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2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目. （请先阅读 “对论文格式的统一要求”）. D 题： DVD 在线租赁. 随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。 - PowerPoint PPT Presentation
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2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）
D 题： DVD 在线租赁• 随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元
素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
• 考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD ，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2次，每次获得 3张 DVD 。会员看完 3张 DVD 之后，只需要将 DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：
• 网站正准备购买一些新的 DVD ，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些 DVD 的人数（表 1给出了其中 5种 DVD 的数据）。此外，历史数据显示， 60% 的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10万个会员，对表 1中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50% 在一个月内能够看到该 DVD ？如果要求保证在三个月内至少 95% 的会员能够看到该 DVD 呢？
• 表 2中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000位会员的在线订单（表 2的数据格式示例如下表 2，具体数据请从 http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30位会员（即 C0001~C0030 ）分别获得哪些 DVD 。
• 继续考虑表 2，并假设表 2中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95% 的会员得到他想看的 DVD ，并且满意度最大？
• 如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
• 表 1 对 1000 个会员调查的部分结果• DVD 名称 DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5 愿意观看的人数 200100502510
• 表 2 现有 DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）• DVD编号 D001D002D003D004…DVD 现有数量 10401520…会员在线订单 C0001
6000…C00020000…C00030003…C00040000…………………注： D001~D100表示 100 种 DVD, C0001~C1000 表示 1000 个会员 , 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字 0 表示对应的 DVD当前不在会员的在线订单中。
• （注：表 2数据位于文件 B2005Table2.xls中 , 可从 http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载）
2005 年 D题：DVD在线租赁
DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
愿意看的人数 200 100 50 25 10
DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
愿意看的人数 20000 10000 5000 2500 1000
问卷调查结果
假设样本 (1000) 能反映总体会员（ 10万）的喜好
（ 1）假设准备第 i种光盘Di张，能保证希望看到该DVD的会员中至少 50%在一个月能够看到该DVD？0.6 0.4 0.6 50%i i i iD D D n
（其中，ni是希望看到第 i种光盘的会员数）
1 1 10.6 0.4 0.6 50% 20000D D D 1 6250D
2 2 20.6 0.4 0.6 50% 10000D D D 2 3125D
3 3 30.6 0.4 0.6 50% 5000D D D 3 1562.5D
4 4 40.6 0.4 0.6 50% 2500D D D 4 781.25D
4 4 40.6 0.4 0.6 50% 2500D D D 5 312.5D
DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
希望看到该 DVD会员的 50%
10000 5000 2500 1250 500
应准备最小光盘数 6250 3125 1563 782 313
一个月最小的光盘数
（ 1）假设准备第 i种光盘Di张，能保证希望看到该DVD的会员中至少 95%在三个月能够看到该DVD？ 3 0.6 0.4 0.6 95%i i i iD D D n
（其中，ni是希望看到第 i种光盘的会员数） 1 1 13 0.6 0.4 0.6 95% 20000D D D 1 3958.3D
2 2 23 0.6 0.4 0.6 95% 10000D D D 2 1979.1D
3 3 33 0.6 0.4 0.6 95% 5000D D D 3 989.58D
4 4 43 0.6 0.4 0.6 95% 2500D D D 4 494.79D
4 4 43 0.6 0.4 0.6 95% 2500D D D 5 197.9D
DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
希望看到该 DVD会员的 95%
19000 9500 4750 2375 950
应准备最小光盘数 3959 1980 990 495 198
三个月最小的光盘数
（ 2）表中列出了网站手上 20中 DVD的现有张数和当前处理的 100位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员的满意度最大？
1,
0ij
i j DVDx
i j DVD
第 位会员得到第 种，第 位会员得不到第 种
, 0
10000 0
ij ij
ij ijij
a ac a
a
是表中的数据
，
DVDijc i j表示第 位会员得到第 种 的光盘的不满意程度
100 20
1 1
min ij iji j
c x
100
1
20
1
1 20
. . 3 1 100
0 1 1 100, 1 20
ij ji
ijj
ij
x n j
s t x i
x or i j
出租量不超过存储量
每个人得到 3张
1,
0ij
i j DVDx
i j DVD
第 位会员得到第 种，第 位会员得不到第 种
1, 0
0 0
ijijij ij
ij
aab a
a
是表中的数据，
DVDijb i j表示第 位会员得到第 种 的光盘的满意程度
100 20
1 1
max ij iji j
b x
100
1
20
1
1 20
. . 0 3 1 100
0 1 1 100, 1 20
ij ji
ijj
ij
x n j
s t x or i
x or i j
（ 3）假设表中的DVD的现有数量全部为 0, 如果你是网站经营管理人员，你如何决定购买量如何分配才能使一个月内 95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
100 20
1 1
min ij iji j
c x
100 20
1 1
20
1
100 95% 3 285
. . 0 3 1 100
0 1 1 100, 1 20
iji j
ijj
ij
x
s t x or i
x or i j
““95%95% 的会员得的会员得到他想看的到他想看的 DVDVD” D” ？？ 33 ？？ 66 ？？
有有 60%60%的会员每月会租的会员每月会租 DVDDVD两次，而另外两次，而另外 4040%%只租一次，只租一次，因此我们假设一月会有两次订单，其因此我们假设一月会有两次订单，其中该表作为第一次订单。中该表作为第一次订单。
1,
0ij
i j DVDy
i j DVD
第一次订单中，第 位会员得到第 种，第一次订单中，第 位会员得不到第 种
（（ 11 ）第一次需求）第一次需求
100 20
1 1
min iji j
y
20
1
100 20
1 1
0 3 1 100
. . 100 95% 3 285
0 1 1 100, 1 20
ijj
iji j
ij
y or i
s t y
y or i j
100 20
1 1
6 1max
11 100 ij iji j
b y
需求量越少越好
总体平均满意百分比最高
每个人得到 3张或没有至少 95%的会员得到
此题有多个可行解，任选 95人，对每人选其偏爱度 123
的 DVD ，分别记录总数
1,
0ij
i j DVDz
i j DVD
第二次订单中，第 位会员得到第 种，第二次订单中，第 位会员得不到第 种
（（ 22 ）第二次需求）第二次需求有 60%的会员有第二次次订单，哪 60位？为了便于符号上的处理，不失一般性，选择前为了便于符号上的处理，不失一般性，选择前 6060人的订单作为第二次订单。人的订单作为第二次订单。因为第一次分配时，偏爱度为 123的 DVD已分配给他们，所以第二次订单中，他们偏爱度 123的应归 0
, 0
1 100, 1 200 1
ij ij
ijij
b yd i j
y
，
60 20
1 1
min iji j
z
20
1
60 20
1 1
0 3 1 60
. . 60 95% 3 171
0 1 1 60, 1 20
ijj
iji j
ij
z or i
s t y
z or i j
60 20
1 1
1 60max
60 37 ij iji j
d z
需求量越少越好
总体平均满意百分比最高
每个人得到 3张或没有至少 95%的会员得到
此题有多个可行解，任选 57人，对每人选其偏爱度 456
的 DVD ，分别记录总数
95 95 57
1 1 1
57 57 95
1 1 1
ij ij iji i i
j
ij ij iji i i
y y z
w
z z y
，
，
每种 DVD的购买量：
