матщматик анализ 6

Лекц№6 Тодорхойгүй интеграл,

тодорхойгүй интегралын үндсэн чанар, тодорхойгүй интегралыг

бодох үндсэн арга

Дифференциалчлах үйлдлийн урвуу үйлдэл уламжлалаар нь функцийг олох улмаар эх функц, тодорхойгүй интегралын тухай ойлголтыг авч үзнэ.

1. Эх функц, тодорхойгүй интеграл

Тодорхойлолт 1.1 Хэрэв F(х) ]a,b[ завсрын цэг дээр дифференциалчлагдах бөгөөд уламжлал F‘(х) нь өгсөн f(х) функцтэй тэнцүү байвал F(х) функцийг f(х) функцийн ]а,b[ завсар дээрх эх функц гэнэ.

]а,b[ дээр f(х)-ийн эх функцүүдийн хоорондын холбоог дараах теорем тогтооно.

Теорем 1.1 Хэрэв ]а,b[ хэрчим дээрх f(х)-ийн эх функцүуд F1(x), F2(x) бол

F2(x)- F1(x)=const байна .

Мөрдлөгөө 1.1 ]а,b[ завсар дээр f(х) функцийн ямар нэг эх функц F(х) бол f(х)-ийн дурын эх функц Ф(х)=F(х)+С хэлбэртэй байна.

Тодорхойлолт 1.2 f(х) функцийн ]а,b[ завсар дээрх бүх эх функцүүдийн олонлогийг f(х) функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэнэ.

Тэмдэглэхдээ:

Энд:

-интегралын тэмдэг

f(х)-интеграл доорх функц

f(x)dx- интеграл доорх илэрхийлэл

гэж тус тус нэрлэнэ.

Мөрдлөгөө ёсоор

f x dx

,f x dx F x C C const

2 Тодорхойгүй интегралын үндсэн чанар

]а, b[ дээрх f(х) функцийн эх функц F(х) байг. Тодорхойгүй интегралын дараах чанарууд хүчинтэй.

1.

2.

3. , f(x) ба (x) интегралчлагдах функцүүд байг. Тэгвэл

4. f(х) - ийн эх функц F(х) бол

d f x dx f x dx d F x F x C

, R

f x x dx f x dx x dx

1f ax b dx F ax b C

a

Тодорхойгүй интегралыг бодох үндсэн арга

Функцийг тодорхой дүрмээр дифференциалчилдагийн адилаар ин-тегралчлах үйлдлийг гүйцэтгэх ерөнхий дүрмийг томъёолох боломжгүй. Гэхдээ интегралчлах үйлдлийг хялбарчлахын тулд орлуулга хийх буюу хувьсагч солих, хэсэгчлэн интегралчлах зэрэг аргыг хэрэглэнэ.

4.1 Тодорхойгүй интегралд хувьсагч солих арга

Интегралчлах шинэ хувьсагч оруулан өгсөн интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэх аргыг орлуулах буюу хувьсагч солих арга гэнэ. Энэ арга нь дараах томъёонуудад үндэслэнэ. f(t) - тасралтгүй функц , t =(х) тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд утгын муж нь f(t) функцийн тодорхойлогдох мужид харъяалагддаг байг. Тэгвэл

(1) томъёо хүчинтэй.

'f x x dx f t dt C

(1) томъёог тодорхойгүй интегралд орлуулга хийх томъёо гэнэ. (1) томъёонд х-ийг t-ээр, t-г x-ээр соливол тодорхойгүй интегралд хувьсагч солих дараах томъёо гардаг.

(2)

Иймд f(x)dx интегралыг бодохдоо х=(t), dx='(t)dt орлуулга хийж f((t))’(t)dt интегралыг бодож, гарсан үр дүнд анхны хувь-сагч х-рүү t=-1(х) томъёогоор шилжинэ.

'f x dx f t t dt C

Хэсэгчилэн интегралчлах арга

u(х),v(х) ямар нэг завсарт тасралтгүй дифференциалчлагдах функцүүд байвал

буюу товчоор бичвэл

томъёо хүчинтэй байна. (3),(4)-ийг хэсэгчлэн интегралчлах томёо гэж нэрлэдэг.

' 'u x v x dx u x v x v x u x dx

udv uv vdu

Рациональ илэрхийллийг интегралчлах.

Тодорхойлолт 5.1

алгебрын хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар тодорхойлогдох

функцийг рациональ функц буюу эсвэл рациональ илэрхийлэл гэнэ.

20 1 2

20 1 2

... , 0

... , 0

mm m m

nn n n

P x b b x b x b x b

Q x a a x a x a x a

0, 1m n

m

n

P xf x

Q x

Дараах хэлбэрийн рациональ функцийг хялбар бутархай гэнэ. Үүнд:

I II

III IV

Энд A,M,N,a,p,q тогтмолууд, к бүхэл эерэг тоо байна.

Хэрэв m n байвал f(x) бүхэл хэсгийг ялгавал

A

x a k

A

x a

2

Mx N

x px q

2 k

Mx N

x px q

1

1

1 1m

n

P xf x олон гишуунт m n

Q x

Теорем 5.1 Ямарч зөв рациональ бутархайг хялбар бутархайн нийлбэрээр нэг утгатайгаар илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, (1) зөв рациональ бутархайн хуваарь,

үржигдэхүүн болж задарч байвал (1) бутархай

1

1

1

2 21 1

...

...

r

s

n n r

v v

s s

Q x a x c x c

x p x q x p x q

1

1 1

1 1

1 1

1,1,1 1,21

11 1

,,1 ,21

1, 1,1,1 1,1 1,2 1,21 22 2

1 11 1 1 1

,1 ,1 ,2 ,2

2 2

...

...

...

r

r r

s

m

n

rr r

rr r

v v

v v

s s s sv v

s s s s

AA AP x

Q x x cx c x c

AA A

x cx c x c

M x NM x N M x N

x p x qx p x q x p x q

M x N M x N

x p x q x p x q

, ,

1 2... 2s s

s

s v s v

s s

M x N

x p x q

I. .

II. .

III. .

ln ;

d x aAdx A A x a C

x a x a

1

1;

1

k

k k

A Adx A x a d x a C

kx a x a

22

2 2

ln2

2 2

4 4

MxN Mdx x px q

x px q

N Mp x parctg C

q p q p

(3) тэнцлийг анхаарч дээрх интегралыг дахин бичвэл

байна. Энэ рекурент томъёогоор

мэдэгдэж байвал I2-ийг, гэх мэтчилэн Ik интегралыг олж болно. Эндээс үзвэл зөв рациональ бутархай, улмаар рациональ функцийн тодорхойгүй интеграл нь рациональ функц, натураль логарифм, арктангенс гэх мэт элементар функциар илэрхийлэгддэг.

2

12 2

2 2 , 1,2,...k k kk

tI k I a k I k

t a

12 2

1k

dt tI arctg C

a at a

нь

функцуудаас рациональ функц болно. Иррациональ илэрхийллийг агуулсан рациональ функцийг иррациональ функц гэж нэрлэдэг. Иррациональ функцийн тодорхойгүй интегралыг тохирох орлуулгаар| рациональ функцийн тодорхойгүй интегралд шилжүүлэх нь түүн бодох үндсэн арга юм. Энэ аргыг иррациональ функцийг рациональчлах арга гэдэг. Иррациональ функцийг рационалчлах дараах тохиолдлыг авч үзье.

2 52 63

32 5

2 1

1 1

x x xf x

x x

2 5 32 6 53 2 , 1 , 1x x x

б) хэлбэрийн интеграл.

Эйлерийн орлуулгууд.

хэлбэрийн интеграл зөвхөн дараах 3 тохиолдолд Эйлерийн орлуулга хэмээн нэрлэгдэх орлуулгаар рационалчладана.Үүнд:

1. Хэрэв а > 0 бол

2. Хэрэв с > 0 бол

3. Хэрэв квадрат 3 гишүүнт ax2+bx+c нь x1, x2 гэсэн бодит язгууртай ө.х: бол

(энд х0 нь х1 ба х2 язгуурын аль нэг). (2) - (4) орлуулгыг Эйлерийн 1,2 ба 3-р орлуулга гэж нэрлэдэг.

2,R x ax bx c dx

2,R x ax bx c dx

2 2ax bx c x a t

2 3ax bx c c xt

21 2ax bx c a x x x x

20 4ax bx c t x x

Эйлерийн (2)-(4) орлуулга (+) ба (-) тэмдгийг дурын байдлаар хослуулж болох боловч энэ нь бодолтонд нөлөөлдөг. (2) орлуулгыг

хэлбэртэйгээр авч өгсөн интеграл хэрхэн рационалчлагдахыг харъя.

эдгээрийг өгсөн интегралд орлуулбал

2ax bx c x a t

22 2 2

2 2

2

22

2 ,

, 22 2

2

ax bx c x a t ax axt t

t c at bt c ax dx dt

at b at b

at bt c aax bx c

at b