1.4 行列式按行（列）展开定理

1.4 行列式按行（列）展开定理

,312213332112322311

322113312312332211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa

3331

232113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

一、余子式与代数余子式容易验证：

问题：一个高阶行列式是否可以转化为若干个 低阶行列式来计算？

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作

n ija i j1n

ija.M ij

，记 ijji

ij MA 1 叫做元素 的代数余子式．ija

例如

44434241

34333231

24232221

14131211

αααα

αααα

αααα

αααα

A

444241

343231

141211

23

aaa

aaa

aaa

M

2332

23 1 MA .23M

例 1 设

定理 1.2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

ininiiii AαAαAαA 2211 ni ,,2,1

证

nnnn

inii

n

ααα

ααα

ααα

A

21

21

11211

000000

二、行列式按行（列）展开法则

nnnn

i

n

aaa

a

aaa

21

1

11211

00

nnnn

i

n

aaa

a

aaa

21

2

11211

00

nnnn

in

n

aaa

a

aaa

21

11211

00 ininiiii AaAaAa 2211

ni ,,2,1

例 2 计算行列式

例 3 计算范德蒙德 (Vandermonde) 行列式

112

11

222

21

21

111

nn

nn

n

n

n

ααα

ααα

ααα

A

)()()(0

)()()(0

0

1111

)2其中(

12

132

3122

2

1133122

11312

11

ααααααααα

ααααααααα

αααααα

niRαR

A

nnn

nn

nn

n

ii

n

就有提出，因子列展开，并把每列的公按第 )(1 1xxi

)()())((2

11312 jjin

inn ααααααααA

).(1

jjin

i αα

223

22

3211312

111

)())((

nn

nn

nn

ααα

ααααααααα

n-1 阶范德蒙德行列式

递推可得

例 4, 5 略

定理 1.3 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

.ji,AaAaAa jninjiji 02211

,

1

1

1

111

11

nnn

jnj

ini

n

jnjnjj

aa

aa

aa

aa

AaAa

证 行展开，有按第把行列式 jA

,

1

1

1

111

11

nnn

ini

ini

n

jninji

aa

aa

aa

aa

AaAa

可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk

行第 j

行第 i

,时当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji

同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji

相同

关于代数余子式的重要性质

;当,0

,当,

11 ji

jiAAαAα

n

kkjki

n

kjkik

7.4

证明从略

三、拉普拉斯 (Laplace) 定理

例 6 略

例 7 计算行列式

nnn

n

n

n

nnn

n

bb

bb

cnc

ccαα

αα

A

1

111

1

111

1

111

0

计算从略 由拉普拉斯定理可得

nnn

n

nnn

n

bb

bb

αα

αα

A

1

111

1

111