冶金过程数值模拟 Numerical Modelling of Metallurgical Processing

上海大学——冶金工程专业本科生课程 吴永全23/4/21 04:32

冶金过程数值模拟冶金过程数值模拟Numerical Modelling of Numerical Modelling of Metallurgical ProcessingMetallurgical Processing

主讲：吴永全主讲：吴永全上海大学，材料科学与工程学院，材料上海大学，材料科学与工程学院，材料

工程系，冶金工程教研室工程系，冶金工程教研室

本科生课程——冶金过程数值模拟

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冶金数值—— 数学描述—— 控制方程

控制方程控制方程 之 之 小结小结

div div grad St

u

积累项 对流项 扩散相 源项

控制方程 Φ Γ S 备注

连续性方程 1 0 0

溶质守恒方程 ci(wi) Di Ri 质量浓度 ( 质量分数 )

运动方程 u μeff ρFb- ▽ p μeff=μ+μt

热量方程 cpT λeff q λeff=λ+λt

湍流动能 κ μeff/Prκ G-ρε Prκ=1.0

湍流动能耗散速度 ε μeff/Prε C1εG/κ-C2ρε/κ Prε=1.3; C1=1.44; C2=1.92

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冶金数值—— 数学描述—— 目录

控制体与坐标系控制体与坐标系11

通量微分通量微分22

控制方程控制方程33

湍流模型湍流模型44

控制体与坐标系控制体与坐标系11

通量微分通量微分22

电磁流体力学电磁流体力学55

相间传输相间传输66

控制方程控制方程33

湍流模型湍流模型44

电磁流体力学电磁流体力学55

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冶金数值—— 数学描述—— 电磁流体力学

对钢铁冶金而言，电磁场的应用由来已久。本质上，冶金过程应用电磁技术主要目的是利用电磁场来控制流体流动或供给电能并将电能转化为热能。电磁场应用领域的不同决定了所选定的电磁场具有不同的性质。目前主要的电磁应用领域（钢铁冶金范畴）及电磁特性列于下表。目的目的 场特性场特性 工艺过程工艺过程

利用磁场

移动交流磁场 ( 几个 Hz~60Hz) 连铸电磁搅拌 ; ASEA-SKF炉 ; 水口流速控制

交流磁场 (60Hz~MHz) 无芯感应炉 ; 电磁铸机 ( 无模铸造 )

直流磁场 电磁制动 ; 液态金属流动变形 ; 薄箔边缘形状控制

利用电场交流电场 电渣重熔 ; 电弧炉

直流电场 电渣重熔 ; 电弧炉

利用磁场和电场耦合

直流－直流 电磁搅拌 ; 电渣炉内搅拌 ; 凝固结构控制

直流－交流 抑制电渣炉中流动 ; 控制气泡生成

交流－交流 凝固结构控制 ; 电渣炉电磁搅拌

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冶金数值—— 数学描述—— 电磁流体力学

麦克斯韦麦克斯韦 (Maxwell)(Maxwell)方程和欧姆方程和欧姆 (Ohm)(Ohm)定律定律麦克斯韦方程： ; ; 0; 0mt E B B J B J

欧姆定律： e J E u B

其中， B—— 磁通密度； E—— 电场强度； J—— 电流密度； u—— 流体速度；μm——磁导率； σe——电导率。驱动流体的电磁力（洛仑兹力）为 e F J B电磁场同样可以起到加热作用，考虑其加热效果时要在能量方程中附加 J2/σe这一热源项，即

运动方程：能量方程：

efft p J B u uu u g

2

effp ec T t u T T J

上两式表明，流场和磁场是相互耦合的。一般认为，电磁场影响速度场，而许多场合速度场几乎对电磁场没有影响，意味着磁雷诺数 Rem=μmσeuL《 1（其中 u、L分别为特征速度和特征长度）。

法拉第定法拉第定律律

安培定安培定律律

高斯定高斯定律律

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冶金数值—— 数学描述—— 电磁流体力学

举例举例 11 ：直流磁场的作用：直流磁场的作用

O

x

y

z

Jz

By

fx

ux如图，在 y 方向施加直流磁场 By ，流体沿 x 方向流动而在 z 方向感应出感生电流 Jz ：

0,0,e e x yu B J u B

磁场继续作用于感生电流在 x 方向上产生洛仑兹力 fx ：2

x z y e x yf J B u B J B两次作用的方向判断都用到右手螺旋定则。利用直流磁场的这种定向作用可以有效地用到冶金过程中的许多地方：比如连铸水口处针对钢铁的电磁制动作用，比如针对钢铁内的夹杂物的加速上浮作用等。对于钢铁内的夹杂物的加速上浮作用，可以看成对钢液施加直流电、磁场从而改变重力加速度（由 g 变为 g’ ）

g g J B

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冶金数值—— 数学描述—— 电磁流体力学

举例举例 22 ：交变磁场的作用：交变磁场的作用对麦克斯韦方程组中的感生电流方程进行变换和变量替代，可以获得所谓感应方程（或称扩散方程）实际上就是关于磁场的控制方程：

2m e m e t B u B B

又因为冶金过程中应用的电磁场的磁雷诺数远小于 1 ，因此上式左侧第二项可以忽略。于是 2

m e t B B

x

yzO

Bx 导电材料

内部外部取 x-y面作为金属界面， z轴指向金属内部。高频磁场在金属界面的 x 方向上振荡，于是， x 方向磁场 Bx 可以表示为

2 2x m xB t B z

其中， ηm 为磁扩散系数， ηm＝ 1/(σeμm)。振荡磁场的表达式 Bx=μmhx(z)ejωt代入上式，可以得到：

2 2x m xj h d h dz

其中， hx 是磁场强度 H在 x 方向分量值； ω 是角频率。

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冶金数值—— 数学描述—— 电磁流体力学

举例举例 22 ：交变磁场的作用：交变磁场的作用进一步取边界条件：

0 , 0

0, x

H zH

z

代入上式最终得到 0 exp 2 exp 2x m m mB H z j z t

x

yzO

Bx 导电材料

内部外部并据此得到电流密度的表达式：

这种振荡磁场在冶金中的应用非常普遍。比如磁场在金属界面处的生热。再比如振荡磁场对流体形状和流体混合效果的控制，高频磁场有利于控制流体形状，低频磁场则有利于液相的混合。

02 1 exp 2 exp 2y m m mJ j H z j z t

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冶金数值—— 数学描述—— 目录

控制体与坐标系控制体与坐标系11

通量微分通量微分22

控制方程控制方程33

湍流模型湍流模型44

控制体与坐标系控制体与坐标系11

通量微分通量微分22

电磁流体力学电磁流体力学55

相间传输相间传输66

控制方程控制方程33

湍流模型湍流模型44

电磁流体力学电磁流体力学55

相间传输相间传输66

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

冶金过程实质就是一个多相反应的复杂过程，其中包括气－固、气－液、液－液、液－固、气－液－固等之间的反应。而多相化学反应是传质、传热和界面反应的综合过程，作为源项的化学反应速率应该考虑传质阻力和界面反应阻力等，热量传输也要采用综合传热系数——有效换热系数来反映。

下面简单介绍气－固相间传输模型气－固相间传输模型和流－流传输模型流－流传输模型。

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 填充床模型

特性参数特性参数 定义公式定义公式固体颗粒特征参数固体颗粒特征参数当量直径 (dp)

形状系数 (ψp)

平均直径 ( ) ， dpi －颗粒直径 ; wi －直径为 dpi 的颗粒的质量分数

散料床散料床 ((层层 )) 特性参数特性参数空隙度 (ε)( 有效通道面积比 α) ， V 散－散料堆体积

比表面积 (s) ，散料体积中料块的表面积与料块本身的体积之比。

气体的空炉速度 (Vg) ， qv －气体的体积流量； A －料层的截面积

气体的实际速度 (ug)

水力学直径 (d 水 )

pd

13

p 6 pd V

p 与颗粒同体积球的表面积 颗粒表面积

p p1iid w d

1V V V V V V V 空 散 散 料 散 料 散

p p6s d

gV q A V

g V V gu q A q A V

23 14 4 6 1p p p pd A d d

水 散

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 填充床内流体与固体的运动

高炉、烧结、石灰窑等都是典型的填充床，其中包括气、固、液、粉等多相。针对填充床内气体运动可以用连续流体的纳维尔－斯托克斯方程求解，但仍有困难，目前更倾向于半理论的厄根（ Ergun ）方程来描述。从流体力学中的直线管流体压降计算式移植到散料层气体运动的动量传输，可以得到：

2g g2

g g 3 3

11 1

8 c

V spf V s f

H

式中， Δp为流体的动压头损失； H为散料高度； f和 fc分别为与雷诺数有关的阻力系数和料层的阻力系数； ρg为气体密度； Vg为空炉速度； s为比表面积； ε

为空隙度。其中阻力系数 fc与散料层中的修正雷诺数 Rec有关，厄根将 Rec定义为

Re

1n g g g g

cg g

R u V

s

式中， μg为气体的动力粘度； Rn为水力学半径， Rn=d 水 /4，即气体流动的横截面积与横截面周长之比。

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 填充床内流体与固体的运动

2g g2

g g 3 3

11 1

8 c

V spf V s f

H

Re

1n g g g g

cg g

R u V

s

通过试验发现c

c

4.20.292, (Re >2)

Re

4.2, (Re <2)

Re

cc

c

f

高炉条件下 Rec 大于 2 ，于是 2 2

g g g g

2 2 3 3p p p p

150 1 1.75 1V V sp

H d d

这就是著名的厄根公式，第一项为摩擦阻力损失，它是由气体的粘滞性引起的，第二项为形状阻力损失，它是由气体的运动动能引起的。前一项适用于层流，后一项适用于湍流，这时迄今为止解析散料层动能传输时应用最广泛的公式。

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 填充床内流体与固体的运动

高炉炉料下降到中下部的软融带，炉料开始软融，厄根公式中的阻力系数开始变化，可以采用范宁公式进行计算：

2g g b 1.4 b

b b b3p p b 0 p

1 where 3.5 44 ; 1 ; 1

2 r r

V sp Lf f s s

H d L

式中， εb为软融带的空隙度； fb为气体在软融带中的阻力系数； sr为软融带的收缩率； L0、 L为收缩前后软融层的高度； ρb为软融层填充密度。从式中可以看到，范宁公式实际上是厄根公式的变形，当 fb=3.5时，范宁公式就是厄根公式的第二项。除了上述散料层和软融层的公式，还有针对焦炭夹层的公式和针对滴落带的相关公式，这里不一一介绍，请参考教科书。固相的运动解析比较困难，一般将固相视为势流体（ potential flow ），其特点就是速度场的旋度为零：

s srot 0 u u

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 填充床内流体与固体的连续方程

针对单位体积控制体内的气相和固相分别进行总质量衡算，得到连续方程分别为

* *div and 1 div 1

gas solid particle

g sg g i i s s i i

i i

R Rt t

u u

式中， ρg、 ρs －分别为气相、固相密度； ε为填充床层空隙度； Ri*为第 i个化

学反应的综合反应速度即单位时间、单位体积内参加反应的量 (mol)，且i ki k

k

n M 式中， nki －第 i 个反应中 k 成分的化学当量数； Mk－ k成分的分子量。

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间的热量传输

以热量衡算方式写出气－固间热量守恒控制方程，气相和固相方程分别为：

式中， cp,s、 cp,g分别为气、固相横压热容； λeff,g、 λeff,s分别为气、固相的有效热导率； hp为颗粒与流体间的换热系数； s 为料床比表面积； φ为反应热（在气、固间）的分配系数； ΔHi为第 i个反应摩尔放热（吸热）量。上式中等号右侧第一项为对流换热项，第二项为传导传热项，第三项为气、固间热交换项，第四项为化学反应热释放速率项。式中颗粒－流体间换热系数 hp需要通过试验确定，也可以通过下述准数方程得到：

, *, ,div div grad

p g g g

p g g g g eff g g p g s i ii

c Tc T T h s T T R H

t

u

1 1 1 1

3 2 3 2Nu 2.0 0.6 Pr Re or Nu 2.0 0.75 Pr Re

其中， Nu=hpdp/λg，为努赛尔数； Pr=cp,gμg/λg，为普朗特数； Re=dpugρg/μg，为雷诺数。

, *, ,1 1 div div grad 1

p s s s

p s s s s eff s s p g s i ii

c Tc T T h s T T R H

t

u

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间的质量传输

以质量衡算方式写出气－固间组元的质量守恒控制方程，气相和固相方程分别为：

式中， ck为组元 k的浓度； Deff,g、 Deff,s分别为气、固相的有效扩散系数。在气－固或液－固界面处由于浓度边界层的存在，该层内主体流动所造成的组分传递可以忽略，这时的传质通量主要取决于分子扩散系数即一定主体流速下的有效边界层厚度，即

*,div div gradk

k g eff g k ki ii

cc D c n R

t

u

*,1 1 div div gradk

k s eff s k ki ii

cc D c n R

t

u

,, , , , or eff g

k k g k s k m k g k se

DN c c N k c c

其中， Nk为 k组元的气－固相间传输通量； δe为有效边界层厚度； ck,s为 k组元 在固相界面处的浓度； ck,s为 k 组元在气相主体中的浓度； km 为传质系数。

求解上述方程，必须首先确定传质系数 km和有效扩散系数 Deff,g。

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间的质量传输

传质系数 km 的求解有三种方法：理论求算；利用准数方程；利用类似法由动量及热量传递的参数来推算。考虑准数方程，对于球状固体颗粒与气相间传质的准数方程为

式中， Sc=μg/(ρgD)，为施密特数； Sh=kmdp/D，为舍伍德数。若固相不是单一颗粒而是填充床，气体的实际流速比表观空炉速度大，有人认为前者是后者的 9倍，因此可将上式修正为

0.52 0.33Sh 2.0 0.552 Re Sc where Sc 0.6 ~ 2.7;Re 1 ~ 48000

同时，固体颗粒与液相间的传质可以采用的准数方程

或采用兰兹－马歇尔（ Ranz-Marshall ）公式

1 12 3Sh 2.0 0.6 Re Sc where Sc 0.6 ~ 1.85;Re 2 ~ 12000

1 1

2 3Sh 2.0 0.6 9Re Sc

0.5 0.33

0.67 0.33

Sh 2.0 0.95 Re Sc where Re 2 ~ 2000

Sh 0.347 Re Sc where Re 2000 ~ 17000or

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间的质量传输

气－固传输往往涉及到气体在固体空隙内的扩散，气体在多孔介质中的扩散机制不同，有效扩散系数 Deff,g 表达式不同。

式中， DAB 为双组分混合物的分子扩散系数； ε为多孔介质的孔隙度； τ为曲折因子（对不固结粒料，取 1.5~2.0；压实粒料取 7~8）； ξ为迷宫度系数。

①①普通扩散（分子扩散）普通扩散（分子扩散）这时的固相毛细孔径远大于气体分子平均自由程固相毛细孔径远大于气体分子平均自由程，扩散阻力主要由分子间碰撞决定，此时的有效扩散系数为 AB

eff AB

DD D

式中， r 为平均孔半径； T 为绝对温度； Mk 为组分 k 的分子量。修正后的有效扩散系数为 Deff=εξDk。如果是合成效果，则合成关系为 (1/Deff)=(1/Deff,1)+(1/Deff,2)。

②②努森扩散（努森扩散（ Knudsen diffusionKnudsen diffusion ））这时气体分子平均自由程远大于孔径气体分子平均自由程远大于孔径，扩散阻力主要取决于分子对孔壁的碰撞，努森扩散系数为

129700k kD r T M

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间化学反应之之铁矿石气体还原

一界面未反应核模型

① 模型分成三层：边界层、反应完全的 Fe层、未反应核（完全 Fe2O3）层；

② 还原气体的扩散也按照这三层进行描述，对应的三层边界气体浓度由外到内分别是气相空间浓度 c0、半径r＝ r0的矿球表面浓度 c1、内核界面（也是化学反应界面）浓度 c，另外还有针对内核界面的平衡浓度 ce；

③ 反应发生在内核界面，属于一级可逆反应：

c

c1

c0

H2(CO) 的浓度变化

FeFe22OO33

FeFe层层

rr0

边界层边界层

ce

恒温横压条件下， Fe2O3被 CO(或 H2)还原，反应进行在气－固界面上，可用一界面未反应核模型描述。模型说明：

1 22 3 23 3Fe O CO Fe CO

整个还原过程及各环节的数学描述如下整个还原过程及各环节的数学描述如下……

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间化学反应之之铁矿石气体还原

一界面未反应核模型

①①边界层气体扩散边界层气体扩散还原气体分子在边界层的扩散符合菲克第一定律。

c

c1

c0

H2(CO) 的浓度变化

FeFe22OO33

FeFe层层

rr0

边界层边界层

ce 2 20 1

1 0 0 0 14 4 m

c cdcR DA r D r k c c

dr

式中， R1 －扩散速度； A －矿球外层表面积； δ－边界层厚度； c1、 c0－气体在矿球表面及气相本体的浓度； D－

扩散系数； km－传质系数， =D/δ。②②FeFe 层气体扩散层气体扩散还原气体分子在 Fe层的扩散同样符合菲克第一定律。 2

2 4 eff

dcR r D

dr

式中， R2 －扩散速度； Deff－有效扩散系数。准稳态扩散条件下， R2为常数，于是

224 eff

R drdc

D r

对上式积分得到1 0

224

c r

c reff

R drdc

D r

得到 02 1

0

4 eff

r rR D c c

r r

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间化学反应之之铁矿石气体还原

一界面未反应核模型

③③界面化学反应界面化学反应一般铁氧化物还原反应中，氧化亚铁的还原是限制性环节

c

c1

c0

H2(CO) 的浓度变化

FeFe22OO33

FeFe层层

rr0

边界层边界层

ce

2FeO CO Fe CO

式中， k、 k’ －分别为正逆反应速度常数。当反应平衡时， kcCO,e=k’cCO2,e， k/k’=K(K为反应平衡常数 )。于是按照质量守恒可以得到

④④还原速度方程还原速度方程视铁矿石还原过程为准稳态，即传输及反应的各个环节中没有物质积累，总反应速度 R

1 2 3R R R R

整理得到

20 0

20 0 0

2

4

11

e

m eff

r c cR

r r r r Kk D r r k K

反应速度为23 CO COR kc k c

3 CO CO,e

11R k c c

K

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间化学反应之之铁矿石气体还原

一界面未反应核模型

c

c1

c0

H2(CO) 的浓度变化

FeFe22OO33

FeFe层层

rr0

边界层边界层

ce

20 0

20 0 0

2

4

11

e

m eff

r c cR

r r r r Kk D r r k K

边界层传质阻力Fe层传质阻力

化学反应阻力

按照控制方程中源项单位，将化学反应速度处理成单位体积的生成速度 R’ ，则

02 3

3 0 0 0 00 2

343 1

e

m eff

c cRR

r r r r r Krk D r r k K

式中 r 无法直接测量，为此我们定义一个还原度 f

3

0

0 0

1W W r

fW r

式中 W0为 r=r0 时的球中的氧重； W为 r 时球中的氧重。

于是最后得到

1 2

3 3

02

0 0 0

3

1 1 11

e

m eff

c cR

r r r Kf f

k D k K

传输动力传输阻力和

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

气－固相间传输的数学描述气－固相间传输的数学描述 气－固间化学反应之之铁矿石气体还原

三界面未反应核模型FeFe

FeOFeO

FeFe33OO44

FeFe22OO33

rr00

rr11rr22rr33

DDee11

DDee22

DDee33

kk 11

kk 22

kk 33

kk ff

一界面模型假设所有化学反应都发生在内核界面，而这显然是不合适的，实际的 Fe2O3 的还原过程是一个逐步还原过程，这必然涉及到还原程度不同的分层。三界面未反应核模型就是认为存在三个反应界面层： Fe-FexO、 FexO-Fe3O4、 Fe3O4-Fe2O3 。还原气体 CO （或 H2 ）通过边界层扩散到 De3层（ Fe-FexO 层）界面，与 FexO反应消耗一部分还原剂，产物 CO2 （或 H2O ）向外扩散，其余还原剂继续往中心扩散，通过 De3到 De2、 De1…整个过程共有 11 个环节，其中扩散环节 8 个（ DCO, 界面层， DCO,Fe

层， DCO,FeO 层， DCO,Fe3O4 层， DCO2,Fe3O4 层， DCO2,FeO 层， DCO2,Fe 层， DCO2, 界面层），界面反应环节 3 个。根据一界面未反应核模型，可以很容易地推导各个环节的速率表达，然后按照准稳态假设条件时各环节速率趋于相等的条件推导出用各阶段还原度 f1、 f2、 f3 表达的三个还原速度表达式。需要说明的是，关于各层有效扩散系数的表达需要用到前面的空隙度和迷宫指数的关系式 Deff=Dεξ。

作业：参考教材详细作业：参考教材详细推导三界面未反应核推导三界面未反应核模型的完整数学表达。模型的完整数学表达。

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冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

流－流相间传输的数学描述流－流相间传输的数学描述 气－液相间传质

气－液相间传质采用的是双膜理论，同样是在准稳态的假设基础上推导而成。界面的气－液两相分别定为 I、 II 相，三个过程环节的速度式为

δ1

δ2

I

IIc1

*

c1

c2*

c2

双膜理论模型

*1 1 1 1mR k A c c I 相中反应物向相界面扩散

* *2 1 2R kA c c K 界面化学反应（一级可逆反应）

*3 2 2 2mR k A c c II 相中的扩散

综合反应速度有 1 2

1 2

1 1 1

m m

A c c KR

k k K k

式中， A——反应截面积km1、 km2——在 I、 II 两相中反应物的传质系数

对于式中的传质系数 km ，液相可以采用边界层理论， km=Deff/δ；也可以采用湍流传质理论， km=(2/π)(αD)1/2， α=7.9×10-5Re1.678。气相则采用前面提到的兰兹－马歇尔式计算。另外，两相流体中传质系数的关系存在： (km1/km2)≈(ν1/ν2

)0.5(D1/D2)0.7，式中， ν为运动粘度， D为分子扩散系数。

上海大学——冶金工程专业本科生课程 吴永全23/4/21 04:32

冶金数值—— 数学描述—— 相间传输

流－流相间传输的数学描述流－流相间传输的数学描述 渣金反应

渣金反应是钢铁冶金的核心反应之一，属于典型的液－液界面反应，可以借助双重阻力概念和双膜理论来进行描述。反应过程中，熔渣与钢液中组元分别向相界面传输并发生反应，而反应产物或是作为气体排出，或是进入渣相。因为渣金反应属于高温反应，人们认为反应环节一般不会成为限制性环节，即反应阻力可忽略不计，于是总速度可表达为：

1 2

1 2

1 1

m m

A c c KR

k k K

传输动力传输阻力和

渣金反应中 km1/km2一般在 20~100范围之内，通过分析阻力部分可知，反应平衡常数值的大小对于两个传质环节的速率构成了影响。一般当 K远小于 20~60时，过程由熔渣侧传质所控制，而 K远大于 100时，过程则由钢液侧传质所控制。炼钢的氧化脱硫过程、氧化脱磷过程都是典型的渣金反应，都可以用双膜理论来进行公式推导，并获得所谓双重阻力公式，然后通过分析参事之间的关系获得实际操作过程中的效果判断。

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冶金过程数值模拟