1.2 n阶行列式的定义

一、 n 级排列及奇偶性定义 1.1

由数 1,2,…,n 组成的一个有序数组，称为一个 n 级排列 .

由 1,2,…,n 所组成的所有不同的 n 级排列共有 n!个 . 1 2 … n 是唯一的一个按从小到大次序组成的排列 , 称为 n 级标准排列 .

例如 ,3 级排列共有 6 个不同的排列，即1 2 3 2 3 1 3 1 21 3 2 2 1 3 3 2 1

其中 1 2 3是 3 级标准排列 .

定义 1.2

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列 .

例 1

例 2

定义 1.3

将一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动，就得到另一个排列，这种对排列的变换方法称为对换 .

例如，排列 2413 经过 2 与 3 兑换后，就得到排列 3412 ；排列 32415 经过2 与 1 兑换后，就得到排列 31425.

由计算逆序数可知，奇排列 2413 变成了偶排列 3412 ；而偶排列 32415 却变成了奇排列 31425.

证明 设排列为

ml bbabaa 11 ml bbbaaa 11

除 外，其它元素的逆序数不改变 .b,a

a b的逆序数不变 ;经对换后 的逆序数增加 1 ,

当 时，ba

任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性 .定理 1.1

当 时，ba

经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少 1.a b

因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 .

设排列为 nml cbcbabaa 111

现来对换 与a .b

次相邻对换mnml ccbbabaa 111

次相邻对换1mnml ccabbbaa 111

,111 nml cbcbabaa

次相邻对换12 m ,111 nml cacbbbaa

所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 .

nml ccbbbaaa 111

三阶行列式

333231

232221

131211

ααα

ααα

ααα

322113312312332211 aaaaaaaaa

332112322311312213 aaaaaaaaa

规律（ 1 ）三阶行列式是行列式中取自不同行、不同列的三个元素乘积的代数和（共有 3!=6 项）

二、三阶行列式展开式的规律

6.2

（ 2 ）每项中三个元素的行指标构成一个三级排列，在式（ 2.6 ）中，行指标的排列都是标准排列1 2 3 ，列指标构成的三阶排列各不相同，因此式（ 2.6 ）中每项的一般形式为：

7.2

例如322113 aaa 列标排列的逆序数为

,211312

322311 aaa 列标排列的逆序数为 ,101132

偶排列

奇排列

正号

,负号

.)1(321

321321

)(

333231

232221

131211

jjjjjj aaa

aaa

aaa

aaa

nnnn

n

n

njjjjjjτ

aaa

aaa

aaa

A

aaa

n

nn

n

n

21

22221

11211

21)(

2

记作

.)1(的代数和

个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由

21

21

三、 n 阶行列式的定义定义 1.4

8.2

为这个排列的逆序数．)(

的一个排列，，，2，1为自然数其中

21

21

n

n

jjjτ

njjj

n

n

n

njjjjjj

jjjτ

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

21

21

21

21

22221

11211

1

10.2

例 3 计算上三角行列式

n

n

nn

a a a

a a

a

11 12 1

22 2

分析

展开式中项的通项是 .21 21 nnjjj ααα

其中不为零的项只有 .2211 nnααα

nn

naaa

2211

121

.2211 nnaaa

解

n

n

nn

a a a

a a

a

11 12 1

22 2

行列式的不同表示方法

niii

iiiτ

n

n αααA 21

)(

21

211

n

nn

nn

jjjjijiji

jjjτiiiταααA

21

2211

2121 )()(1 14.2

16.2

设 是取定的某一固定排列niii

21

n

nn

nn

iiijijiji

jjjτiiiταααA

21

2211

2121 )()(1 15.2

设 是取定的某一固定排列njjj

21

特别 取定标准排列njjj

21