ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН ЪГЪЛ

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН

ЪГЪЛЪГЪЛ

Определения. Свойства. Определения. Свойства. Основни тригонометрични Основни тригонометрични

тъждестватъждества

Функциите синус и косинусФункциите синус и косинус

Определения:Определения:

ОО11 Функция, която Функция, която

съпоставя на всеки обобщен ъгъл съпоставя на всеки обобщен ъгъл ординатата на точката, в която второто ординатата на точката, в която второто му рамо пресича тригонометричната му рамо пресича тригонометричната окръжност, се нарича окръжност, се нарича синуссинус..

ОО22 Функция, която съпоставя на Функция, която съпоставя на

всеки обобщен ъгъл абсцисата на всеки обобщен ъгъл абсцисата на точката, в която второто му рамо точката, в която второто му рамо пресича тригонометричната окръжност, пресича тригонометричната окръжност, се нарича се нарича косинус.косинус.

На чертежа:На чертежа:

Pysin Pxcos

От определенията следва изводът От определенията следва изводът за знака на стойностите на функциите за знака на стойностите на функциите синус и косинус в зависимост от това, в синус и косинус в зависимост от това, в кой квадрант на координатната система кой квадрант на координатната система е второто рамо на ъгъла:е второто рамо на ъгъла:

І квадрант: І квадрант: sin sin αα > 0;> 0; cos cos αα > 0> 0

ІІ квадрант: ІІ квадрант: sin sin αα > 0; > 0; cos cos αα < 0< 0

III III квадрантквадрант: : sin sin αα << 0; 0; cos cos αα < 0< 0

IIV V квадрантквадрант: : sin sin αα << 0; 0; cos cos αα >> 00

O x

y

P

Px

Py

sin

cos

O x

yP

Px

Py

sin

cos

O x

y

P

Px

Py

sin

cos

O x

y

P

Px

Py

sin

cos

Свойства на функциите синус Свойства на функциите синус и косинуси косинус

ПериодичностПериодичност

Тъй като т. Р е пресечна точка на Тъй като т. Р е пресечна точка на второто рамо не само на ъгъл второто рамо не само на ъгъл αα, но и на ъглите: , но и на ъглите: αα + 360 + 360°°, , αα +2.360 +2.360°°, …, , …, αα + к.360 + к.360°°, то нейните , то нейните координати са стойности на функциите синус и координати са стойности на функциите синус и косинус за безброй ъгли, чиято мярка е косинус за безброй ъгли, чиято мярка е

αα + к.360 + к.360°°..

sinsinαα = = sin(sin(αα+360°) = sin(+360°) = sin(αα+2.360°) = … = +2.360°) = … = sin(sin(αα+k.360°)+k.360°)

coscosαα = = cos(cos(αα+360°) = cos(+360°) = cos(αα+2.360°) = … = +2.360°) = … = cos(cos(αα+k.360°)+k.360°)

к = к = ±± 1; 1; ±± 2; 2; ±± 3 … 3 …

Извод:Извод: Функциите синус и косинус повтарят Функциите синус и косинус повтарят стойностите си през интервал от 360стойностите си през интервал от 360°°. Те са . Те са периодични периодични функции с период функции с период Т = 360Т = 360°°..

Четност и нечетностЧетност и нечетност

Определение 1: Определение 1: Ако за две противоположни Ако за две противоположни стойности на аргумента, принадлежащи на стойности на аргумента, принадлежащи на дефиниционното множество, една функция приема дефиниционното множество, една функция приема противоположни съответни стойности, т.е. противоположни съответни стойности, т.е. f(-x) = - f(x)f(-x) = - f(x), , тя се нарича тя се нарича нечетнанечетна..

Пример: Пример: f(x)= axf(x)= ax3 3 ;; f(-x) = a(-x)f(-x) = a(-x)33 = a.(-1)= a.(-1)33.x.x33 = -ax = -ax33 = - f(x) = - f(x)

Определение 2: Определение 2: Ако за две противоположни Ако за две противоположни стойности на аргумента, принадлежащи на стойности на аргумента, принадлежащи на дефиниционното множество, една функция приема дефиниционното множество, една функция приема равни съответни стойности, т.е. равни съответни стойности, т.е. ff(-x) = f(x)(-x) = f(x), , тя се тя се нарича нарича четначетна..

Пример: Пример: f(x) = axf(x) = ax44;; f(-x) = a(-x)f(-x) = a(-x)44 = a.(-1) = a.(-1)44.x.x44 =ax=ax44 = f(x) = f(x)

Извод:Извод: Функцията косинус е Функцията косинус е четначетна..

Извод:Извод: Функцията синус е Функцията синус е нечетна нечетна ..

sinsinsin

sin

xx

xP

xP

PPPP

PPy

PPy

coscoscos

cos

xx

xP

xP

POOP

POx

OPx

Изменение на функциите синус и Изменение на функциите синус и косинус в интервала косинус в интервала [ 0[ 0°; 360° ]°; 360° ]

max max (sin(sinαα) = 1) = 1 min min (sin(sinαα) = -1 ) = -1

max max (cos(cosαα) = 1) = 1 min min (cos(cosαα) = -1) = -1

Пример:Пример: Определете максималната и минималната Определете максималната и минималната стойност на изразите:стойност на изразите:

2 + sin2 + sinαα; ; 4 – cos4 – cosαα;; 2 sin2 sinαα – 3; – 3; -3 cos-3 cosαα + 1. + 1.

α 0° 90° 180° 270° 360°

sin α 0 1 0 -1 0

cos α 1 0 -1 0 1

ЗАДАЧИ:ЗАДАЧИ:Задача 1. Задача 1. Определете какви са по знак стойностите на:Определете какви са по знак стойностите на:

а) а) sin 290sin 290°; sin 395°; sin 820°; sin 560°; sin 1380°.°; sin 395°; sin 820°; sin 560°; sin 1380°.

б) б) cos 347°; cos 460°; cos 930°; cos 640°; cos 1020°.cos 347°; cos 460°; cos 930°; cos 640°; cos 1020°.Упътване: Упътване: Използвайте свойството Използвайте свойството периодичностпериодичност на функциите синус и косинус и определяне знаците на стойностите на функциите синус и косинус и определяне знаците на стойностите

им в зависимост от квадранта, в който е второто рамо на ъгъла. им в зависимост от квадранта, в който е второто рамо на ъгъла. Примери:Примери:

395395°° = 35° + 360°= 35° + 360°

sin 395° = sin(35° + 360°) = sin 35° sin 395° = sin(35° + 360°) = sin 35° > 0 ( I> 0 ( I кв. кв. ) )

930930° = ° = 21210° +0° +2.2. 360° 360°

coscos 93 930° = cos(0° = cos(21210° +0° + 2. 2. 360°) = cos 360°) = cos 21210° 0° < 0 < 0 ( ( III III кв. )кв. )

Задача Задача 22. . Пресметнете:Пресметнете:а) а) sin 390°; sin 780°; sin 510°.sin 390°; sin 780°; sin 510°. б) б) cos 405°; cos 780cos 405°; cos 780°; cos 480°.°; cos 480°.

в) в) sin (-120°); sin (-90°).sin (-120°); sin (-90°). г) г) cos (-60°); cos (-150°).cos (-60°); cos (-150°).

д) д) sin (-750°); sin (-750°); sin (-450°); cos (-540°); cos (-1110°). sin (-450°); cos (-540°); cos (-1110°).Упътване: Упътване: Използвайте свойствата периодичност, четност, нечетност.Използвайте свойствата периодичност, четност, нечетност.

Примери:Примери: sin 390°= sin (30°+360°) = sin 30° = ½sin 390°= sin (30°+360°) = sin 30° = ½

cos 405° = cos (45°+360°) = cos 45° = √2/2cos 405° = cos (45°+360°) = cos 45° = √2/2

sin (-120°) = - sin 120° = -√3/2sin (-120°) = - sin 120° = -√3/2

cos (-60°) = cos 60° = ½cos (-60°) = cos 60° = ½

sin (-750°) = - sin 750° = - sin (30°+2.360°) = - sin 30° = - ½sin (-750°) = - sin 750° = - sin (30°+2.360°) = - sin 30° = - ½

Функциите тангенс и котангенсФункциите тангенс и котангенс

Определение 1:Определение 1: Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл αα ≠ 90 ≠ 90°° + + к.к.180180°° числото числото

, се нарича , се нарича тангенс тангенс и се означава и се означава tg tg αα..

, , αα ≠ 90° + k.180° ≠ 90° + k.180°,, защото защото

cos(90°+k.180°) = 0cos(90°+k.180°) = 0Определение 2:Определение 2:Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл αα ≠ ≠ к.к.180180°° числото числото

, се нарича , се нарича котангенс котангенс и се означава и се означава cotg cotg αα..

, , αα ≠ k.180° ≠ k.180°, защото , защото sin k.180sin k.180° = ° = 00

k = 0, ±1, ±2 …k = 0, ±1, ±2 …

cos

sin

sin

cos

cos

sintg

sin

coscot g

Представяне на стойностите на Представяне на стойностите на функциите тангенс и котангенс с помощта на функциите тангенс и котангенс с помощта на тангенсовата и котангенсовата остангенсовата и котангенсовата ос

За произволен обобщен ъгъл За произволен обобщен ъгъл αα ( ( αα ≠ 90 ≠ 90°° + + кк.180.180°°) тангенсът на ъгъл ) тангенсът на ъгъл αα е е равен на ординатата равен на ординатата yyTT на пресечната точка на правата, определена от на пресечната точка на правата, определена от

второто рамо на ъгъл второто рамо на ъгъл αα и оста и оста A A tt→→ . Оста . Оста A A tt→→ се нарича се нарича тангенсова тангенсова

осос. .

В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъла, е знакът на стойността на ъгъла, е знакът на стойността на tg tg αα::

І квадрант: І квадрант: tg tg αα >> 00

ІІ квадрант: ІІ квадрант: tg tg αα << 00

ІІІ квадрант: ІІІ квадрант: tg tg αα >> 00

ІV квадрант:ІV квадрант: tg tg αα << 00

O x

y

P

P

P T

A

t

tg

Ox

y

P

P

P

T

A

t

tg

O x

y

P

P

P

T

A

t

tg

Ox

y

P

P

P

T

A

t

tg

За произволен обобщен ъгъл За произволен обобщен ъгъл αα ( ( αα ≠ ≠ кк.180.180°°) котангенсът на ъгъл ) котангенсът на ъгъл αα е равен на абсцисата е равен на абсцисата xxcc на пресечната точка на правата, определена на пресечната точка на правата, определена от второто рамо на ъгълот второто рамо на ъгъл αα и оста и оста B B cc→→ . Оста . Оста B B cc→→ се нарича се нарича котангенсова оскотангенсова ос..

В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъла, е знакът на стойностите на функцията котангенс:ъгъла, е знакът на стойностите на функцията котангенс:

І квадрант:І квадрант: cotg cotg αα >> 00

ІІ квадрант:ІІ квадрант: cotg cotg αα < < 00

ІІІ квадрант:ІІІ квадрант: cotg cotg αα >> 00

ІV квадрант:ІV квадрант: cotg cotg αα < < 00

O x

y

P

P

P

CB ccotg

O x

y

P

P

P

C B ccotg

O x

y

P

P

P

CBc cotg

Ox

y

P

P

P

C B ccotg

Периодичност на функциите Периодичност на функциите тангенс и котангенстангенс и котангенс

Нека Нека tg tg αα = y = yTT ии cotg cotg αα = x = x cc

Ако ъгъл Ако ъгъл ββ = = αα + 180° + 180° , то второто му рамо е лъч , то второто му рамо е лъч OP OP''→→, противоположен , противоположен на лъча на лъча OPOP→→ , т.е. двата лъча лежат на една права , т.е. двата лъча лежат на една права p (фиг. 17)p (фиг. 17). Оттук . Оттук следва, че:следва, че:

tg tg αα = tg ( = tg ( αα ± k.180° ) ± k.180° ) и и cotg cotg αα = cotg ( = cotg ( αα ± k.180° ) ± k.180° ) , ,където където kk е произволно цяло число. е произволно цяло число.

Оттук е ясно, че стойностите на Оттук е ясно, че стойностите на tg tg αα и и cotg cotg αα се повтарят за всички ъгли, се повтарят за всички ъгли, които се различават с кратно на 180°.които се различават с кратно на 180°.

Извод:Извод: Функциите тангенс и Функциите тангенс и котангенс са котангенс са периодичнипериодични функции функции с период 180с период 180°°

Нечетност на функциите Нечетност на функциите тангенс и котангенстангенс и котангенс

(1)(1)

(2)(2)

Извод:Извод: От (1) и (2) следва, че функциите тангенс и котангенс са От (1) и (2) следва, че функциите тангенс и котангенс са нечетнинечетни функции. функции.

tgtg

cos

sin

cos

sin

cos

sin

tgtg

gg cot

sin

cos

sin

cos

sin

coscot

gg cotcot

Изменение на функциите тангенс и Изменение на функциите тангенс и котангенскотангенс

α -90° -45° 0° 45° 90°

tgα -1 0 1

α 0° 45° 90° 135° 180°

cotgα 1 0 -1

Основни тъждества на един и същ Основни тъждества на един и същ ъгълъгъл

k k ≠ 0, ±1, ±2 …≠ 0, ±1, ±2 …

1cossin 22

;cos

sin

tg 180.90 k

;sin

coscot

g 180.k

;1cot. gtg 90.k

Стойности на тригонометричните функции Стойности на тригонометричните функции на някои често използвани ъглина някои често използвани ъгли

Задачи:Задачи:Задача 1.Задача 1. Намерете стойностите на Намерете стойностите на tgtgαα и и cotgcotgαα, ако, ако::

αα = 210°; = 210°; αα = 315°; = 315°; αα = 420°; = 420°; αα = 570°; = 570°; αα = - 240°; = - 240°; αα = - 585°. = - 585°.Упътване:Упътване: Използвайте свойствата периодичност и нечетност на функциите тангенс и Използвайте свойствата периодичност и нечетност на функциите тангенс и

котангенс.котангенс.

Пример:Пример: tg 210° = tg (30° + 180°) = tg 30° = √3/3tg 210° = tg (30° + 180°) = tg 30° = √3/3

cotg(-585°) = -cotg 585° = -cotg(45°cotg(-585°) = -cotg 585° = -cotg(45°+ 3. 180+ 3. 180°°) = -) = -cotg 45° = -1cotg 45° = -1

Задача 2. Задача 2. Пресметнете:Пресметнете:

sin 150° + cos 780° + tg 1125°;sin 150° + cos 780° + tg 1125°;

sin 420° - cos 870° + tg 960°;sin 420° - cos 870° + tg 960°;

sinsin22 489° + cos 489° + cos22489° - 3.tg 190°. cotg 190°.489° - 3.tg 190°. cotg 190°.

Задача 3. Задача 3. Ако Ако αα єє (270 (270°°; 360; 360°°) и ) и coscosαα = 0,8, = 0,8, намерете намерете sinsinαα; tg; tgαα и и cotgcotgαα..

Задача 4. Задача 4. Ако Ако αα єє (180 (180°°; 270; 270°°) и ) и tgtgαα = 2, намерете = 2, намерете sinsinαα; cos; cosαα и и cotgcotgαα..

Задача 5.Задача 5. Опростете изразите: Опростете изразите:

Задача 6.Задача 6. Докажете тъждествата: Докажете тъждествата:

;cos.sin2cossin 2

;sin

sin12

2

;cossin2.cot gtg

.

cos

cos1.cos12

;sin.1 222 tgtg ;cossincossin 2244

;coscot.cos1 222 g .0180cos

90cos

tg

Още по темата може да прочетете и Още по темата може да прочетете и на следния Интернет адрес:на следния Интернет адрес:

httphttp://www1.://www1.znamznam..bgbg//zmonreszmonres//eduedu//matematikamatematika%2011%20klas_%2011%20klas_AnubisAnubis/MAT6//MAT6/pagepage_05._05.htmhtm