1 Sistemas Lineares Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães...

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Sistemas Lineares

Pesquisa Operacional

Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarãesleila_lage@uol.com.br

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Tema da aula 07

Pesquisa Operacional:

Sistemas de equações lineares

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Resolução de sistemas de equações

Método Gauss-Jordan

Consiste da derivação de um sistema específico de equações lineares que tenha a mesma solução que o sistema original. Este novo sistema deverá ter o formato de uma matriz identidade, o que pode ser obtido através de combinações lineares das equações originais. Assim, pretende-se que:

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Resolução de sistemas de equações

Método Gauss-Jordan

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Resolução de sistemas de equações

Método Gauss-JordanSão permitidas as seguintes transformações:Troca de linhas;

Ln ← Lm – troca das linhas n por mMultiplicação da linha por um escalar;

Ln ← KLn – multiplicação da linha n pelo escalar KSoma de uma linha multiplicada por um escalar a uma outra linha.

Ln ← Ln + KLn – soma da linha n multiplicada pelo escalar K à linha n

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Resolução de sistemas de equações

Método Gauss-Jordan

1) Transformação do coeficiente de X1 na equação 1 para 1

Solução: dividir a 1ª equação por 4 para achar o coeficiente de X1 igual a 1. L1 ← L1 / 4

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Resolução de sistemas de equações

Método Gauss-Jordan

2) Transformação do coeficiente de X1 na equação 2 para 0

Solução: subtrair a 2ª equação pela 1ª equação multiplicada por 6. L2 ← L2 – 6L1

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Resolução de sistemas de equações

Método Gauss-Jordan

3) Transformação do coeficiente de X2 na equação 2 para 1

Solução: divisão da 2ª equação por -8. L2 ← L2 / - 8

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Resolução de sistemas de equações

Método Gauss-Jordan

4) Transformação do coeficiente de X2 na equação 1 para 0

Solução: subtração da 1ª equação pela 2ª equação multiplicada por 2. L1 ← L1 – 2L2

-

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Utiliza o estudo de determinantes para obtenção de sistemas lineares, onde o número de equações coincide com o número de incógnitas.

a11 a12 a13 a1n b1

a21 a22 a23 a2n b2

a31 a32 a33 a3n b3

B =

Matriz incompleta Matriz completaMatriz incompletaMatriz incompleta Matriz completaMatriz incompleta

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Matriz completaMatriz incompleta

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α1, α2, α3 .... αn) do sistema é obtida por:α

ii

= 1,2,3 .... n

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α1, α2, α3 .... αn) do sistema é obtida por:α

ii

= 1,2,3 .... n

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

D = determinante da matriz incompleta.

Di = determinante obtido pela substituição da coluna i da matriz incompleta pela coluna de termos independentes das equações do sistema.

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Calcular determinante de D usando Sarrus.

D = D = 27

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Escolher a coluna para cálculo de Di.

D = Cálculo de D1, D2 e D3

Coluna escolhida

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Para cálculo de D1 substituir a 1ª coluna pela coluna de termos independentes.

D =Cálculo do determinante D1, usando Sarrus.

D1 = -54

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Para cálculo de D2 substituir a 2ª coluna pela coluna de termos independentes.

D =Cálculo do determinante D2, usando Sarrus.

D2 = 81

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

Para cálculo de D3 substituir a 3ª coluna pela coluna de termos independentes.

D =Cálculo do determinante D3, usando Sarrus.

D3 = 0

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Resolução de sistemas de equações

Regra de CRAMER

X = D1 / DY = D2 / DZ = D3 / D

O vetor solução será (-2, 3, 0).

X = -54 / 27Y = 81 / 27Z = 0 / 27

X = -2Y = 3Z = 0

Substituir os valores nas equações para conferir

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Memória de aula

1. Como se deve resolver um sistema de equações utilizando o método de Gauss-Jordan?

2. Como se deve resolver um sistema de equações utilizando a regra de Cramer?

3. Determine o vetor solução para a seguinte equação:

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Bibliografia indicada

LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).