Φύλλο εργασίας στην Τριγωνομετρία Γ Γυμνασίου

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[1]

1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

Η συνάρτηση Είναι γνωστό ότι κάθε συνάρτηση της

μορφής παριστάνει μια ευθεία.

Πχ σχέσεις όπως η

2y 3x 1,y 2x 5,y x

3 κλπ παριστάνουν

μια ευθεία. Τι σημαίνει αυτό;

Ότι αν πάρουμε όλα τα σημεία με

συντεταγμένες Μ(x,y) θα «πατάνε» σε μια

ευθεία.

Ας πούμε ότι θέλουμε να παραστήσουμε

γραφικά την συνάρτηση y 2x . Τα άπειρα

ζευγαράκια αριθμών (x,y) που ικανοποιούν αυτή

τη σχέση, μ’άλλα λόγια όλα τα σημεία των

οποίων η τεταγμένη (y) είναι διπλάσια της

τετμημένης(x) πατάνε πάνω σε μια ευθεία.

Ας φτιάξουμε ένα πίνακα τιμών για τη

συνάρτηση

x 1 -1 0 3 -2

y 2 -2 0 6 -4

Έχουμε τα σημεία Α(1,2),Β(-1,-2),Ο(0,0),Δ(3,6)

Ενώνοντας αυτά τα σημεία σχηματίζεται μια ευθεία.

Γενικά για να σχεδιάσουμε μια ευθεία αρκεί να βρούμε 2 σημεία της.

Γωνία μιας ευθείας με τον άξονα x’x

Δυο ευθείες είναι παράλληλες όταν σχηματίζουν ίδια γωνία με τον άξονα x’x

Όσο βρισκόμαστε στο πρώτο τεταρτημόριο, το να μελετήσουμε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω δεν διαφέρει από την

τριγωνομετρία που κάναμε στην Β Γυμνασίου.

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[2]

Τι συμβαίνει όμως θέλουμε να μιλήσουμε για τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας όπως η φ

που βλέπουμε στο διπλανό σχήμα;

Αυτό το ερώτημα θα απαντηθεί από τον νέο ορισμό

που θα δώσουμε για τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς παρακάτω

Απόσταση σημείων Η απόσταση ενός σημείο Α(x,y) από την αρχή των αξόνων υπολογίζεται ως εξής: Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΟΗ

2 2 2 επομένως 2 2 2x y άρα

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[3]

2. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

Στο πρώτο τεταρτημόριο

Όσο βρισκόμαστε πρώτο τεταρτημόριο ,δηλαδή όσο οι γωνίες μας είναι οξείες , τα πράγματα είναι απλά και …γνωστά

Έστω σημείο Α (3,4) Στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται ενώνοντας τα σημεία Α και Ο και φέρνοντας κάθετη ΑΘ στον άξονα x’x ορίζουμε

Εφαρμογή 2. 1 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω

ΛΥΣΗ

ΑΘ = 4 ( είναι ίση με την τεταγμένη του Α) ΟΘ = 3 (είναι ίση με την τετμημένη του Α) Για την ΟΑ εφαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΟΘ

2 2 2OA A οπότε 2 2 24 3 επομένως 2 23 4 5

4

5

3

4

3

4

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[4]

Νέοι ορισμοί Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και ένα σημείο Μ(x,y). Αν ρ = απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων, τότε ορίζουμε για την γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Ο και Μ με τον άξονα x’x :

Παράδειγμα

Έχουμε κατ’αρχάς ΟΒ= 5 από τον τύπο 2 2x y

Οπότε

y 3

5

x 3

5

y 3

x 4

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[5]

Εφαρμογή2.2 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να πάρετε τα σημεία Α(6,8), Β(-6,8),Γ(0,8) και να υπολογίσετε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών xO ,xOB,xO

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[6]

Εφαρμογή 2.3 α)Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών των παρακάτω γωνιών :50ο ,120ο ,65ο ,89ο ,91ο β) Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων

0100 40 150

33 144

173

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[7]

Εφαρμογή 2.4

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε μια γωνία 0ο και να υπολογίσετε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[8]

Εφαρμογή 2.4

α) Να αποδείξετε τη σχέση

β)Να συμπληρώσετε τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών των παρακάτω γωνιών

γ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

30 3 60 180

3 1 2 560 180 45 90

2 5 4 6

ω 0ο 30ο 45ο 60ο 90ο 180ο

ημω

συνω

εφω

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[9]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να εξετάσετε αν είναι σωστές ή λανθασμένες οι παρακάτω προτάσεις

i. Το ημίτονο μιας αμβλείας γωνίας είναι θετικό ii. Αν τα συνημίτονα όλων των γωνιών ενός τριγώνου είναι θετικά, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο iii. Οι εφαπτομένες ενός αμβλυγωνίου τριγώνου είναι όλες αρνητικές iv. Αν Μ(-3,5) τότε η εφαπτομένη της γωνίας ΜΟχ είναι αρνητική

v. Ισχύει 0 90

Άσκηση 2

Στο παρακάτω σχήμα 7 2 και α = 45ο . Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α. Να υπολογίσετε τη γωνία ΟΑΓ.

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[10]

Άσκηση 3

Στο διπλανό σχήμα 3

2

Αν η τεταγμένη του σημείου Μ είναι 6 να υπολογιστεί Α) η τετμημένη του Μ Β)το ημω και το συνω

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[11]

Άσκηση 4 Έστω η ευθεία . α) Να σχεδιάσετε την ευθεία και να προσδιορίσετε την τετμημένη του σημείου

Μ που έχει τεταγμένη 8 β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίαςx

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[12]

Άσκηση 6 Έστω ΓΔΒ το ορθογώνιο τρίγωνο που βλέπουμε στο διπλανό σχήμα με ΓΔ=ΒΓ=5cm. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία ω και διέρχεται από το σημείο (2,1). Να βρείτε σε ποια σημεία η ε τέμνει τους άξονες

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[13]

Άσκηση 7 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΔΒΟ είναι ισοσκελές και η γωνία ΔΒΟ είναι 120ο . Αν οι η τετμημένη του Δ είναι -4 α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του Β. β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 150ο

Προτεινόμενες Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 2 σελ 235, 3 σελ 235,4 σελ 236,5 σελ 236, 6 σελ 236

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[14]

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[15]

3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Έστω ένα σημείο Β(8,6) και Β’ (-8,6) το συμμετρικό του ως προς τον y’y . Οι αποστάσεις ΒΟ και Β’Ο είναι ίσες με 10. (με ένα πυθαγόρειο στα τριγωνάκια που σχηματίζονται θα πειστείτε) Η γωνία ΒΟx είναι ίση με την Β’Οx’, λόγω της συμμετρίας. Για την γωνία Β’Οx ( που στο σχήμα έχει μέτρο φ) ξέρουμε ότι φ+ω=180ο δηλαδή η φ είναι παραπληρωματική της ω. Εφαρμογή 3.1 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών φ και ω. Τι παρατηρείτε;

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[16]

Εφαρμογή 3.2

Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των

γωνιών ω και φ

ΓΕΝΙΚΑ: Η παραπληρωματική μιας γωνίας ω έχει ίδιο ημίτονο , αντίθετο συνημίτονο και αντίθετη

εφαπτομένη

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[17]

Εφαρμογή 3.4

Για ποιες τιμές του φ ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις ;

56

2

4 3

1

1

2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1 α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων

30 (180 30 )

53 180 53

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 20 50 160 130

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[18]

Άσκηση 2 Αν Α, Β, Γ είναι οι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ με Α=50ο και Β=60ο να αποδειχτεί ότι α) ( )

β)) ( )

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[19]

Άσκηση 3 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών α)120ο β)135ο γ)150ο Άσκηση 4 Να αποδείξετε ότι

α) 27 88 153 92 0

β) 118 62 135 0

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[20]

Άσκηση 5 Με την βοήθεια τριγωνομετρικών πινάκων να υπολογιστούν ημ137ο συν 135ο εφ 114ο ημ 101ο συν 128ο εφ 165ο Άσκηση 6 Να λυθούν οι εξισώσεις

2

3

2

1

2

2 2 0

2 1 0

3 2 3

(2 2)( 1) 0

2 1 0

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[21]

Άσκηση 7 Μια ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από ένα σημείο Α που έχει τετμημένη -2.

Αν x και 8 τότε,

α)να υπολογίσετε την τεταγμένη του Α και να βρείτε την εξίσωση της ε. β)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε1 που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από το σημείο (1,-3) γ) Να διαπιστώσετε ότι αν ε μια ευθεία και ω η γωνία που σχηματίζει η ε με τον x’x, τότε εφω=α, όπου α η κλίση της ε.

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[22]

Άσκηση 8 Αν Α, Β , Γ ,Δ είναι γωνίες ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ,να δείξετε ότι α) ημ Α= ημΒ = ημΓ = ημΔ β) συνΑ + συνΒ + συνΓ +συνΔ =0 Άσκηση 9 Έστω ένας κύκλος (Ο,ρ) και τέσσερα τυχαία σημεία του Α,Β,Γ,Δ Να αποδείξετε ότι για τις γωνίες Α,Β,Γ,Δ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ ισχύουν α) ημΑ = ημΓ β) γ)

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[23]

Άσκηση 10/ 9 σελ. 239 σχ.βιβλίο

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[24]

Προτεινόμενες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 5 σελ 239, 7 σελ 239, 8 σελ 239

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[25]

4. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Οι σχέσεις που θα αποδείξουμε μας χρησιμεύουν στο να βρίσκουμε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μια γωνίας, γνωρίζοντας μόνο τον έναν. Σχέση μεταξύ συνημιτόνου και ημιτόνου Θα αποδείξουμε ότι ισχύει Απόδειξη

y άρα

2 22

2

y y

και

x άρα

2 22

2

x x

Έχουμε λοιπόν

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2

y x y x1

Την παραπάνω ταυτότητα την γράφουμε συνήθως πιο απλά 2 2 1

Προσοχή: δεν ισχύει 2 2

Σχέση μεταξύ εφαπτομένης ,ημιτόνου και συνημιτόνου

Έχουμε ήδη αποδείξει ότι

, αλλά… ας το ξανααποδείξουμε.

Απόδειξη

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[26]

Σχέση εφαπτομένης και συνημιτόνου

2

2

11

Απόδειξη

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1

Αν για μια οξεία γωνία ισχύει 6

10 να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της ω.

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[27]

Άσκηση 2

Αν για μια αμβλεία γωνία ισχύει 12

13 να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της ω.

Άσκηση 3 Αν για μια οξεία γωνία ισχύει εφω=2, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της ω.

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[28]

Άσκηση 4

Αν για μια αμβλεία γωνία ισχύει 5

12 να υπολογίσετε το ημίτονο και το συνημίτονο της

Άσκηση 5 α)Αν για μια γωνία ισχύει 6 8 0 να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της

β) ομοίως αν για μια γωνία ισχύει 7 24 0

γ)ομοίως αν 3 4 0

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[29]

Άσκηση 5 /10 σχ β Να αποδείξετε ότι

α)2

1 x1 x

β)

1

1

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[30]

Άσκηση 6 Να αποδειχτούν οι ταυτότητες

α)2 2

1 11

β) 1

1

γ)2 2 2 2

1 1 1

δ) 4 4 2 21 2

ε) 4 4 2 2

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[31]

http://haplhmethodostwntriwn.blogspot.gr/

[32]

Άσκηση 7

Να αποδείξετε ότι 5 4 3 5

15 3 4 5