2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

D 题： DVD 在线租赁• 随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元

素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

• 考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD ，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2次，每次获得 3张 DVD 。会员看完 3张 DVD 之后，只需要将 DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

• 网站正准备购买一些新的 DVD ，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些 DVD 的人数（表 1给出了其中 5种 DVD 的数据）。此外，历史数据显示， 60% 的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10万个会员，对表 1中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50% 在一个月内能够看到该 DVD ？如果要求保证在三个月内至少 95% 的会员能够看到该 DVD 呢？

• 表 2中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000位会员的在线订单（表 2的数据格式示例如下表 2，具体数据请从 http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30位会员（即 C0001~C0030 ）分别获得哪些 DVD 。

• 继续考虑表 2，并假设表 2中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95% 的会员得到他想看的 DVD ，并且满意度最大？

• 如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

• 表 1 对 1000 个会员调查的部分结果• DVD 名称 DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5 愿意观看的人数 200100502510

• 表 2 现有 DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）• DVD编号 D001D002D003D004…DVD 现有数量 10401520…会员在线订单 C0001

6000…C00020000…C00030003…C00040000…………………注： D001~D100表示 100 种 DVD, C0001~C1000 表示 1000 个会员 , 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字 0 表示对应的 DVD当前不在会员的在线订单中。

• （注：表 2数据位于文件 B2005Table2.xls中 , 可从 http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载）

2005 年 D题：DVD在线租赁

DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5

愿意看的人数 200 100 50 25 10

DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5

愿意看的人数 20000 10000 5000 2500 1000

问卷调查结果

假设样本 (1000) 能反映总体会员（ 10万）的喜好

（ 1）假设准备第 i种光盘Di张，能保证希望看到该DVD的会员中至少 50%在一个月能够看到该DVD？0.6 0.4 0.6 50%i i i iD D D n

（其中，ni是希望看到第 i种光盘的会员数）

1 1 10.6 0.4 0.6 50% 20000D D D 1 6250D

2 2 20.6 0.4 0.6 50% 10000D D D 2 3125D

3 3 30.6 0.4 0.6 50% 5000D D D 3 1562.5D

4 4 40.6 0.4 0.6 50% 2500D D D 4 781.25D

4 4 40.6 0.4 0.6 50% 2500D D D 5 312.5D

DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5

希望看到该 DVD会员的 50%

10000 5000 2500 1250 500

应准备最小光盘数 6250 3125 1563 782 313

一个月最小的光盘数

（ 1）假设准备第 i种光盘Di张，能保证希望看到该DVD的会员中至少 95%在三个月能够看到该DVD？ 3 0.6 0.4 0.6 95%i i i iD D D n

（其中，ni是希望看到第 i种光盘的会员数） 1 1 13 0.6 0.4 0.6 95% 20000D D D 1 3958.3D

2 2 23 0.6 0.4 0.6 95% 10000D D D 2 1979.1D

3 3 33 0.6 0.4 0.6 95% 5000D D D 3 989.58D

4 4 43 0.6 0.4 0.6 95% 2500D D D 4 494.79D

4 4 43 0.6 0.4 0.6 95% 2500D D D 5 197.9D

DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5

希望看到该 DVD会员的 95%

19000 9500 4750 2375 950

应准备最小光盘数 3959 1980 990 495 198

三个月最小的光盘数

（ 2）表中列出了网站手上 20中 DVD的现有张数和当前处理的 100位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员的满意度最大？

1,

0ij

i j DVDx

i j DVD

第 位会员得到第 种，第 位会员得不到第 种

, 0

10000 0

ij ij

ij ijij

a ac a

a

是表中的数据

，

DVDijc i j表示第 位会员得到第 种 的光盘的不满意程度

100 20

1 1

min ij iji j

c x

100

1

20

1

1 20

. . 3 1 100

0 1 1 100, 1 20

ij ji

ijj

ij

x n j

s t x i

x or i j

出租量不超过存储量

每个人得到 3张

1,

0ij

i j DVDx

i j DVD

第 位会员得到第 种，第 位会员得不到第 种

1, 0

0 0

ijijij ij

ij

aab a

a

是表中的数据，

DVDijb i j表示第 位会员得到第 种 的光盘的满意程度

100 20

1 1

max ij iji j

b x

100

1

20

1

1 20

. . 0 3 1 100

0 1 1 100, 1 20

ij ji

ijj

ij

x n j

s t x or i

x or i j

（ 3）假设表中的DVD的现有数量全部为 0, 如果你是网站经营管理人员，你如何决定购买量如何分配才能使一个月内 95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

100 20

1 1

min ij iji j

c x

100 20

1 1

20

1

100 95% 3 285

. . 0 3 1 100

0 1 1 100, 1 20

iji j

ijj

ij

x

s t x or i

x or i j

““95%95% 的会员得的会员得到他想看的到他想看的 DVDVD” D” ？？ 33 ？？ 66 ？？

             有有 60%60%的会员每月会租的会员每月会租 DVDDVD两次，而另外两次，而另外 4040%%只租一次，只租一次，因此我们假设一月会有两次订单，其因此我们假设一月会有两次订单，其中该表作为第一次订单。中该表作为第一次订单。

1,

0ij

i j DVDy

i j DVD

第一次订单中，第 位会员得到第 种，第一次订单中，第 位会员得不到第 种

（（ 11 ）第一次需求）第一次需求

100 20

1 1

min iji j

y

20

1

100 20

1 1

0 3 1 100

. . 100 95% 3 285

0 1 1 100, 1 20

ijj

iji j

ij

y or i

s t y

y or i j

100 20

1 1

6 1max

11 100 ij iji j

b y

需求量越少越好

总体平均满意百分比最高

每个人得到 3张或没有至少 95%的会员得到

此题有多个可行解，任选 95人，对每人选其偏爱度 123

的 DVD ，分别记录总数

1,

0ij

i j DVDz

i j DVD

第二次订单中，第 位会员得到第 种，第二次订单中，第 位会员得不到第 种

（（ 22 ）第二次需求）第二次需求有 60%的会员有第二次次订单，哪 60位？为了便于符号上的处理，不失一般性，选择前为了便于符号上的处理，不失一般性，选择前 6060人的订单作为第二次订单。人的订单作为第二次订单。因为第一次分配时，偏爱度为 123的 DVD已分配给他们，所以第二次订单中，他们偏爱度 123的应归 0

, 0

1 100, 1 200 1

ij ij

ijij

b yd i j

y

，

60 20

1 1

min iji j

z

20

1

60 20

1 1

0 3 1 60

. . 60 95% 3 171

0 1 1 60, 1 20

ijj

iji j

ij

z or i

s t y

z or i j

60 20

1 1

1 60max

60 37 ij iji j

d z

需求量越少越好

总体平均满意百分比最高

每个人得到 3张或没有至少 95%的会员得到

此题有多个可行解，任选 57人，对每人选其偏爱度 456

的 DVD ，分别记录总数

95 95 57

1 1 1

57 57 95

1 1 1

ij ij iji i i

j

ij ij iji i i

y y z

w

z z y

，

，

每种 DVD的购买量：