View
314
Download
13
Category
Preview:
Citation preview
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Permodelan Matematika pada Sistem Fisik danKegunaannya Pada Sistem Kontrol
Ardiansyah1
1Laboratorium Teknik Pengendalian Bio-Lingkungan
Teknik Pertanian-Universitas Jenderal Soedirman
Bahan Kuliah Kontrol Otomatik
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Outline
1 Teori Sistem KontrolModel Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
2 Transformasi LaplaceTeori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
3 Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Outline
1 Teori Sistem KontrolModel Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
2 Transformasi LaplaceTeori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
3 Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Sistem : Input-Proses-Output
Misalkan sebuah rangkaian resistor seri digambar sebagai berikut :GambarDalam diagram digambarkandengan input adalah Vin, proses adalah
R2R1+R2
, dan output adalahVout
Kita akan mencoba menyatakan sebuah sistem dalam bentuk
dimana, x ′ adalah vektor persamaan keadaan, xadalah vektor variabel keadaan, u adalah vektor input, y adalahvektor output. A, B , C , dan D adalah matriks koe�sien darimasing-masing vektor
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Permodelan Sistem Fisik
Banyak fenomena sistem dan keteknikan yang lebih mudahdipahami apabila diformulasikan dalam persamaan di�erensial
Persamaan di�erensial melibatkan derivatif (turunan), danintegral dari variable dependen terhadap variabel independen(misal : dy(t)
dt , y adalah variable dependen, dan t adalahvariabel independen)
Turunan ke -n , dimana n adalah nilai yang paling besar darisuatu persamaan menyebabkan persamaan itu disebutpersamaan di�erensial ordo ke-n
Persamaan di�erensial dikatakan linear apabila konstantabukan merupakan fungsi dari variabel independen (misal :
an+1dyn(t)dtn +an
dyn−1(t)dt = f (t), sedangkan an+1dan anadalah
konstanta dan bukan fungsi dari y(t))
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Persamaan Di�erensial Biasa Ordo ke-n
Model matematika yang menggambarkan sistem �sik biasanyadigambarkan dalam persamaan di�erensial orde ke-n :
De�nition
dnydtn = w
[t, y(t), y
′(t), ..., d
n−1ydtn−1
, u(t)]
dimana : t = waktu, u(t) = fungsi input, w = fungsi nonlinear,y(t) = output sistem. Fungsi-fungsi lain bisa ditambahakan hinggaturunan ke n−1, untuk membuat sebuah sistem persamaan :
x1(t) = y(t)
x2(t) = y′(t)
x3(t) = y′′(t)
...
xn(t) =dn−1y(t)dtn−1
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Persamaan Di�erensial Biasa Ordo ke-nLanjutan..
selanjutnya sistem persamaan ordo ke-n dapat diubah ke sistempersamaan di�erensial orde ke-1 sebagai berikut :
x′1 = x2(t)
x′2 = x3(t)
...
x′n−1 = xn(t)
x′n = w [t, x , ,x2(t), ..., xn(t), u(t)]
(1)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Persamaan Di�erensial Biasa Ordo ke-nLanjutan..
Jika sistem persamaan pada 1 diubah bentuknya menjadi vektor,maka akan berbentuk :
x(t) = [x1(t), x1(t), ..., xn(t)]T (2)
f(t, x, u) = [x2, x3, ..., xn, w(t, x1, ..., xn, u)]T (3)
dimana x(t) adalah vektor �variabel keadaan sistem (system state
vector)� pada saat t (T adalah operasi transpose vektor )Dalam notasi vektor, persamaan 1 dinyatakan dengan :
x′(t) = f(t, x(t), u(t)) (4)
dan output y(t)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Persamaan Keadaan (State Equations)
Sistem persamaan di�erensial orde-1 disebut persamaan keadaan.Langkah-langkah pembentukan persamaan keadaan adalah sebagaiberikut :
1 Pilih yang paling tinggi derajatnya sebagai x1(t)
2 Turunkan x1(t) sebagai x2(t), sehingga x2(t) =dx1(t)dt
3 Buat sistem persamaan di�erensial dengan menurunkan x1(t),x2(t) dan seterusnya, setiap persamaan ke-i mempunyaivariable independen berupa xi+1
4 Persamaan ke-n diperoleh sebagai modi�kasi persamaan asliyang mengandung variabel independen xn−1, ..., x1
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Outline
1 Teori Sistem KontrolModel Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
2 Transformasi LaplaceTeori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
3 Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Permodelan Tangki Pemanas Bahan Cair (PDB Ordo-1)
Qtangki = Qin−Qout
Qinadalah panas yang masukmelalui heater, yangdirumuskan Qin =
1R u
2, dimanau adalah tegangan yangdiberikan ke heater, Qout
adalah panas yang keluartangki pemanas, yangdirumuskan Qout = k (T −To),dimana T adalah suhu tangkidan To adalah suhu luar tangkiQtangki = C dT
dt , dimana C
adalah kapasitas panas tangki.
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Permodelan Tangki Pemanas Bahan Cair (PDB Ordo-1)Lanjutan...
Persamaan awal menjadi :C dT
dt = 1R u
2−k (T −To)misalkan x = T −To danp = u2sehinggaC dx
dt =1R p−kx
(C d(T−To)dt = C dT
dt ,karenadTo = 0)dalam bentuk persamaankeadaan menjadidxdt =
1RC p−
kC x
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Model R-L-C Seri (PDB Ordo-2)
Persamaan di�erensial yang menggambarkan rangkaian seri R-L-Cadalah :
R i(t) +Ldi(t)
dt+
1
C
∫i(t)dt = v(t) (5)
dimana R = tahanan, L = induktansi, C = kapasitansi, v(t) =voltase, dan i(t) = arus
Jika kita asumsikan x1(t) =∫i(t)dt dan x2(t) =
dx1(t)dt = i(t),
maka :dx1(t)dt = x2(t)
dx2(t)dt = 1
Lv(t)−RL x2(t)−
1LC x1(t)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Model Seri Beban-Pegas-Kompresor (PDB Ordo-2)
Sistem seri beban-pegas-kompresor dinyatakan dalam persamaandi�erensial berikut :
Md2y(t)
dt2+B
dy(t)
dt+Ky(t) = f (t) (6)
dimana M = massa, B = koe�sien kompresi, K = konstantapegas, f (t) = gaya yang diberikan, y(t) = perpindahan
Dengan asumsi x1(t) = y(t), dan x2(t) =dx1(t)dt , maka
:dx1(t)dt = x2(t)
dx2(t)dt = 1
M f (t)− BM x2(t)− K
M x1(t)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Model Pendulum Terbalik (PDB Ordo-2)
Persamaan di�erensial yang menggambarkan sistem tersebut adalah(Kailath, 1980; Craig, 1986) :
−ml2 d2θ
dt2+(mlg) sin(θ) = τ = u(t) (7)
dimana : m = ; l = panjang pendulum; θ = sudut deviasi darigaris vertikal searah jarum jam, τ = u(t) adalah torsi yangdiberikan pada batang berlawanan arah jarum jam, t = waktu, g =gaya gravitasi
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
Model Pendulum Terbalik (PDB Ordo-2)Lanjutan...
Jika kita asumsikan x1 = θ dan x2 =dθ
dt adalah variabel keadaan,maka representasi persamaan 7 dalam sistem persamaan variabelkeadaan adalah :
dx1dt = x2
dx2dt = (g/l) sin(x1)− (l/ml2)u(t)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
PDB Ordo-3 ke Persamaan Keadaan
(http://en.wikibooks.org/wiki/Control_Systems/State-Space_Equations)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Outline
1 Teori Sistem KontrolModel Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
2 Transformasi LaplaceTeori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
3 Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Transformasi Laplace
De�nition
Transformasi laplace adalah tool yang digunakan untuk mencarisolusi dari sistem persamaan di�erensial linear biasa (ordinary lineardi�erential equations). Dibandingkan dengan metode lainnya,transformasi laplace mempunyai kelebihan sebagai berikut :
1 Persamaan homogen (homogenous equation) dan integraltentu diselesaikan dalam satu operasi
2 Transformasi laplace mengubah persamaan di�erensial menjadipersamaan aljabar dengan variabel independen s. Denganmanipulasi aljabar, persamaan dapat diselesaikan dandikembalikan ke bentuk eksplisit melalui inverse transformasilaplace
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Teori Transformasi Laplace
Jika diberikan sebuah fungsi f (t) yang memenuhi kondisi :∫∞
0 | f (t)e−σt | dt < ∞, untuk beberapa bilangan σ riil terhingga,maka transformasi laplace f (t) dide�nisikan sebagai :F (s) =
∫∞
0 f (t)e−stdt , yang dinotasikan sebagai :
F (s) = L [f (t)] (8)
s adalah variabel kompleks yang dide�nisikan s = s+ jω
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Invers Transformasi Laplace
Untuk transformasi Laplace F (s) yang diberikan, operasi untukmendapatkan f (t) disebut invers transformasi Laplace yangdide�nisikan sebagai f (t) = 1
2πj
∫ c+j∞c−j∞ F (s)estds, dan dinotasikan
sebagai :
f (t) = L −1F (s) (9)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Teorema Penting Transformasi Laplace
Perkalian dengan satu konstanta. Jika k adalah konstanta,maka : L [kf (t)] = kF (s)Penjumlahan dan Penguranganf1(t) → F1(s)f2(t) → F2(s)
, maka L [f1(t)± f2(t)] = F1(s)±F2(s)
Di�erensiasif (t) → F (s)
f (0) → limt→0f (t), maka L
[df (t)dt
]= sF (s)− limt→0f (t)
= sF (s)− f (0)Bentuk umum untuk turunan yang lebih tinggi
L[dnf (t)dtn
]= snF (s)−
limt→0
[sn−1f (t)+ sn−2 df (t)dt + sn−3 d
2f (t)dt + ...+ dn−1f (t)
dt
]atau
L[dnf (t)dtn
]=
snF (s)−[sn−1f (0)+ sn−2f (1)(0)+ sn−3f (2)(0)+ ...+ f n−1(0)
]Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Teorema Penting Transformasi LaplaceLanjutan...
IntegrasiIntegrasi pertama : L
[∫ t0 f (τ)dτ
]= F (s)
s
Integrasi orde ke -n : L[∫ t1
0
∫ t20 ...
∫ tn0 f (τ)dτ
]= F (s)
sn
Pergeseran terhadap waktuL [f (t−T )us(t−T )] = e−TsF (s); dimana us(t−T )menyatakan fungsi satuan yang digeser terhadap waktu kekanan sebesar T
Teorema Nilai Awalf (t) → F (s)limt→0f (t) = lims→∞sF (s) jika limitnya dapat terde�nisi
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Teorema Penting Transformasi LaplaceLanjutan...
Teorema Nilai Akhirf (t)→ F (s)limt→∞f (t) = lims→0sF (s)jika sF (s) analitis pada sumbu imaginer dan berada padabagian kanan bidang s
Pergeseran KompleksL [e±αt f (t)] = F (s±α)
Konvolusi Nyata (Perkalian Kompleks)f1(t) → F1(s)f2(t) → F2(s)
, jika f1(t) = f2(t) = 0 untuk t < 0, maka
F1(s)F2(s) = L [f1(t)∗ f2(t)] = L[∫ t
0 f1(τ)f2(t− τ)dτ]=
L[∫ t
0 f2(τ)f1(t− τ)dτ]
∗= konvolusi dalam domain waktu
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Uraian Pecahan Parsial (Partial-Fraction)
Jika solusi transformasi laplace berbentuk G (s) = Q(s)P(s) , dimana
P(s) dan Q(s) merupakan suku banyak dari dari s. Asumsi bahwaorde P(s) lebih banyak dari Q(s), dimanaP(s) = sn+an−1s
n−1+ ...+a1s+a0, dimana a0, a1, ..., an−1adalahkoe�sien nyata (riil), maka uraian pecahan parsial dapat diberikandalam kasus G (s) dengan a. Pole sederhana, b. Pole orde banyak,c. Pole kompleks sekawan.
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Uraian Pecahan Parsial (Partial-Fraction)a. Pole Sederhana
G (s) = Q(s)P(s) =
Q(s)(s+s1)(s+s2)...(s+sn)
, dimana s1 6= s2 6= ... 6= sn, maka
G (s) dapat ditulis
G (s) =Ks1
s+s1+
Ks2
s+s2+ ...+ Ksn
s+sn, dimana
Ks1 =[(s+ s1)
Q(s)P(s)
]|s=−s1=
Q(−s1)(s2−s1)(s3−s1)...(sn−s1)
Contoh : G (s) = 5s+3(s+1)(s+2)(s+3) ; →G (s) =
K−1s+1
+ K−2s+2
+ K−3s+3
;→K−1 =[(s+1)Q(s)
P(s)
]|s=−1= 5(−1)+3
(2−1)(3−1) =−1,lanjutkan untuk K−2 dan K−3Untuk b. pole orde banyak dan c. pole kompleks sekawan, pelajarireferensi :)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Tabel Transformasi Laplace
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Tabel Transformasi Laplace
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Tabel Transformasi Laplace
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Tabel Transformasi Laplace
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Outline
1 Teori Sistem KontrolModel Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik
2 Transformasi LaplaceTeori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
3 Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace
Penyelesaian Persamaan Di�erensial Biasa Linear
Misal sebuah persamaan di�erensial :d2x(t)dt2
+3 dx(t)dt +2 x(t) = 5us(t), dimana us(t) adalah masukan
fungsi tangga yang dide�nisikan :
us(t) =
{1 t > 0
0 t < 0. Inisial kondisi x(0) =−1 dan
x (1)(0) = dx(t)dt |t=0= 2
Penyelesaian persamaan menjadi :s2X (s)− sx(0)− x (1)(0)+3 sX (s)−3 x(0) +2X (s) = 5
s
X (s) = −s2−s+5s(s+1)(s+2) , dengan ekspansi partial-fraction diperoleh
X (s) = 52s −
5s+1
+ 32(s+2)
dengan inverse transformasi laplace diperoleh :x(t) = 5
2−5 e−t + 3
2e−2t dimana t ≥ 0
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Diagram Blok
Menjabarkan komposisi dan hubungan sistem
Memodelkan seluruh jenis sistem
Digunakan bersama fungsi transfer untuk menjabarkanhubungan sebab akibat keseluruhan sistem
Diagram Blok dasar dari suatu sistem kendali berumpan balikadalah seperti pada gambar :
r(t), R(s) = masukan referensi (perintah), y(t), Y (s) = keluaran(variabel yang dikendalikan), b(t), B(s) = sinyal umpan balik
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Diagram BlokLanjutan...
u(t), U(s) = sinyal penggerak(actuating signal)e(t), E (s) = sinyal error, U(s)ketika H(s) = 1 atauE (s) = R(s)−Y (s)H(s) = fungsi transfer balikanG (s) = fungsi transfer lintasmaju (forward-path)G (s)H(s) = L(s) = fungsitransfer loopM(s) = Y (s)
R(s) = fungsi transfersistem
Y (s) = G (s)U(s);B(s) = H(s)Y (s)Pada KomparatorU(s) = R(s)−B(s); sehinggaY (s) = G (s) (R(s)−B(s))Y (s) = G (s)R(s)−G (s)B(s)= G (s)R(s) −G (s) [H(s)Y (s)]∴Y (s)+Y (s)G (s)H(s) =G (s)R(s)
Y (s) = G(s)R(s)1+G(s)H(s)
M(s) = Y (s)R(s) = G(s)
1+G(S)H(s)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Dari Persamaan Keadaan ke Diagram BlokRangkaian R-C Seri (Sederhana)
Persamaan Rangkaian :vi = i R + 1
C
∫ t0 i dt
dalam persamaan keadaan :i = 1
R
[vi − 1
C
∫ t0 i dt
]Persamaan Output :vo =
1C
∫ t0 i dt
Transformasi laplacepersamaan keadaan danpersamaan outputI (s) = 1
R
[Vi (s)− 1
Cs I (s)]
Vo(s) =1Cs I (s)
Jika digambarkan dalamdiagram blok adalah :
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Dari Persamaan Keadaan ke Diagram BlokRangkaian R-C
Persamaan Sistemvi = i1(t)R1+
1C1
∫ t0 [i1(t)− i2(t)]dt = L =>
Vi (s) = I1(s)R1+1C1s
[I1(s)− I2(s)]
v1 = i2(t)R2+1C2
∫ t0 i2(t)dt =L=> V1(s) = I2(s)R2+
1C2s
I2(s)Variabel Keadaan : i1(t) dan i2(t)Persamaan keadaan yang ditransformasi laplace
I1(s) =1R1
[Vi (s)− 1
C1s(I1(s)− I2(s))
]I2(s) =
1R2
[V1− 1
C2sI2(s)
]; Pers Output : Vo(s) =
1C2s
I2(s)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Dari Persamaan Keadaan ke Diagram BlokRangkaian R-C (Lanjutan..)
Diagram Blok dari sistem tersebut adalah sebagai berikut :
Diagram Blok ini dapat dimodi�kasi atau disederhanakan
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Tabel Modi�kasi Diagram Blok
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Contoh Kasus Modi�kasi Diagram Blok
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Sistem Multi Variabel
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Fungsi Transfer Sistem Multi Variabel
Dalam kendali mesin pesawat baling-baling, kecepatan rotasi mesindan suhu mesin dipengaruhi oleh laju pengaliran bahan bakar dansudut lempeng baling-baling. Apabila persamaan masukan dankeluaran (yang sudah ditransformasi laplace) berbentuk sebagaiberikut :
Y1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s)Y2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s)
(10)
dimana : Y1(s) = Kecepatan rotasi mesin, Y2(s) = Suhu turbin,R1(s) = laju bahan bakar, R2(s) = sudut lempeng baling-balingG11 = fungsi transfer antara laju bahan bakar dan kecepatan rotasimesin pada sudut baling-baling R2(s) = 0
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Fungsi Transfer Sistem Multi VariabelLanjutan...
G12 = fungsi transfer antara sudut lempeng baling-baling dankecepatan rotasi mesin pada laju bahan bakar R1(s) = 0dan seterusnya..dalam bentuk matriks
Y (s) =
[Y1(s)Y2(s)
]; R(s) =
[R1(s)R2(s)
]; G (s) =
[G11 G12
G21 G22
];
dimana Y (s) adalah vektor output, R(s) adalah vektor input, danG (s) adalah matrix fungsi transfer
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Fungsi Transfer Sistem Multi VariabelLanjutan...
Theorem
Apabila terdapat p masukan dan q keluaran, fungsi transfer antara
masukkan ke-j dan keluaran ke-i adalah Gij(s) =Yi (s)Rj (s)
dalam bentuk matrix Y(s) = G(s)R(s)
Y(s) =
Y1(s)Y2(s)...
Yq(s)
; R(s) =
R1(s)R2(s)...
Rp(s)
; maka G(s) harus berorde
p x q untuk persamaan vektor Y(s) = G(s)R(s), dimana
G(s) =
G11(s) G12(s) ... G1p(s)G21(s) G22(s) ... G2p(s)... ... ... ...
Gq1(s) Gq2(s) ... Gqp(s)
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace
Diagram Blok dan Fungsi Transfer
Referensi
Cheng, D.K. 1959. Analysis of Linear System. Addison-Wesley
Kuo, B.C. 1995. Automatic Control System. Prentice Hall Inc.
Ross, T.J. 1997. Fuzzy Logic with Engineering Application.McGraw-Hill Inc
Ardiansyah Permodelan Matematika ...
Recommended