1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等 进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用 .

2. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基 本模式，并能运用它们进行一些简单推理 .

3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 .

1. 合情推理

2. 演绎推理

[ 思考探究 ]

(1) 由合情推理所获得的结论一定正确吗？

提示：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明 .

(2) 演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理 . 演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论 .

1. 观察下式： 1 ＝ 12,2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ 32,3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7

＝ 52,4 ＋ 5

＋ 6 ＋ 7 ＋ 8 ＋ 9 ＋ 10 ＝ 72 ，…，则第 n 个式子是 ( 　　 )

A.n ＋ (n ＋ 1) ＋ (n ＋ 2) ＋…＋ (2n － 1) ＝ n2

B.n ＋ (n ＋ 1) ＋ (n ＋ 2) ＋…＋ (2n － 1) ＝ (2n － 1)2

C.n ＋ (n ＋ 1) ＋ (n ＋ 2) ＋…＋ (3n － 2) ＝ (2n － 1)2

D.n ＋ (n ＋ 1) ＋ (n ＋ 2) ＋…＋ (3n － 1) ＝ (2n － 1)2

解析：由条件可知，第 n 个式子的第一个数为 n ，且第 n

个式子为 2n － 1 个数的和 .

答案： C

2. 下面几种推理是合情推理的是 ( 　　 )

① 由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、 等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ，归纳出所 有三角形的内角和都是 180° ；③某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分；④三角形 的内角和是 180° ，四边形的内角和是 360° ，五边形 的内角和是 540° ，由此得出凸多边形的内角和是 (n

－ 2)·180°.

A.①② 　　　　　　　　　 B.①③

C.①②④ D.②④

解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理 .

答案： C

3. 一同学在电脑中打出如下若干个圆： ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●… ，若 依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前 2 009

个 圆中共有●的个数是 ( 　 )

A.61 B.62

C.63 D.64

解析：设前 2 009 个圆中共有●的个数为 n ，经观察可得

如下关系

≤2 009 ，

经检验 n ＝ 61.

答案： A

4. 一切奇数都不能被 2 整除， 2100 ＋ 1 是奇数，所以 2100 ＋

1 不 能被 2 整除，其演绎“三段论”的形式为： 大前提：一切奇数都不能被 2 整除 小前提： 　， 结论： 　 .解析：由“三段论”的形式可知： 2100 ＋ 1 是奇数为小前提，

2100 ＋ 1 不能被 2 整除是结论 .

答案： 2100 ＋ 1 是奇数　 2100 ＋ 1 不能被 2 整除

5. 在平面几何中，关于正三角形的性质，有真命题：正

三角形内任一点到各边的距离之和是一个定值 . 类比平

面几何的上述性质，写出正四面体的一个真命题：　

　 .答案：正四面体内任一点到各个面的距离之和是一个定值

 

1. 归纳推理的特点(1) 归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所 得的结论超越了前提所包含的范围 .

(2) 归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、 经验或实验的基础之上的 .

2. 归纳推理的一般步骤(1) 通过观察个别情况发现某些相同本质 .

(2) 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 .

设 f(x) ＝ 先分别求 f(0) ＋ f(1) ， f( － 1) ＋

f(2) ， f( － 2) ＋ f(3) ，然后归纳猜想一般性结论，并给出

证明 .[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] f(0) ＋ f(1) ＝

同理可得： f( － 1) ＋ f(2) ＝ ，

f( － 2) ＋ f(3) ＝ ，并注意到在这三个特殊式子中，自

变量之和均等于 1.

归纳猜想得：当 x1 ＋ x2 ＝ 1 时，均为 f(x1) ＋ f(x2)

＝ .

证明：设 x1 ＋ x2 ＝ 1 ，

∵ f(x1) ＋ f(x2) ＝

若将本例中 改为 f(x) ＝ 呢？

解： f(0) ＋ f(1) ＝

同理可得 f( － 1) ＋ f(2) ＝ ，

f( － 2) ＋ f(3) ＝ .

并且在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 1 ，归纳猜想得：

当 x1 ＋ x2 ＝ 1 时均有 f(x1) ＋ f(x2) ＝ .

证明：设 x1 ＋ x2 ＝ 1 ，

∴ f(x1) ＋ f(x2) ＝

1. 类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个明确的命题 ( 猜想 ).

2. 类比推理的关键是找到合适的类比对象 . 平面几何中的 一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中， 得到类似的结论 . 一般平面中的一些元素与空间中的一 些元素的类比列表如下：

平面 空间点 线线 面圆 球三角形 三棱锥角 二面角

面积 体积

周长 表面积…… ……

在 Rt ABC△ 中， AB AC⊥ ， AD BC⊥ 于 D ，求证：

那么在四面体 ABCD 中，类比上述结

论，你能得到怎样的猜想，并说明理由 .[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] (1) 如图所示，由射影定理AD2 ＝ BD·DC ， AB2 ＝ BD·BC ，AC2 ＝ BC·DC ，

∴

又 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 ，

所以猜想：类比 AB⊥AC ， AD⊥BC 猜想四面体 ABCD

中， AB 、 AC 、 AD两两垂直，AE⊥平面 BCD ，则

(2) 如图，连接 BE 交 CD 于 F ，连接 AF.

∵ AB⊥AC ， AB⊥AD ，∴ AB⊥平面 ACD.

而 AF⊂平面 ACD ，∴ AB⊥AF.

在 Rt△ ABF 中， AE⊥BF ，∴

在 Rt△ ACD 中， AF⊥CD ，∴＝

∴ 故猜想正确 .

1. 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理 模式，是一种必然性推理 . 演绎推理的前提与结论之间有 蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正 确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导 致错误的结论 .

2. 演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论 的三段论式推理 .

[ 特别警示 ] 　合情推理推出的结论不一定正确，有待进

一步证明，演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正

确的前提下得到的结论一定正确 .

用三段论证明函数 y ＝－ x2 ＋ 2x 在 ( －∞， 1]

上是增函数 .

[ 思路点拨 ]大前提是增函数的定义

小前提是在 ( －∞， 1]上满足增函数的定义

结论

[ 课堂笔记 ] 　任取 x1 、 x2∈ ( －∞， 1] ，且 x1<x2 ，

f(x1) － f(x2) ＝ ( － ＋ 2x1) － ( － ＋ 2x2)

＝ (x2 － x1)(x2 ＋ x1 － 2).

因为 x1<x2 ，所以 x2 － x1>0 ；

因为 x1 、 x2≤1 ， x1≠x2 ，所以 x2 ＋ x1 － 2<0.

因此， f(x1) － f(x2)<0 ，即 f(x1)<f(x2).

于是根据“三段论”，得 f(x) ＝－ x2 ＋ 2x 在 ( －∞， 1] 上是增函数 .

由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论，是高考对本节内容的常规考法 .09年江苏高考、浙江高考分别以填空题的形式考查了类比推理和归纳推理，这一考查形式仍会是明年高考的一个考查方向 .

　 [ 考题印证 ]

(2009·浙江高考 ) 设等差数列 {an} 的前 n项和为 Sn ，则

S4 ， S8 － S4 ， S12 － S8 ， S16 － S12 成等差数列 . 类比以上结

论有：设等比数列 {bn} 的前 n项积为 Tn ，则 T4 ，　　　　，

　　　　，

成等比数列 .

【解析】　根据类比原理知该两空顺次应填

【答案】　

[ 自主体验 ]

在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么可截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： c2 ＝ a2 ＋ b2. 设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱

两两垂直的三棱锥 O LMN ，如果用 S1 ， S2 ， S3 表示三

个侧面面积， S4 表示截面面积，那么你类比得到的结论

是　 　 .

解析：设 OM ＝ a ， ON ＝ b ， OL ＝ c ，则 MN2 ＝

a2 ＋ b2 ， NL2 ＝ b2 ＋ c2 ， ML2 ＝ c2 ＋ a2 ，此时 ＝a2b2, ＝ b2c2, ＝ c2a2.根据余弦定理得 cos∠NML ＝

故 sin2∠NML ＝ 1 －

所以 MN2ML2sin2∠NML ＝

(a2 ＋ b2)(c2 ＋ a2)

答案：

1. 观察等式：

sin230° ＋ cos260° ＋ sin30°cos60° ＝ ，

sin220° ＋ cos250° ＋ sin20°cos50° ＝ ，

sin215° ＋ cos245° ＋ sin15°cos45° ＝ ；

由此得出以下推广命题不正确的是 ( 　　 )

A.sin2α ＋ cos2β＋ sinαcosβ＝ B.sin2(α － 30°) ＋ cos2α ＋ sin(α － 30°)cosα ＝C.sin2(α － 15°) ＋ cos2(α ＋ 15°) ＋ sin(α － 15°)cos(α ＋

15°) ＝D.sin2α ＋ cos2(α ＋ 30°) ＋ sinαcos(α ＋ 30°) ＝

.

解析：由已知 β－ α ＝ 30° 时，命题才成立 .

答案： A

2. 下面给出了关于复数的四种类比推理： ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ② 由向量 a 的性质 |a|2 ＝ a2 类比得到复数 z 的性质 |z|2 ＝

z2 ； ③方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a ， b ， c∈R) 有两个不同实数根的条 件是 b2 － 4ac ＞ 0 可以类比得到：方程 az2 ＋ bz ＋ c ＝

0(a ， b ， c∈C) 有两个不同复数根的条件是 b2 － 4ac ＞ 0 ； ④ 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 .

其中类比得到的结论错误的是 ( 　 )

A.①③ 　　　　　　　　　　 B.②④

C.②③ D.①④解析：选项②中 z ＝ i ，则 |z|2≠i2 ，选项③若 a 、 b 、 c

为实数，则方程有实根 .

答案： C

3.“ 所有 9 的倍数 (M) 都是 3 的倍数 (P) ，某奇数 (S) 是 9

的倍数

(M) ，故此奇数 (S) 是 3 的倍数 (P).” 上述推理是

( 　　 )

A. 小前提错 B. 结论错

C. 正确的 D. 大前提错

解析：大前提正确，小前提正确，故命题正确 .

答案： C

4.(2009·江苏高考 ) 在平面上，若两个正三角形的边长的

比为 1∶ 2 ，则它们的面积比为 1∶ 4. 类似地，在空

间

中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶ 2 ，则它们的

体

积比为　　　　 .

解析：

答案： 1∶ 8

5.(2009·浙江高考 ) 观察下列等式： ＝ 23 － 2 ， ＝ 27 ＋ 23 ， ＝ 211 － 25 ， ＝ 215 ＋ 27 ，　　　　　……

由以上等式推测到一个一般的结论：对于 n∈N* ， ＝　　　　 .

解析：归纳推理 . 观察等式右边 23 － 2,27 ＋ 23,211 － 25,215

＋ 27 ，…，可以看到右边第一项的指数 3,7,11,15 ，…成

等差数列，公差为 4 ，首项为 3 ，通项为 4n － 1 ；第二

项的指数 1,3,5,7 ，…的通项为 2n － 1.故得结论 24n － 1 ＋

( － 1)n22n － 1.答案： 24n － 1 ＋ ( － 1)n22n － 1

6. 在三角形中有下面的性质：

(1) 三角形的两边之和大于第三边；

(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；

(3) 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三

角形的内心；

请类比出四面体的有关相似性质 .

解： (1) 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

(2) 四面体的中位面 ( 过棱的中点的面 ) 的面积等于第四个面

的面积的四分之一，且平行于第四个面；

(3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四

面体内切球的球心 .