第 7 章 特征理论 偏微分方程组

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.1.1 7.1.1 弱间断解与弱间断面弱间断解与弱间断面

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 例子例子 考虑弦振动方程考虑弦振动方程

则 不是古典解，但它是弱间断解。则 不是古典解，但它是弱间断解。

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.1.2 7.1.2 特征方程与特征曲面特征方程与特征曲面 设光滑曲面设光滑曲面 是方程（是方程（ 7.1.1)7.1.1) 的弱间断面。的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 方程特征曲面的例子方程特征曲面的例子

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.2 7.2 方程组的特征理论方程组的特征理论

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.2.1 7.2.1 弱间断解与特征线弱间断解与特征线

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.2.2 7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型狭义双曲型方程组的标准型

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 将狭义双曲型方程化为标准型的方法将狭义双曲型方程化为标准型的方法：： 1.1.

求向量方程 的解。求向量方程 的解。 2. 2.

令， 令，

用用 T T 左乘（左乘（ 7.2.27.2.2 ）式得：）式得：

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3.3.

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.3 7.3 双曲型方程组的双曲型方程组的 Cauchy Cauchy 问题问题

首先指出，并非对一切类型的方程组都可首先指出，并非对一切类型的方程组都可以以 CauchyCauchy 问题，有例子表明，当特征方问题，有例子表明，当特征方程（程（ 7.2.6)7.2.6) 有复根时，方程组（有复根时，方程组（ 7.2.1)7.2.1) 的的CauchyCauchy 问题的解是不稳定的。所以我们仅问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的限于讨论双曲型方程组的 CauchyCauchy 问题。问题。为便于理解和叙述，这里仅讨论两个自变为便于理解和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型方程组的量的对角型方程组的 CauchyCauchy 问题。问题。

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.3.1 7.3.1 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.3.2 7.3.2 解的稳定性解的稳定性

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.4 7.4 定理定理

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第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.4.2 Cauchy 7.4.2 Cauchy 问题的化简问题的化简 首先，把高阶非线性 首先，把高阶非线性 C-K C-K 型组 型组 Cauchy Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶非线问题化为一个与其等价的一阶非线

性 性 C-K C-K 型组的 型组的 Cauchy Cauchy 问题。问题。 其次，我们可以把一个一阶非线性 其次，我们可以把一个一阶非线性 C-K C-K 型组 型组 Cauchy Cauchy 问题化为一个与其等问题化为一个与其等

价的一阶拟线性 价的一阶拟线性 C-K C-K 型组的 型组的 Cauchy Cauchy 问题。方法是将所有对空间变量的微问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。知方程式即得。

CauchyCauchy 问题问题 (7.4.2)(7.4.2) 化为如下的一阶拟线性 化为如下的一阶拟线性 C-K C-K 型方程组的型方程组的 CauchyCauchy 问题问题 ::

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 于是，于是， C-K C-K 定理 定理 7.4.17.4.1 可等价地叙述为可等价地叙述为

C-KC-K 型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。所考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.4.3 7.4.3 强函数强函数

第第 77章 特征理论 偏微分方程组章 特征理论 偏微分方程组 7.4.4 C-K 7.4.4 C-K 定理的证明定理的证明（（ 11 ） 唯一性（幂级数解法）。） 唯一性（幂级数解法）。（（ 22 ） 存在性（强函数方法）。） 存在性（强函数方法）。

附注 附注 1 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。附注 附注 2 2 由证明知，若方程右端及由证明知，若方程右端及 CauchyCauchy 数据是各自变量的解析函数，则在初数据是各自变量的解析函数，则在初

始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些解粘合在一起，就得到 的一个领域中的解析解。解粘合在一起，就得到 的一个领域中的解析解。

附注 附注 3 C-K 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依赖与解析性假设。赖与解析性假设。