +4Uنجػ = ، Uلػػ W 4= ب، W +5 U ك + h =2Sاإذا اكن ـال 4مثـ

فأ وجد كمي ك ، ل ، ن جػ =ب 2h + 3 واكن

2h +3 ( ل ، ػػ 4، 0) 3+ ( 5، ك، 2) 2= ب

( 4، 2، ن( = ) ل 3 ػػ 10، 12+ ك 2، 0+ 4= )

E = 2= 12ك + 2، 4ن D 4ل = 3ػػ 10، 5ك = ػػ D 2ل = ػػ

حدازيات طرفهياامخؼبري غن كطؼة مس خلمية ىف امفراغ بدل ةل اإذا اكن ، ب ػىل امرتثيب h، ب هلطخني ىف امفراغ مذجو مولضؼهيام hاإ

hب ػػ ب =hفاإن

W 4ػػ S= د ، U= ( ، جػ 2، ػػ 2، 1= ) ب( ، 0، 1، ػػ 2= ) hاإذا اكن ـال 5مثـ

د 5h ║ب جػ ║ ب hفأ وجد

h ب = ب ػػh = (1 ،2 2، ػػ 3، 1( = ) ػػ0، 1، ػػ 2( ػػػ ) 2، ػػ )

( 3 ، 2ػػ، 1= ) ػػ (2، ػػ 2، 1) ( ػػػ 1، 0، 0) =ب جػ ػػ = جػ ب

E ║ ب جػ ║ = (5)ــ2(2+ )ــ

2 ( +3)

2 = 5+4+9 =54

h ــ د= دh ( =1 0، 3، ػػ 1( = ) ػػ0، 1، ػػ 2( ػػػ ) 0، 4، ػػ )

5h ( 0، 15، ػػ 5( = ) ػػ0، 3، ػػ 1) ػػ 5= د

حدازيات امنلطة ب 2، 1، ػػ 4) = ب h( ، 2، ػػ 1 ،1= ) hاإذا اكن ـال 6مثـ ( أ وجد اإ

h ب = ب ػػh E = ب h + بh= (4 2، 1، ػػ)+(0، 0، 5( = )2، ػػ 1، 1)

مذجو اموحدة ىف اجتاه مذجو مؼووم

hه يسمى مذجو اموحدة ىف اجتا hىاملخجو ( فاإن عh، صh، سhاإذا اكن )

= hىويؼطى ابملاػدة

( أ وجد مذجو اموحدة ىف اجتاه لك من2، ػػ 1، 3= ) ب( ، 1، 2، 2= ) ػػ hاإذا اكن ـال 7مثـ

h ، ، بh ب

h

║ h ║


= ، ، = = hى

= = ، ، = ب ى

h ب = ب ػػh = (3 ،1 3، ػػ 1ػػ ، 5( = )1، 2، 2ػػ( ػػػ ) 2، ػػ )

= = ، ، = ب hى

زوااي الاجتاه وجيوب متام الاجتاه املخجو ىف امفراغ مع الاجتاىات ( عh، صh، سh) = hكياسات امزوااي امىت يطنؼيا املخجو ( ع c، صc، سcاإذا اكهت )

ب فإن : على الترتي S ،W ،Uاملوجبة نومحاور

hس =h║ ║ جذا cس ،hص =h║ ║ جذا cص ،hع =h║ ║ جذا cع

(cس ،cص ،c ع) جسمى بزوااي الاجتاه نومخجوh

جذاcجذا ، سcجذا ، صcجسمى جبيوب متام الاجتاه نومخجو عh

جذاcسS + جذاcص W + جذاcع U ة ىف اجتاه املخجومتثل مذجو اموحد h

جذا ويكون2

cجذا+ س2

cجذا+ ص2

c1= ع

( اموحدة ىف اجتاه لك من1، 2، 2= ) ػػ hأ وجد جيوب متام زوااي الاجتاه نومخجو ـال 1مثـ

= = = سcجذا

= = عcجذا ، = = صcجذا وابملثل

Sمع الاجتاه املوجب حملور U 2ػػ h =3 S +Wاملخجو امىت يطنؼيا أ وجد كياس امزاوية ـال 2مثـ

57= سE c = = = سcجذا //

41/

36°

ع مع الاجتاه املوجب حملور S +2W= باملخجو امىت يطنؼيا أ وجد كياس امزاوية ـال 3مثـ

90= عE c= = = ضفر عcجذا °

h

║ h ║ ( 1، 2، 2) ػػ

4+4+1

1

3

2ػػ

3

2

3

ب

║ب ║ ( 2ػػ، 1، 3)

9+1+4

2ػػ

14

3

14

1

14

( 3ػػ، 1ػػ، 5)

22+1+9

hب

║ hب║ 5

35

1ػػ

35

3ػػ

35

hس

║h║

2ػػ

4+4+1 2ػػ

3

hع

║ h ║

1 3

hص

║ h ║

2

3

1

3

2ػػ3

2

3

hس

║ h║

3

9+1+4

3

14

عب

║ب║

ضفر

1+4+0


امرضب املياىس ملخجيني

ذا اكن ، ب مذجيني ىف ح hاإ3

cكياس امزاوية بيهنام

c 180 0حير °

cجذا ║ب ║ ║ h ║= ب • hفاإن

60وكاس امزاوية بيهنام 8= ║ب ║، h║ =6 ║اإذا اكن ـال 1مثـ°

ب • hأ وجد h • ب =║ h║ ║ جذا ║ بc =6 ×8 60جذا

° =24

مس ، 10ب جػ د مربع طول لضوؼو h ـال 2مثـ h جػ • دب د h • ب جػ جػ h • ب hأ وجد

hب • h 10× 10 = جػ2 100= °45جذا

ب جػ • h 100= °0جذا 10× 10= د

جػ • دب h = 10 2 ×10 2 ضفر= °90جذا

خواص امرضب املياىس ملخجيني

(1) h • = ب ب• h خاضية ال بدال

(2) h • = ) ب + جػ (h • + بh • جػ

ب ( حير ك ػدد حليلى •h) ك ب ( = ك ) • hب = •( h) ك (3)

(4) h • h =║ h ║2

ب E h nب = ضفر • h اإذا اكن : (5)

(6) S • S =W • W =U • U =1 ،،،،S • W =W • U =S•U =0

حدا مذؼامدىثامرضب املياىس ملخجيني ىف هظام اإ

( فاإن عب، صب، سب) = ب، ( عh، صh، سh) = hاإذا اكن

h • ب =hسب س + hصب ص + hعب ع

( 3، 4، ػػ 4) ب =( ، 2، ػػ 5 ،1= ) hب حير • hأ وجد ـال 1مثـ h • = 10= 6ػػ 4ػػ 20 = 3( × 2+ )ػػ (4 ػػ) ×1+ 4 × 5 ب

ب

ا

ج

د


S +4 W +2 U 6 ب =، Uػػ W 2ػػ h =3 Sب حير • hأ وجد ـال 2مثـ h • = 8= 2ػػ 8 ػػ 18 = 2( × 1+ )ػػ 4 ×( 2) ػػ + 6 × 3 ب

= cجذا امزاوية بني مذجيني

// ب وىف هفس الاجتاه hفاإن c =1اإذا اكن جذا

اإذا اكن جذاc فاإن 1= ػػh ب وىف غكس الاجتاه //

اإذا اكن جذاc ضفر فاإن =h n ب

U ػػ S +W ب =، 2Uػػ h =5 S +Wحير كياس امزاوية بني املخجينيأ وجد ـال 1مثـ

h • = 8= 2+ 1+ 5( = 1( )ػػ 2+ )ػػ 1× 1+ 1× 5ب

║ h ║║ ب║ =25+5 +4 ×5+5+5 =90

c = =E c = 45جذا //

30 /

32°

( 4، 6، 2) ب =( ، 10، ػػ 7 ،2= ) hحير زاوية بني املخجينيكياس امأ وجد ـال 2مثـ

h • = 14= ػػ 40ػػ 12+ 14= 4( × 10+ )ػػ 6× 2+ 2× 7ب

║ h ║║ ب║ =49 +4 +500 × 4 +36 +56 = 553 ×56

c = =E c =58جذا //

41 /

98°

ىف لك مما يأ ىت بني ما اإذا اكن املخجيان مذوازاين أ م مذؼامدين أ م غري ذكل ـال 3مثـ

h ( =0 ،2 ،2 ، )= ( 4، ـ 0، 3) ب ( = 8، 4ػ ، 8( ، و =) 2ػ، 1، 2ػ ه)

) غري مذؼامدان ( 0 ≠) غري مذوازاين ( ، c = =≠ ± 1جذا

( وىف غكس الاجتاه )مذوازاين 1 = ػ = = = cجذا

h • ب

║h║║ب║

8

90

h • ب

║h║║ب║

54ــ

553 56

h • ب

║h║║ب║

h • ب

║h║║ب║

8ــ 0+ 0

8 25

و • ه

║و║║ه║

56ـ 4ـ 56ـ

9 544

36ـ

3 ×52


مذجو ىف اجتاه مذجو أ خر ) مسلط ( رهبةم

ب hىف اجتاه املخجو ب ويرمز هل ابمرمز hمرهبة املخجو

h ب =║ h ║ جذاc =

ب hىف اجتاه W +5U 3ػػ R =2 Sأ وجد مرهبة املوة ـال 1مثـ

( 3، 2، 1( ، ب = ) ػػ 1 ،4 ،0= ) hحير

h ب = ب ػػh ( 3، 2، ػػ 2( =) ػػ 0، 4، 1( ػػ ) 3، 2، 1= ) ػػ

= = ب h ىف اجتاه Rمرهبة املوة

= =17

زاحة ف Rامشغل املبذول من كوة لإحداث اإ

cجذا ║ف ║ ║ R ║ف = • Rامشغل =

اإذا اكهت املوةR ( ىف هفس اجتاه الإزاحةc=0 )E =ش ║ R ║ ║ ف║

اإذا اكهت املوةR ( ىف غكس اجتاه الإزاحةc=180 )E =ػػش║ R ║ ║ ف║

اإذا اكهت املوةR ( معوديةػىل اجتاه الإزاحةc=90 )E =ضفر ش

مخحريم جس مي من امنلطة R =3 S +7 Uامشغل املبذول من املوة أ وجد ـال 2مثـ

h(1 ،1 ،2 اىل امنلطة )( 5 ، 3 ، 7) ب

h ب = ب ػػh ( =7 ،3 ،5 ( ػػ )2، 1، 1 = ) (3، 2 ، 6 )

39 = 3× 7+ 0 + 6× 3( = 3، 2، 6) •( 7، 0، 3) = ف • R= ش

ومييل ػىل امرأ ىس بزاوية كياسيا خشص يرفع ضندوق بواسطة خيط مير ػىل بكرة موساء : ىف امشلك امللابل ـال 3مثـ

30°

مريثفع امطندوق غن سطح ال رض هيوحن 120هت كوة امشد ىف اخليط . فاإذا اك

فأ وجد امشغل املبذول من كوة امشد ىف اخليط أ مذار ، 3مسافة

R =120 = مرت ، 30هيوحن ، فc =30 °

cجذا ║ف ║ ║ R ║ امشغل املبذول من كوة امشد ىف اخليط =

هيوحن . مرت 3117و7= 30جذا × 30× 120=

h • ب

║ ب ║

R • h ب

║ h ب ║

( 3، 2، ػػ 2)ػػ •( 5، 3، ػ 2)

4 +4 +9

17

17


ملخجيني جتاىهامرضب الا

ذا اكن ، ب مذجيني ىف ح hاإ3

cبيهنام امطغرى كياس امزاوية

حير ى مذجو ى ( cجا ║ب ║ ║ h ║= ) ب × hفاإن

، ب طبلًا ملاػدة اميد اهميىن hى وحدة معودى ػىل مس خو

30وكاس امزاوية بيهنام 10= ║ب ║، h║ =12 ║اإذا اكن ـال 1مثـ°

ب× hأ وجد

h ×= ب ( ║ h║ ║ ا ج ║بc ى ) =30ا ج 10× ) 12°

ى 60= ( ى

ى مذجو وحدة معودى ػىل مس خواه مس ، 12ب جػ د مربع طول لضوؼو h ـال 2مثـ h جػ × دب د h × ب جػ h جػ × ب hأ وجد

hجػ × ب h = (12 ×12 2 45ا ج°

ى 144= ( ى

h 90ا ج 12× 12) = جب ×ب°

ى 144= ( ى

د × جب h = (12 ×12 0جذا°

و ى= (

مؼيار حوص رضب 17و5= ║ب ║، h║ =15 ║مذجيان ىف مس خوى فاإذا اكن ، ب hـال 3مثـ

h × أ وجد كياس امزاوية بيهنام . 246و67= ب

h ×= ب ( ║ h║ ║ ا ج ║بc ى )

c = E c =70جا ى (cا ج 17و5× 15) = 246و67 °

ملخجيني جتاىهخواص امرضب الا

(1) h × = ب ػػ ب× h (2 )h × h = و

(3) h × جػ ( = + ) بh × + بh × خاضية امخوزيع جػ

(4) h × = ما و ب أ و أ حد املخجيني أ و لكهيام يساوى ى // ب hفاإ

(5) S × W =U ،، W ×U =S ،، U ×S = W

S × U ـ = W ،، U ×W ـ = S ،، W × S ـ = U

ب

ا

ج

د

246و67

17و5× 15


حدا جتاىهامرضب الا مذؼامدىثملخجيني ىف هظام اإ

( فاإن عب، صب، سب) = ب، ( عh، صh، سh) = hاإذا اكن

h × ب =

( 4ػػ ، 3، 1) ب =( ، 1، 3، 2ػػ= ) hب حير × hأ وجد ـال 1مثـ

h × = ب = S ( ػػ 3ػػ 12) ػػW (8 1ػػ + )U (3ػػ 6) ػ

9Uـ W 7ـ 55Sـ =

U 5ػػ W 3 ب =، 2Wػػ S= ػػ hاإذا اكن ب × hأ وجد ـال 2مثـ

h × = ب = S (10 ػػ 0 ػػ )W (5 0 ػػ + )U (0ػػ 3) ػ

= 50 S 5ـ W 3ـ U

ى = ىو ، ب hمذجو اموحدة امؼمودى ػىل مس خوى املخجيني

وداًي ػىل املس خوى اذلى وحوى املخجينيمعمذجو وحدة أ وجد ـال 3مثـ

h =2 S 3ػػW + U ، ب = ػػS + 2 W 3ػػ U

h × = ب = S (9 ػػ 2ػػ )W ( + 1+ 6) ػU (4 3ػػ )

= 7 S + 5 W + U

، ب = = hػىل املس خوى مذجو اموحدة امؼمودى

= = S + W +U = ، ( ، )

S W U

h س hص hع

عب صب سب

S W U

5 3 2ـ

4ـ 3 5

S W U

0 2ـ 5ـ

5ـ 3 0

h × ب

║ h ×ب ║

h ×ب

║ h × ب║

7 S + 5 W + U

(7)2

(5+ )ػ 2

( +1)2

7 S + 5 W + U

75

5 75

7 75

5 75

7 75

5 75

5 75

S W U

5 3ـ 2

3ـ 2 5ـ


ثوازى مذجيني

يكوانن مذوازاين اإذا حتلق أ ح( عب، صب، سب) = ب، ( عh، صh، سh) = hاإذا اكن

= و ب × h( 1امرشوط ال ثية )

(2) = =

(3 ) h جتاه[مذوازاين ىف غكس الا 0ك? ،،، وىف هفس الاجتاه مذوازاين 0] ك < = ك ب

ل أ م ىف لك مما يأ ىت بني ما اإذا اكن املخجيان مذوازاين ـال 4مثـ

h ( =3 ،1 ،2 ، ) = ( 4، ـ 2، 5) ب

(8 ، 4، ػ 8) = و ، ( 2، ػ 1، 2= ) ػ ه

h × و ≠ 3( = ػػ 4)ػػ × 2+ 2× 1+ 1× 3= بE h ب غري مذوازاين ،

ه 4( = ػػ 2، ػ 1، 2) ػ 4( = ػػ 8، 4، ػ 8= ) و E مذوازاين غكس الاجتاه ،ه و

أ وجد كمية لك من م ، ك ( 4، ك ، 2) ب =( يوازى املخجو ، م 9، ػػ 3= ) hاإذا اكن ـال 5مثـ

e h // ب E = = E = =

E 6ػػ = = ك E 6 = = م

ىه ) ، ، ( واكن املخجو hواكهت جيوب متام زوااي الاجتاه نومخجو h ║ =6║اإذا اكن ـال 6مثـ

ب× hأ وجد ( 5، 3، 2) ــ ب =

hس =h║ ║ جذا c4× = 6= س ، hص =h║ ║ جذا c4ػػ× = 6 = ص ،

hع =h║ ║ جذا c2× = 6= ع E h = (4 ، 2 ، 4ػػ )

h × = ب = S ( ػػ 6ػػ 20ػػ )W (20 +4 + )U (12 8ػػ )

W +4 U 24 ـ S 26ــ =

S W U

2 4ـ 4

5 3 2ـ

hع

عب

hس

سب

hص

صب

hس

سب

hص

صب

hع

عب

3 2

9ــ ك

م4

9ــ× 23

3 ×4 2

1

3

2

3

2ـ

3

2

3

2ػ

3

1

3


املؼىن اميندىس نورضب الاجتاىه

║h×مساحة مذوازى ال لضالع فيو = ║ بh . ب لضوؼان مذجاوران ،

، ب لضوؼان . hمساحة املثور فيو لضؼف =

اإذا اكن لمنه مذوازى ال لضالعأ حسب مساحة ـال 1مثـ

(3، 5، 2) ن ، ( 5، 4 ، 1) م ، ( 3 ، 1، 2) ل

( 2ػػ ، 3ػػ ، 1) ( = 5، 4، 1( ػػ ) 3، 1، 2) = م ػػ ل= مل

( 2ػػ ، 1 ، 1 ) ( = 5، 4، 1( ػػ ) 3، 5 ، 2) = م ػػ ن= من

U (1 +3 )( + 2+ 2ػ) W( ػػ 6 + 2 ) S = = من×مل

= 8 S (0)ـ W + 4 U

║من×مل║= (لمن ٍ) جا من× مل= ال لضالع مذوازىمساحة

= ( 8 )2

( +0)2

( + 4 )2

= 80 = 98و

(0، 4، 2) و، (3، 4ػ، 4) ه ، (2، ػ 1، 5) د اإذا اكندهو أ حسب مساحة املثور ـال 2مثـ ( 5، 5ػػ ، 1ػػ ) ( = 2ػ ، 1، 5( ػػ ) 3، 4ػ ، 4) = د ػػه = ده

( 2ػػ ، 3 ، 3ػػ ) ( = 2ػ ، 1، 5( ػػ ) 0، 4، 2) = د ػػ و= ود

(15ػػ 3) ػ W (2 +15 + )U( ػػ 15ػػ 10)ػ S = = دو×ده

U 58ـ W 57ـ S 25ــ =

║دو×ده║½= (هدو ٍ) جا دو×ده ½= "مساحة

=½ (25)ػػ2

(17+ )ػػ 2

(18+ )ػػ 2

17و6= 35و18× ½=

S W U

5 5ـ 5ـ

2ـ 3 3ـ

S W U

2ـ 3ـ 5

2ـ 5 5


امرضب امثالىث املياىس

h • جػ × ب=

املؼىن اميندىس نورضب امثالىث املياىس

اوى زالث مذجيات متثل أ حرف غري مذوازية يس ، جػ، ب hجحم مذوازى امسطوح اذلى فيو

جػ × ب • hاملمية املطولة نوملدار

متثل زالث أ حرف مذجاورةىف ىف مابىل د ، ه ، و أ حسب جحم مذوازى امسطوح اذلى فيو ـال 3مثـ

(2ػػ ، 1، 5) =و، ( 4، 1 ، 2) =ه، (3، 1، 1) = د

(5ػػ 2 ) 3( + 20ػػ 4ػػ ) 1ػػ ( 4ػػ 2ػ ػ )1 = = و×ه• د

9ـ 24+ 6 ــ =

وحدات 9 = و × ه • د =جحم مذوازى امسطوح

hS hW hU

Uب Wب Sب

Uج Wج Sج

5 5 3

2 5 4

2ـ 5 5

Documents

الهندسة الفراغية 2017