View
279
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
1. 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等 进行简单的推理,了解合情推理在数学发现 中的作用 . 2. 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基 本模式,并能运用它们进行一些简单推理 . 3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 1. 合情推理. 2. 演绎推理. [ 思考探究 ] (1) 由合情推理所获得的结论一定正确吗?. 提示: 一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,其可靠性还需进一步证明. (2) 演绎推理所获得的结论一定可靠吗?. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1. 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等 进行简单的推理,了解合情推理在数学发现 中的作用 .
2. 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基 本模式,并能运用它们进行一些简单推理 .
3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 .
1. 合情推理
2. 演绎推理
[ 思考探究 ]
(1) 由合情推理所获得的结论一定正确吗?
提示:一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,其可靠性还需进一步证明 .
(2) 演绎推理所获得的结论一定可靠吗?提示:演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式,是一种必然性推理 . 演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但是错误的前提可能导致错误的结论 .
1. 观察下式: 1 = 12,2 + 3 + 4 = 32,3 + 4 + 5 + 6 + 7
= 52,4 + 5
+ 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 72 ,…,则第 n 个式子是 ( )
A.n + (n + 1) + (n + 2) +…+ (2n - 1) = n2
B.n + (n + 1) + (n + 2) +…+ (2n - 1) = (2n - 1)2
C.n + (n + 1) + (n + 2) +…+ (3n - 2) = (2n - 1)2
D.n + (n + 1) + (n + 2) +…+ (3n - 1) = (2n - 1)2
解析:由条件可知,第 n 个式子的第一个数为 n ,且第 n
个式子为 2n - 1 个数的和 .
答案: C
2. 下面几种推理是合情推理的是 ( )
① 由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、 等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归纳出所 有三角形的内角和都是 180° ;③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分;④三角形 的内角和是 180° ,四边形的内角和是 360° ,五边形 的内角和是 540° ,由此得出凸多边形的内角和是 (n
- 2)·180°.
A.①② B.①③
C.①②④ D.②④
解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理 .
答案: C
3. 一同学在电脑中打出如下若干个圆: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●… ,若 依此规律继续下去,得到一系列的圆,则在前 2 009
个 圆中共有●的个数是 ( )
A.61 B.62
C.63 D.64
解析:设前 2 009 个圆中共有●的个数为 n ,经观察可得
如下关系
≤2 009 ,
经检验 n = 61.
答案: A
4. 一切奇数都不能被 2 整除, 2100 + 1 是奇数,所以 2100 +
1 不 能被 2 整除,其演绎“三段论”的形式为: 大前提:一切奇数都不能被 2 整除 小前提: , 结论: .解析:由“三段论”的形式可知: 2100 + 1 是奇数为小前提,
2100 + 1 不能被 2 整除是结论 .
答案: 2100 + 1 是奇数 2100 + 1 不能被 2 整除
5. 在平面几何中,关于正三角形的性质,有真命题:正
三角形内任一点到各边的距离之和是一个定值 . 类比平
面几何的上述性质,写出正四面体的一个真命题:
.答案:正四面体内任一点到各个面的距离之和是一个定值
1. 归纳推理的特点(1) 归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所 得的结论超越了前提所包含的范围 .
(2) 归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、 经验或实验的基础之上的 .
2. 归纳推理的一般步骤(1) 通过观察个别情况发现某些相同本质 .
(2) 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 .
设 f(x) = 先分别求 f(0) + f(1) , f( - 1) +
f(2) , f( - 2) + f(3) ,然后归纳猜想一般性结论,并给出
证明 .[ 思路点拨 ]
[ 课堂笔记 ] f(0) + f(1) =
同理可得: f( - 1) + f(2) = ,
f( - 2) + f(3) = ,并注意到在这三个特殊式子中,自
变量之和均等于 1.
归纳猜想得:当 x1 + x2 = 1 时,均为 f(x1) + f(x2)
= .
证明:设 x1 + x2 = 1 ,
∵ f(x1) + f(x2) =
若将本例中 改为 f(x) = 呢?
解: f(0) + f(1) =
同理可得 f( - 1) + f(2) = ,
f( - 2) + f(3) = .
并且在这三个特殊式子中,自变量之和均等于 1 ,归纳猜想得:
当 x1 + x2 = 1 时均有 f(x1) + f(x2) = .
证明:设 x1 + x2 = 1 ,
∴ f(x1) + f(x2) =
1. 类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出 一个明确的命题 ( 猜想 ).
2. 类比推理的关键是找到合适的类比对象 . 平面几何中的 一些定理、公式、结论等,可以类比到立体几何中, 得到类似的结论 . 一般平面中的一些元素与空间中的一 些元素的类比列表如下:
平面 空间点 线线 面圆 球三角形 三棱锥角 二面角
面积 体积
周长 表面积…… ……
在 Rt ABC△ 中, AB AC⊥ , AD BC⊥ 于 D ,求证:
那么在四面体 ABCD 中,类比上述结
论,你能得到怎样的猜想,并说明理由 .[ 思路点拨 ]
[ 课堂笔记 ] (1) 如图所示,由射影定理AD2 = BD·DC , AB2 = BD·BC ,AC2 = BC·DC ,
∴
又 BC2 = AB2 + AC2 ,
所以猜想:类比 AB⊥AC , AD⊥BC 猜想四面体 ABCD
中, AB 、 AC 、 AD两两垂直,AE⊥平面 BCD ,则
(2) 如图,连接 BE 交 CD 于 F ,连接 AF.
∵ AB⊥AC , AB⊥AD ,∴ AB⊥平面 ACD.
而 AF⊂平面 ACD ,∴ AB⊥AF.
在 Rt△ ABF 中, AE⊥BF ,∴
在 Rt△ ACD 中, AF⊥CD ,∴=
∴ 故猜想正确 .
1. 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理 模式,是一种必然性推理 . 演绎推理的前提与结论之间有 蕴含关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正 确的,那么结论必定是真实的,但是错误的前提可能导 致错误的结论 .
2. 演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论 的三段论式推理 .
[ 特别警示 ] 合情推理推出的结论不一定正确,有待进
一步证明,演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正
确的前提下得到的结论一定正确 .
用三段论证明函数 y =- x2 + 2x 在 ( -∞, 1]
上是增函数 .
[ 思路点拨 ]大前提是增函数的定义
小前提是在 ( -∞, 1]上满足增函数的定义
结论
[ 课堂笔记 ] 任取 x1 、 x2∈ ( -∞, 1] ,且 x1<x2 ,
f(x1) - f(x2) = ( - + 2x1) - ( - + 2x2)
= (x2 - x1)(x2 + x1 - 2).
因为 x1<x2 ,所以 x2 - x1>0 ;
因为 x1 、 x2≤1 , x1≠x2 ,所以 x2 + x1 - 2<0.
因此, f(x1) - f(x2)<0 ,即 f(x1)<f(x2).
于是根据“三段论”,得 f(x) =- x2 + 2x 在 ( -∞, 1] 上是增函数 .
由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论,是高考对本节内容的常规考法 .09年江苏高考、浙江高考分别以填空题的形式考查了类比推理和归纳推理,这一考查形式仍会是明年高考的一个考查方向 .
[ 考题印证 ]
(2009·浙江高考 ) 设等差数列 {an} 的前 n项和为 Sn ,则
S4 , S8 - S4 , S12 - S8 , S16 - S12 成等差数列 . 类比以上结
论有:设等比数列 {bn} 的前 n项积为 Tn ,则 T4 , ,
,
成等比数列 .
【解析】 根据类比原理知该两空顺次应填
【答案】
[ 自主体验 ]
在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么可截下一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有: c2 = a2 + b2. 设想正方形换成正方体,把截线换成如图所示的截面,这时从正方体上截下三条侧棱
两两垂直的三棱锥 O LMN ,如果用 S1 , S2 , S3 表示三
个侧面面积, S4 表示截面面积,那么你类比得到的结论
是 .
解析:设 OM = a , ON = b , OL = c ,则 MN2 =
a2 + b2 , NL2 = b2 + c2 , ML2 = c2 + a2 ,此时 =a2b2, = b2c2, = c2a2.根据余弦定理得 cos∠NML =
故 sin2∠NML = 1 -
所以 MN2ML2sin2∠NML =
(a2 + b2)(c2 + a2)
答案:
1. 观察等式:
sin230° + cos260° + sin30°cos60° = ,
sin220° + cos250° + sin20°cos50° = ,
sin215° + cos245° + sin15°cos45° = ;
由此得出以下推广命题不正确的是 ( )
A.sin2α + cos2β+ sinαcosβ= B.sin2(α - 30°) + cos2α + sin(α - 30°)cosα =C.sin2(α - 15°) + cos2(α + 15°) + sin(α - 15°)cos(α +
15°) =D.sin2α + cos2(α + 30°) + sinαcos(α + 30°) =
.
解析:由已知 β- α = 30° 时,命题才成立 .
答案: A
2. 下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ② 由向量 a 的性质 |a|2 = a2 类比得到复数 z 的性质 |z|2 =
z2 ; ③方程 ax2 + bx + c = 0(a , b , c∈R) 有两个不同实数根的条 件是 b2 - 4ac > 0 可以类比得到:方程 az2 + bz + c =
0(a , b , c∈C) 有两个不同复数根的条件是 b2 - 4ac > 0 ; ④ 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 .
其中类比得到的结论错误的是 ( )
A.①③ B.②④
C.②③ D.①④解析:选项②中 z = i ,则 |z|2≠i2 ,选项③若 a 、 b 、 c
为实数,则方程有实根 .
答案: C
3.“ 所有 9 的倍数 (M) 都是 3 的倍数 (P) ,某奇数 (S) 是 9
的倍数
(M) ,故此奇数 (S) 是 3 的倍数 (P).” 上述推理是
( )
A. 小前提错 B. 结论错
C. 正确的 D. 大前提错
解析:大前提正确,小前提正确,故命题正确 .
答案: C
4.(2009·江苏高考 ) 在平面上,若两个正三角形的边长的
比为 1∶ 2 ,则它们的面积比为 1∶ 4. 类似地,在空
间
中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶ 2 ,则它们的
体
积比为 .
解析:
答案: 1∶ 8
5.(2009·浙江高考 ) 观察下列等式: = 23 - 2 , = 27 + 23 , = 211 - 25 , = 215 + 27 , ……
由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N* , = .
解析:归纳推理 . 观察等式右边 23 - 2,27 + 23,211 - 25,215
+ 27 ,…,可以看到右边第一项的指数 3,7,11,15 ,…成
等差数列,公差为 4 ,首项为 3 ,通项为 4n - 1 ;第二
项的指数 1,3,5,7 ,…的通项为 2n - 1.故得结论 24n - 1 +
( - 1)n22n - 1.答案: 24n - 1 + ( - 1)n22n - 1
6. 在三角形中有下面的性质:
(1) 三角形的两边之和大于第三边;
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半;
(3) 三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三
角形的内心;
请类比出四面体的有关相似性质 .
解: (1) 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;
(2) 四面体的中位面 ( 过棱的中点的面 ) 的面积等于第四个面
的面积的四分之一,且平行于第四个面;
(3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四
面体内切球的球心 .
Recommended