алгебра логики

Алгебра логики

Урок № 1 Логика как наука.

Формы человеческого мышления

Урок № 2 Логические операции.

Построение таблиц истинности

Урок № 3Логические законы. Упрощение сложных

высказываний

Хорошо думать — значит победить

беспорядочность потока мыслей.

Густав Гийом

Объяснение материала

Об истории логики

Область применения алгебры логики

Основные понятия логики








Логические операции

Сложные высказывания

Построение таблиц истинности сложных высказываний








Законы логики

Упрощение сложных высказываний







Об истории логикиТермин логика происходит от

древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика - это наука правильно рассуждать, наука о формах и законах

человеческого мышления. Задача логики - описать и исследовать

те способы рассуждений, которые являются правильными.

Основоположник формальной логики

Аристотель

(384 - 322 гг. до н.э.)

Рене Декарт

(1596 - 1650)

Рекомендовал в логике использовать общепринятые математические методы.

Предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления. Так зародилась математическая, или символическая, логика.

Готфрид Вильгельм

Лейбниц (1646 - 1716 )

Основоположник алгебры логики (булевой алгебры)

Джордж Буль(1815 - 1864)

Большой вклад в становление и развитие математической логики внесли многие выдающиеся математики и логики XVI - XX веков, в том числе

М. В. Ломоносов И. Кант

Г. Фреге

А. Тьюринг Д. Гильберт К. Гедель

А. Н. КолмогоровП. С. Новиков А. А. Марков

Область применения алгебры логики

Алгебра логики сегодня -

раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Мыслить логично - значит мыслить точно и последовательно, не допуская противоречий в своих рассуждениях,

уметь вскрывать логические ошибки.

Постижение науки логики дает возможность:

узнать законы, правила и приемы мышления;

анализировать правильность рассуждений;

оценивать истинность полученных заключений.

в вычислительной технике; в логических построениях в математике;

в повседневных рассуждениях.

Практическое применение булевой алгебры


Компьютер – многофункциональное

техническое электронное автоматическое устройство для

накопления, обработки и передачи информации.

Понятие – форма мышления, в которой отражается

существенные признаки предметов

СОДЕРЖАНИЕ ОБЪЕМ

Совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в

мире персональных компьютеров

Виды понятийO Несравнимые

O Сравнимые

O Совместимые

O Несовместимые

– далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков.

– остальные.

– объемы понятий совпадают полностью или частично.

– объемы понятий не совпадают ни по одному элементу.

ФизкультминуткаУпражнение первое:

сжимать и разжимать кулаки. Повторить 4- 5 раз.

Упражнение второе: вращать кистями рук в одну и другую

сторону. Повторить 4-5 раз.

Упражнение третье: перевести взгляд быстро по диагонали:

направо вверх - налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1-6; затем налево вверх - направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.


Суждение (высказывание, утверждение) - повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Суждение (высказывание, утверждение) -форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

Не являются суждениями:

O Предложения, о которых нельзя сказать, истинны они или ложны.

O Вопросительные и восклицательные предложения.

O Предикаты (выражения о переменных) , в которых значения переменных не определены.

Эта книга - информатика.

Метеорологический прогноз.

Как мелодичны вы, песни, Украины!

Верно ли, что сегодня теплая погода?

5 +X =12 X + Z < 1 Число Y кратно 3

Виды суждений

O Частные

O Общие

O Простые

O Сложные

O Равносильные (эквивалентные)

– выражают конкретные факты.

– характеризуют свойства групп объектов (явлений).

– не содержат в себе других высказываний.

– образованы из нескольких простых с помощью определенных способов соединения.

– одновременно истинные или одновременно ложные.


Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений (посылок) по определенным правилам вывода получают суждение-заключение.

Вопросы и задания 1Какие из перечисленных ниже предложений являются суждениями?

• Некоторые люди имеют голубые глаза.

• Вы были в театре?

• Мойте руки перед едой.

• Если будет дождь, то мы поедем за грибами.

• Завтра я сдам экзамен, либо останусь на второй год.

• Существую такие люди, которые не любят животных.

• Завтра я пойду на каток.

• Если я поеду туда, то смогу ли вернуться?

• IF X>1 THEN Y=0

СУЖДЕНИЕ

НЕ

СУЖДЕНИЕ

Вопросы и задания 2Укажите для нижеприведенных высказываний, сложные они или простые:

• Если две прямые параллельны, то они пересекаются.

• Идет дождь.

• На следующем уроке будет либо контрольная работа, либо свободный урок.

• Завтра или сегодня брат приедет к нам в гости.

• Треугольники с равными сторонами не равнобедренны.

• Завтра премьера в нашем театре.

• Это число не простое.

• Сегодня, завтра и каждый день я буду учиться.

• 7 + x x + c + 0,1 a

• Число 4 больше числа 2.

СЛОЖНЫЕ

ПРОСТЫЕ

Вопросы и задания 3

O "сижу и смотрю";

O "сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам";

O "верно ли, что π=3,1415926...?";

O "44>88";

O "математическое доказательство";

O "Z + 5 = 45".

Какие из перечисленных ниже предложений являются суждениями и каково значение их истинности:

ИСТИНА

ЛОЖЬ

Вопросы и задания 4

O (X + Y) (X - Y) = X2 - Y2;

O "Любой ромб является параллелограммом";

O "А3= А2, если А=1";

O Если |А| = |В|, то А = В;

O "Квадрат любого числа делится на 4";

O "Меркурий - спутник Марса";

O "Джордано Бруно - ученик Галилео Галилея";

O "Не существует целого числа, куб которого оканчивается цифрой 2 ".

Укажите, какие из суждений являются частными, а какие общими:

ЧАСТНЫЕ

ОБЩИЕ

ФизкульминуткаУпражнение первое:

резко зажмурить глаза на 2-3 секунды: и широко открыть на 2-3 секунды, повторить упражнение 10 раз.

Упражнение второе: часто-часто моргать глазами, повторить 10 раз.

Упражнение третье:поднять глаза вверх, при этом голова остается в одном положении, задержать взгляд на 2-3 секунды, затем опустить глаза вниз и задержать взгляд на 2-3 секунды повторить упражнение 10 раз .

Логические операции

– способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Логическое отрицание -ИНВЕРСИЯОбразуется из высказывания с помощью добавления частицы «НЕ» к сказуемому или использования оборота речи «НЕВЕРНО, ЧТО...»

Обозначение: Ā, ¬А, не А, not А

Таблица истинности:

Примеры инверсии:

А= «Неверно, что у меня есть приставка Dendy»

В= «Я не знаю китайского языка»

Инверсия высказывания истинная, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

А Ā

0 1

1 0

Логическое умножение-КОНЪЮНКЦИЯОбразуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И» (а также «А», «НО» )

Обозначение: А и В, А^В, А & В, А*В, А and B, А B


Примеры конъюнкции:

А= «Сегодня солнечный день и мы пойдем гулять»

В= «Богдан был победителем, а Степан занял второе место»

Конъюнкция двух высказываний истинная тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

А В А*В

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 1

Логическое сложение -ДИЗЪЮНКЦИЯ

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» (нестрогая), «ЛИБО» (строгая)

Обозначение: А или В, АV В, А | В, А+В, А or B, А B;

AB, A xor B


Примеры дизъюнкции:

А= «Снег пойдет ночью или утром»В= «Он приедет сегодня либо

завтра»

Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

А В А+В

0 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 1

Логическое следование -ИМПЛИКАЦИЯОбразуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ …, ТО ...»

Обозначение: А В, А В


Примеры импликации:

А= «Если число делится на 9, то оно делится на 3»

В= «Если на улице дождь, то асфальт мокрый»

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

А В АВ

0 0 1

1 0 0

0 1 1

1 1 1

Логическое равенство -ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ...»

Обозначение: А В, А В, А=В, АВ, А~В


Примеры эквивалентности:

А= «Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится нацело на 3»

В= «Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90°»

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

А В АВ

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 1

Свойства логических операций

Инверсия истинна высказывание ложно

Дизъюнкция ложна

Конъюнкция истиннаоба высказывания

ложны

истинны

Дизъюнкция истинна

Конъюнкция ложна

хотя бы одно высказывание

истинно

ложно

Импликация ложнаиз истинного высказывания следует ложное высказывание

Эквивалентностьистинна

оба высказывания ложны или оба высказывания истинны

тогда

и

только

тогда,

когда

Перевод логических операций на естественный

языкO ИнверсияO Конъюнкция

O Дизъюнкция

O Импликация

O Эквивалентность

O не А; неверно, что АO и А, и В; как А, так и В; А вместе

с В; А несмотря на В; А, в то время как В; А и В

O А или В; А либо В; либо А, либо В; строго А или В

O если А, то В; В, если А; В необходимо для А; А достаточно для В; А только тогда, когда В; В тогда, когда А; все А есть В

O А эквивалентно В; А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В

Приоритет логических операций

OинверсияOконъюнкцияOдизъюнкцияOимпликацияO эквивалентность Операции одного приоритета

выполняются слева направо. Для изменения порядка действий

используются скобки.

Пример 1

Дана формула: А V В С & D Ā

Порядок вычисления:

• Ā

• C&D

• АV В

• А V В С & D

• А V В С & D Ā

— инверсия

— конъюнкция

— дизъюнкция

— импликация

— эквивалентность

123 4 5

Пример 2

Дана формула: А V (В С) & D Ā

Порядок вычисления:

• Ā

• (В C)

• (В С) & D • А V (В С) & D

• А V (В С) & D Ā

— инверсия

— импликация в скобках

— конъюнкция

— дизъюнкция

— эквивалентность

12 34 5

Сложные высказывания

Сложное высказывание Составляющие простыевысказывания

Форма сложноговысказывания

Е = «Идет дождь, а уменя нет зонта»

А = «Идет дождь»;В = «У меня есть зонт» Е =А & В

Е = «Когда живется весело,то работа спорится»

А = «Живется весело»;В = «Работа спорится» Е = А В

Е = «Идет налево – песньзаводит, направо – сказкуговорит»

А = «Идет налево»;В = «Идет направо»;С = «Песнь заводит»;D = «Сказку говорит»

Е = (А С) V (В D)

Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным.Примеры сложных высказываний:

Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания

Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1).

Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается константой 0).

Например, Компьютер включен, и компьютер выключен.

Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называется равносильными, тождественными, эквивалентными.

Например, Демократ - человек, исповедующий демократические убеждения.

Задача № 1

Укажите значения истинности простых высказываний, при которых суждение

«Если у меня будет свободное время, и я сдам экзамены, то я поеду отдыхать»

ложно.

Задача № 1

Решение

В = «У меня будет свободное время»

Е = «Я сдам экзамены»

А = «Я поеду отдыхать»

B & Ē Ā

Построение таблиц истинности сложных высказываний

Построить таблицу истинности для высказывания

B & Ē ĀАлгоритм построения таблицы истинности сложного высказывания

• вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности (количество строк - 2n +2, количество столбцов равно сумме количества переменных (n) и количества логических операций, входящих в сложное высказывание);

• начертить таблицу и заполнить заголовок в соответствии с приоритетом логических операций;

• заполнить первые 3 столбца с учетом всех возможных комбинаций значений переменных;

• заполнить остальные столбцы таблицы в соответствии с таблицами истинности логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями столбцов, расположенных левее заполняемого.

( на примере n=3):

1 3 4(2) 5(3) 6 (1) * (4) 7 (6) (5)

0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 1

11

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

01

0

1

0

0

01

1

В Е А Ē Ā В & Ē В &Ē Ā2

В & Ē Ā

Законы логики

Закон тождества:

в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

А = А

Закон непротиворечия:

невозможно, чтобы одно и тоже в одно и тоже время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-то одновременно утверждать и отрицать.

А & Ā = 0

Закон исключения третьего:

из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

А + Ā = 1

Закон достаточного основания:

всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.

Закон двойного отрицания:

если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.

А = А

Свойства констант:

отрицание лжи есть истина.

0 = 1

А v 0 = А

А v 1 = 1

отрицание истины

есть ложь.

1 = 0

А & 0 = 0

А & 1 = A

Закон идемпотентности:

А v А = А

А & А = A

Законы коммутативности (сочетательные законы):

операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.

А v В = В v А

А & В = В & А

Законы ассоциативности (распределительные законы):

если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

А v (В v C) = (А v В) v C

А & (В & C) = (А & В) & C

Законы дистрибутивности:

А v (В & C) = (А v В) & (А v C)

А & (В v C) = (А & В) v (А & C)

Законы поглощения:

А & (В v B) = А или

А & (А v В) = А или

(А v B) & B = А & B

А v В & B = А или

А v (А & В) = А или

(А & B) v B = А v B

Законы де Моргана:

отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний. Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний.

А v В = А & В или А v B = А & B

А & В = А v В или

А & B = А v B

Правило замены операции импликации:

А В = А v В

Правило замены операции эквивалентности:

А В = В АА В = (А v В) & (А v B)

А В = (А & В) v (А & B)

А В = (А В) & (B A)

Доказательство логических законов

O построить таблицу истинности для правой и левой частей равенства;

O выполнить эквивалентные преобразования над правой и левой частями равенства для приведения их к одному виду;

O с помощью диаграмм Эйлера - Венна;O путем правильных логических

рассуждений.

Упрощение сложных высказываний

X = X & 1

X = X v 0

1 = А v A

0 = Z & Z

B = B v B = B v B v B v B

C = C & C = C & C & C & C

E = E

- по свойствам констант;

- по закону исключения третьего;

- по закону исключения третьего;

- по законам идемпотентности;

- по закону двойного отрицания.

Задача № 2 «Уроки логики»

На вопрос, кто из трех школьников изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но не верно, что если изучал третий, то изучал и второй. Кто из учащихся изучал логику?


Решение:

Р1 = «Первый школьник изучал логику»Р2 = «Второй школьник изучал логику»Р3 = «Третий школьник изучал логику»


(Р1 → Р2) & (Р3 → Р2) =

= (P1 v P2) & (P3 v P2) =

= (P1 v P2) & (P3 & P2) =

= (P1 & P3 & P2) v (P2 & P3 & P2) =

= 0

= (P1 & P3 & P2)

Пример 3

Требуется упростить: А & B v A & B

По закону дистрибутивности вынесем А за скобки:

А & B v A & B = А & (B v B) = А & 1 = A

Пример 4

Требуется упростить: (А v B) & (A v B)

Способ 1. Применим закон дистрибутивности:

(А v B) & (A v B) = А v (B & B) = А v 0 = A

Способ 2. Перемножим скобки на основании того же закона дистрибутивности:

(А v B) & (A v B) = А & А v А & B v B & А v B & B = А v А & (B v B) v 0 = А v A & 1 = А v А = A

Пример 5

Требуется упростить: X v X & Y

Представим Х как Х & 1, а 1 распишем по закону исключения третьего как Y v Y, далее раскроем скобки:

X v X & Y = X & 1 v X & Y = X & (Y v Y) v X & Y= X & Y v v X & Y v X & Y.

Закон имподентности позволяет добавить в выражение любое из имеющихся в нем слагаемых. Добавим к полученному выражению X & Y и сгруппируем слагаемые:

X & Y v X & Y v X & Y = X & Y v X & Y v X & Y v X & Y = = (X & Y v X & Y) v (X & Y v X & Y) = X & (Y v Y) v Y & & (X v X) = X & 1 v Y & 1 = X v Y.

Пример 6

Требуется упростить: А & C v B & C v А & B

Добавим к последнему слагаемому С. Это делается стандартным способом: умножим А & B на 1, а 1 распишем как С v С:

A & C v B & C v A & B = A & C v B & C v A & B & 1 = A & C v v B & C v А & B & (C v C) = A & C v B & C v A & B & C v A & & B & C = A & C v A & B & C v B & C v A & B & C = = A & C & (1 v B) v B & C & (1 v А) = A & C v B & C

Пример 7

Требуется упростить: X v Y

Применим закон де Моргана:

X v Y = X & Y = X & Y

Пример 8Требуется упростить: X & Y v X & Y v X & Z

В данном случае воспользуемся законом двойного отрицания:

X & Y v X & Y v X & Z = X & Y v X & Y v X & Z =

{раскроем одно отрицание}= (X & Y) & (X & Y) & (X & Z) =

= (X v Y) & (X v Y) & (X v Z) = {перемножим первую и вторую скобки, упростим, а третью скобку оставим без

изменения}= (X & X v X & Y v X & Y v Y & Y) & (X v Z) =

= (X & Y v X & Y) & (X v Z) = {перемножим скобки,

упростим}= X & X & Y v X & Y & Z v X & Y v X & Y & Z =

= X & Y & Z v X & Y = {применим закон де Моргана}= = X & Y & Z & (X v Y) = (X v Y v Z) & (X v Y)

ФизкульминуткаУпражнение 1.

Поднять глаза вверх, при этом голова остается в одном положении, задержать взгляд на 2-3 секунды, затем опустить

глаза вниз и задержать взгляд на 2-3 секунды повторить упражнение 10 раз.

Упражнение 2. Посмотреть вправо (не поворачивая головы), как можно

дальше, задержать взгляд на 2-3 секунды, затем посмотреть влево, как можно дальше (при этом голова остается в том же положении) "и задержать взгляд на 2-3 секунды, повторить

упражнение 10 раз.

Упражнение 3.

Вращать глаза по часовой стрелке -10 раз, затем в обратную сторону - 10 раз.

Documents

алгебра логики