Алгебра логики

Алгебра логики.

ЛогикаЛогика – это наука о формах и

способах мышления. Основные формы мышления – понятие, высказывание,умозаключение.

Алгебра логикиАлгебра логики появилась в середине

XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Он начал решать логические задачи алгебраическими методами.

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Логические высказывания Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Логические высказывания Истинным будет высказывание, в

котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.

Ложным будет высказывание, если оно противоречит реальной действительности.

Например:«3х3 = 9» - истинное высказывание. «Борак Обама– студент КБК 6» - ложное.

Логические высказывания Не всякое предложение является

логическим высказыванием. -Пример: 6- четное число следует считать высказыванием, т.к. оно истинное

-Пример: Рим – столица Франции

Тоже высказывание, только ложное.

Логические высказывания -Пример: Заходите завтра не является логическим высказыванием

Приведите примеры истинных, ложных логических высказываний и примеры, не являющиеся логическими высказываниями

Простые и составные высказывания

Логические высказывания делятся на простые (элементарные) и составные.

Составные высказывания получаются из простых с помощью логических связок «и», «или», «не», «если, то», «тогда и только тогда» и др.

Простые и составные высказывания

Пример: «Петров - врач» , «Петров - шахматист».

При помощи связки «и» получаем составное высказывание «Петров – врач и шахматист»

При помощи связки «не» получаем составное высказывание «Петров – не врач»

Логические переменныеВ алгебре логики суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

Логические переменныеПример: А=«Петров - врач» В= «Петров - пожарный». Тогда С= А или В С=«Петров – врач или пожарный» D= А и не В D=«Петров – врач и не пожарный»

Логические переменныеЛогические переменные могут принимать только два значения 1 и 0.

Если высказывание, определяющее логическую переменную – истинно, то переменная равна 1, если ложно, то 0.

Логические переменныеА = «Два умножить на два равно четырем».

В = «Два умножить на два равно пяти».

В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0).

Логические операцииВ алгебре логики над высказываниями можно производить определенные логические операции и записывать логические формулы, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Операция конъюнкцииЛогическая связка ИОбозначение &, ^, •F = A ^ B В языках программирования and;Название: Логическое умножение.Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда истинны и А и В.

Операция конъюнкцииТаблица истинности для операции логического умножения

A B F=A^B0 0 00 1 01 0 01 1 1

Операция дизъюнкцииЛогическая связка ИЛИОбозначение vF = A v B В языках программирования or;Название: Логическое сложение.Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда ложны и А и В.

Операция дизъюнкцииТаблица истинности для операции логического сложения

A B F=AvB0 0 00 1 11 0 11 1 1

Операция инверсииЛогическая связка НЕОбозначениеF = AНазвание: Логическое отрицание.Значение функции F ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.

Операция инверсииТаблица истинности для операции логического отрицания

A F=A0 11 0

Операция импликацииЛогическая связка ЕСЛИ, ТООбозначение F = A B Название: Логическое следование.Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, а В - ложно.

Операция импликацииТаблица истинности для операции логического следования

A B F=AB0 0 10 1 11 0 01 1 1

Операция эквивалентностьЛогическая связка ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДАОбозначение F = A B Название: Логическое тождество.Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда ложны А и В оба истинны или А и В оба ложны.

Операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТИТаблица истинности

A B F=AB0 0 10 1 01 0 01 1 1

Таблица истинностиРешать логические формулы удобно при помощи таблицы истинности.Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Таблица истинностиАлгоритм построения таблицы истинности

1. Количество строк в таблице = 2N, где N – количество переменных.

2. Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций.

Таблица истинностиАлгоритм построения таблицы

истинности3. Установить последовательность выполнения логических операций.

4.Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

5. Заполнить таблицу 1 и 0.

Порядок выполнения логических операций

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками.

Но для уменьшения числа скобок договорились о приоритетах.

1.отрицание2.умножение3.сложение4.следование

Пример

X Y Y F=X ^ Y

0 0 1 00 1 0 01 0 1 11 1 0 0

построить таблицу истинности для выражения F=X ^ Y

Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^

x x v yy

Пример построить таблицу истинности для выражения F=

yx z

^

^ ^z

Пример построить таблицу истинности для выражения CBAF

A B С0 0 0 0 1 1 10 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 10 1 1 1 0 0 01 0 0 1 0 1 11 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 1 11 1 1 1 0 0 0

AvB BA C CBA

Пример построить таблицу истинности для выражения F=

yx z

^

^ ^z

Самостоятельно построить таблицы истинности для выражений

CBAF

BAF

CDAF

DAF

A B неА неВ 3*4 не5

0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1

A D Не А 2+3 Не 4

0 0 1 1 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 1 0 1 0

A B C Не B 4*3 Не 5 1*6

0 0 0 1 0 1 00 0 1 1 1 0 00 1 0 0 0 1 00 1 1 0 0 1 01 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 0 01 1 0 0 0 1 11 1 1 0 0 1 1

A D C Не A

Не D 4+5 Не 6 7+3

0 0 0 1 1 1 0 00 0 1 1 1 1 0 10 1 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 0 11 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 1 11 1 1 0 0 0 1 1