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11Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
FUNZIONEFUNZIONEUna Una funzionefunzione ff definita in X a valori in definita in X a valori in Y è una corrispondenza che :Y è una corrispondenza che :
y=f(x) è l’immagine di x attraverso la legge f
Il sottinsieme di X a cui la legge f associa un’immagine si dice dominio della funzione (domf)
L’insieme degli elementi di Y del tipo f(x) si dice insieme immagine (Imf)
Noi studiamo funzioni da R R
x è la variabile indipendente
y è la variabile dipendente
22Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
DefinizioniDefinizioniSe y è un generico Se y è un generico elemento di Y, chiamiamo elemento di Y, chiamiamo controimmagine dicontroimmagine di y y
attraverso la legge f quella x appartenente ad X, tale che y=f(x)attraverso la legge f quella x appartenente ad X, tale che y=f(x)
La cLa controimmagine ontroimmagine di y si indica f di y si indica f -1-1(y)(y)
Aggettivi di una funzioneAggettivi di una funzione
Funzione iniettivaFunzione iniettiva : è una funzione tale che qualunque y appartenente ad : è una funzione tale che qualunque y appartenente ad
Y abbia Y abbia al piùal più una controimmagine una controimmagine
Funzione suriettivaFunzione suriettiva: è una funzione tale che qualunque y appartenente ad : è una funzione tale che qualunque y appartenente ad
Y abbia Y abbia al menoal meno una controimmagine una controimmagine
Funzione biiettiva: Funzione biiettiva: è una funzione tale che qualunque y appartenente ad Y è una funzione tale che qualunque y appartenente ad Y
abbia abbia una e una solauna e una sola controimmagine controimmagine
33Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Criteri per verificare le proprietà di una funzioneCriteri per verificare le proprietà di una funzione
Una funzione è Una funzione è iniettivainiettiva se una qualsiasi retta se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il parallela all’asse x taglia il grafico grafico della funzione della funzione al piùal più in un puntoin un punto
Una funzione è Una funzione è suriettivasuriettiva se una qualsiasi retta parallela se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il all’asse x taglia il grafico grafico della funzione della funzione almeno almeno in un in un punto punto
Una funzione è Una funzione è biiettivabiiettiva se una qualsiasi retta parallela se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il all’asse x taglia il grafico grafico della funzione in della funzione in uno e un solo uno e un solo puntopunto
Una funzione è Una funzione è biiettiva biiettiva se è contemporaneamente se è contemporaneamente iniettiva e suriettivainiettiva e suriettiva
44Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Monotonia delle funzioniMonotonia delle funzioni
Una funzione è monotona crescente in un intervallo I se:Una funzione è monotona crescente in un intervallo I se:
Una funzione è monotona decrescente in un intervallo I se:Una funzione è monotona decrescente in un intervallo I se:
55Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Funzioni strettamente Funzioni strettamente crescente/decrescentecrescente/decrescente
Una funzione è monotona strettamente crescente in un intervallo I se:Una funzione è monotona strettamente crescente in un intervallo I se:
Una funzione è monotona strettamente decrescente in un Una funzione è monotona strettamente decrescente in un intervallo I se:intervallo I se:
66Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Ritorniamo sull’iniettività e suriettivitàRitorniamo sull’iniettività e suriettività
Condizione sufficiente ma non necessaria affinchè Condizione sufficiente ma non necessaria affinchè una funzione sia iniettiva è che sia strettamente una funzione sia iniettiva è che sia strettamente
monotonamonotona
La prima funzione è iniettiva ma non monotona, la seconda è iniettiva e monotona
77Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
SuriettivitàSuriettività
Se una funzione è suriettiva Se una funzione è suriettiva
Imf coincide con YImf coincide con Y
88Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Funzione pariFunzione pari
Una funzione si dice pari seUna funzione si dice pari se
Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y
-x x
c.s. ma non necessariaper dire che una funzione
non è iniettiva è dire che è pari!!!
99Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Funzione dispariFunzione dispari
Una funzione si dice dispari seUna funzione si dice dispari se
Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine
Il fatto che sia dispari non mi consente di trarre conclusioni sulla suriettività/inetttività
-x x
1010Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Funzione periodicaFunzione periodica
Una funzione si dice Una funzione si dice periodicaperiodica di periodo di periodo TT se se
c.s. ma non necessariaper dire che una funzione
non è iniettiva è dire che è periodica!!!
f(x)=cos x
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-10 -5 0 5 10
x
y
1111Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Funzione invertibileFunzione invertibile
Chiamiamo funzione inversaChiamiamo funzione inversa della funzione f, e la della funzione f, e la
indichiamo con indichiamo con f f -1-1(y),(y), la funzione che associa ad la funzione che associa ad
ogni y appartenente all’Imf la sua controimmagine ogni y appartenente all’Imf la sua controimmagine
xx
C.n.s. affinché una funzione sia invertibile è che C.n.s. affinché una funzione sia invertibile è che sia iniettivasia iniettiva
C.s ma non necessaria affinché una funzione sia C.s ma non necessaria affinché una funzione sia invertibile è che sia strettamente monotonainvertibile è che sia strettamente monotona
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