Вневписанные окружности

ВНЕВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ

ГЕОМЕТРИЯ

Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами

вневписанных окружностей

Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557

Руководитель работы:

Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н.

Содержание1. Условие задачи2. Алгоритм решения задачи

3. Определение вневписанной окружности

4. Свойства элементов треугольника ивневписанных к нему окружностей

4.3. Длина радиуса вневписанной окружности

4.1. Свойство вершин треугольника

4.2. Длина отрезков, составляющих сторону треугольника разделенную точкой касания окружности

5. Решение задачи

6. Проверка решения

7. Заключение

Дан треугольник ABC со сторонами a, b, c и вневписанные к нему окружности с центрами O1, O2, O3 (рисунок 1).Выразить стороны треугольника O1O2O3 через a, b, c и найти его площадь.

1. Условие задачи

Рис. 1. Вневписанные окружности к треугольнику ABC и треугольник

O1O2O3.

Вернуться к содержанию

Рис. 2. Вневписанные окружности к треугольнику

2. Определение вневписанной окружности

Вернуться к содержанию

Вневписанная окружность –- окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон. Таких окружностей в треугольнике три.На рисунке 2 изображен треугольник ABC c тремя вневписанными к нему окружностями с центрами O1, O2

и O3.

Точки K1, E1, D1; K2, E2, D2; K3, E3, D3-

– точки касания соответствующих окружностей со сторонами и продолжениями сторон треугольника ABC.

3. Алгоритм решения задачи

2). Стороны O1O2O3 вычисляем как

суммы отрезков: О1В и О2В; О2С и О3С; О3А и О1А (Предварительно доказав, что вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружностей ).

3). Отрезки О1В, О2В, … найдем по теореме Пифагора, зная радиусы окружностей и длины отрезков, образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности (например, r1, AK1 и K1B).

4). Радиусы окружностей и отрезки прямых (AK1,K1B, …) вычислим через

длины сторон: а; b; c. Вычисления длин радиусов и отрезков оформим как отдельные самостоятельные модули

Рис. 2. Рисунок к алгоритму решения

1). Площадь O1O2O3 находим через его стороны.

Вернуться к содержанию

4. Свойства элементов треугольника и вневписанных к нему окружностей 4.1. Свойство вершин треугольника

Для доказательства теоремы используем метод “от противного”, т.е. выскажем суждение: “Вершины треугольника НЕ лежат на прямых, соединяющих центры” и проверим это суждение на истинность. Суждение подразумевает, что все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, образуют между собой, внутри пары, углы НЕ равные 1800

Рис. 3. Угол между отрезками, соединяющими вершину B с

центрами окружностей O1 и O2

Все вершины треугольника лежат на прямых, соединяющих центры вневписанных к нему окружностей.

1) Выделим фрагмент рисунка 1 и обозначим угол ABC равным a (рисунок 4):2) проведем касательные к O1 и О2. Соединим центры окружностей с их точками

касания отрезками O1K1, O1D1 и O2K2, O2D2 .3) O1K1B= O1D1B=O2K2B= O2D2B=900; O1D1 = O1K1 = r1 ; O2D2 = O2K2 = r2

где: r1 – радиус окружности O1; r2 – радиус окружности O2.

(свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания)4) Соединим вершину B, с центрами O1 и O2 отрезками BO1 и BO2

В результате построений мы получили искомый угол O1BO2.

5) Вычислим значение угла. O1BO2 =a + O1BD1+ O2 BD2; (1)

K1BD1=1800-a.

O1BK1 = O1BD1 (признак равенства

прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе), следовательно: ÐO1BD1= O1BK1= ( K1BD1 ) / 2= 900 - a/2. (3)

Аналогично вычисляем O2BD2=900 - a / 2. (4)

Подставляя значения (3), (4) в (1), получим: O1BO2 = 1800

Рис.4. Построения к доказательству теоремы

4.1. Свойство вершин треугольника (продолжение)

Аналогичные рассуждения и вычисления справедливы для остальных углов между парами отрезков, соединяющих вершины треугольника (рисунок 1) с центрами окружностей, т.е. O1BO2=1800;

O2CO3=1800;

O3AO1=1800.

Или:все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, образуют между собой, внутри пары, углы равные 1800.Проверка высказанного суждения на истинностьВычисление значений углов между отрезками, соединяющими вершины треугольника с центрами вневписанных в него окружностей, показало, что они равны 1800.Этот факт противоречит основе высказанного нами суждения, следовательно, само высказанное нами суждение: “Вершины треугольника не лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей”, является ложным.Использованный метод доказательства “от противного”, позволяет нам утверждать, что:

Вершины треугольника лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей,

что и требовалось доказать.

4.1. Свойство вершин треугольника (продолжение)

Вернуться

4.2. Длины отрезков , образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности

Вернуться

1) Выделим фрагмент рисунка 1 (Условие задачи), проведем касательные к окружности O1. Соединим O1 с точками касания отрезками O1Е, O1К и O1D.

2) O1ЕА= O1КА= O1DB=900; O1Е = O1K = O1D = r1 .

где: r1 – радиус окружности O1.

(свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания)3) O1ЕС= O1DC; O1ЕА= O1КА; O1КВ= O1DВ (признак равенства

прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе),4) ЕА=АК и DВ=ВК, тогда:

cBKAK

aBKbAK

5) Решаем систему уравнений:

Рисунок 5.

Длина отрезка между вершиной треугольника и точкой касания вписанной к стороне окружности равна разности между половиной суммы сторон, образующих эту вершину и половиной длины противоположной стороны треугольника

4.3. Длина радиуса вневписанной окружности

Вернуться

1) Выделим фрагмент рисунка 1 и проведем касательные к окружности O1.

2) Соединим центр окружности с точками касания отрезками O1Е, O1К и O1D.3) O1ЕА= O1КА= O1DB=900; O1Е=O1K=O1D=r1 ,

где: r1 – радиус окружности O1.

(свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания)4) Соединим вершину С треугольника ABC с центром O1 отрезком СO1

5) O1ЕС= O1DC; O1ЕА= O1КА; O1КВ= O1DВ (признак равенства

прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе). 6) Уравнение площадей треугольников:

;))()(( cpbpappSABC

;2 11crS BAO

где p=(a+b+c)/2

7) Подставляя (2), (3) и (4) в (1), решаем относительно r1:

Аналогично вычисляем r2, r3,:

Рисунок 6

,2

)22

()(2 111111prr

cbab

bcarbAKrECrS CEO

(1)

(2)

(3)

(4)

5. Решение задачи. Нахождение сторон O1О2О3 1) Соединим центр вневписанной к стороне АВ треугольника АВС окружности О1

с вершинами А и В. Проведем радиус r1 к точке касания (К) окружности со стороной АВ.

Получили отрезки О1А и О1В, являющиеся гипотенузами прямоугольных

треугольников O1AК и O1КB.2) Теорема Пифагора для O1AК и O1КB:

)1(; 221

21

221

21 BKrBOAKrAO

;22

;22

acbBK

bcaAK Где:

.)(

))((1 cp

bpappr

(из Формулы 2)

3) Решим (1), относительно отрезков O1A и O1B:

;)()(

1 cpbpbc

AO

)()(

1 cpapac

BO

Аналогично вычисляем длины остальных отрезков (О2В, О2С, О3С и О3А):

;)()(

;)()(

22 apbpab

COap

cpacBO

)()(

;)(

)(33 bp

cpbcAO

bpapab

CO

;

(из Формулы 1)

5. Решение задачи. Нахождение сторон и полупериметра

Находим стороны треугольника O1O2O3, предварительно доказав,

что все вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружгностей:

Находим полупериметр (P) треугольника O1O2O3:

2313221 OOOOOO

P

Подставляя в формулу полупериметра O1O2O3, значения сторон, получаем:

Рисунок 8.

;2

)()(

)()(

3232 bcaacbabc

bpapab

apbpab

COCOOO

.2

)()(

)()(

3131 cbabcabca

bpcpbc

cpbpbc

AOAOOO

;2

)()(

)()(

2121 cbaacbacb

apcpac

cpapac

BOBOOO

5. Решение задачи. Нахождение площадиO1О2О3 . Вариант 1. Найдем площадь O1O2O3 через его стороны и полупериметр (Р)

))()(( 313221321OOPOOPOOPPS OOO

.222

321

cbabca

bcaP

bcaacbabc

Pcbaacb

acbPPS OOO

Подставляя значения сторон O1O2O3, получим:

Рисунок 9.

Результаты решения задачиСтороны O1O2O3, выраженные через стороны а, в, с АВС:

Площадь O1O2O3:

Где : .acbbcacba

cbaabcbcaacbacbbcaP

;2

32 bcaacbabc

OO

.2

31 cbabcabca

OO

;2

21 cbaacbacb

OO

.222

321

cbabca

bcaP

bcaacbabc

Pcbaacb

acbPPS OOO

5. Решение задачи. Нахождение площади O1О2О3. Вариант 2.

Рисунок 10.

Вернуться к содержанию

Площадь O1O2O3 состоит из четырех частей (рис. 10): площади треугольника

АВС, и примыкающих к нему трех треугольников 321321SSSSS ABCOOO

B

CA

b

acO1 r1

O2

r2

O3

r3

o

O

r

R

Площадь треугольника АВС вычислим по формуле:,22; prSprS ABCABC

Где р- полупериметр треугольника АВС ; r – радиус вписанной окружности.Площадь (S1) треугольника AO1B:

.)(

)())((2;21

111

1111111

prprSprcp

Scppr

rcpprrcppcrScrS

Аналогичные выражения получим для S2 и S3

Сложим полученные равенства:

.)()(2 321321 prrrrpSSSS

)(2 321321rrrrpS OOO

Используя теорему Штейнера, r1+r2+r3 - r = 4R, получаем:.2,42

321321RpSRpS OOOOOO

))()((4 cpbpappabc

R

Воспользуемся формулой вычисления радиуса описанной окружности (R) через стороны треугольника:

.2

2:321 c)b)(pa)(p(p

abcpRpSТогда OOO

Или:

6. Проверка решенияСравним результаты вычисления сторон и площади треугольника по полученным формулам с фактическими, измеренными с точностью до ±1 мм, значениями.•Построим треугольник с длиной сторон: a=27 мм; b=41 мм; c=31 мм.•Построим вневписанные окружности, соединим центры отрезками O1O2, O2O3, O1O3 и измерим их:O1O2=59 мм; O2O3,=74 мм; O1O3 =76 мм.•Проведем высоту (H ) O1O2O3 к основанию O1O2, измерим ее: H=69,2 мм.За фактические значения полупериметров O1O2O3 и ABC (P и p, соответственно) примем сумму измеренных значений их сторон деленную на 2;

);(5,492/)314127(2

ммcba

p ).(5,1042/)767459(2/)( 313221 ммOOOOOOP

.

За фактическое значение площади O1O2O3 примем )(5,20352

59692

221 ммOOH

SФакт

где: H – высота треугольника O1O2O3 к основанию O1O2.

Фактические (измеренные) и вычисленные результаты представлены в таблице:

ПараметрФактическое значение округленное до целых

значенийВычисленное значение

округленное до целых значенийРазница, в процентах

от фактического значения,

Сторона O1O2 (мм) 59 58 1.69%

Сторона O2O3, (мм) 74 75 1.35%

Сторона O1O3 (мм) 76 77 1.32%Площадь (мм2) 2035 2030 0.24%

321 OOO

Разница в результатах проверки несущественна (объясняется недостаточной точностью построения треугольников и вневписанных окружностей, измерений сторон треугольников и их высот с использованием линейки и циркуля, а также ошибками округления). Вернуться к содержанию

7. Заключение

Вернуться к содержанию

1) В результате выполнения работы получены формулы вычисления длин сторон и площади треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей в треугольник с заданными длинами сторон.

2) При оформлении результатов работы некоторые последовательности действий и доказательств оформлены как отдельные разделы, или как готовые решения, имеющие самостоятельные значения:•Теорема свойства вершин;•Вычисление радиусов окружностей;•Вычисления длин отрезков, составляющих сторону треугольника.

3) Для проверки правильности полученных формул проведено сравнение результатов вычислений по полученным формулам с фактическими данными, полученными в результате измерений.

4) Проверка формул проводилась с помощью разработанной программы на Microsofr Exel, с ее помощью можно найти стороны и площадь треугольника, радиусы вневписанных окружностей, вводя любые заданные длины сторон (а, b, c) порождающего треугольника.

Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами

вневписанных окружностей

Благодарим за внимание!

Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557

Руководитель работы:

Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н.