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20151SMatLeccion217H00SOLUCIONyRUBRICA
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Elaborado por @gbaqueri Página 1 de 4
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 1S
LECCIÓN 2 – (17H00) Guayaquil, 25 de mayo de 2015
S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A Tema 1 (25 puntos) Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de la siguiente proposición:
“Si g es inyectiva y f es biyectiva, entonces g ! f( ) es sobreyectiva.” Solución: A continuación se proporciona un contraejemplo: Rúbrica:
Analiza y concluye correctamente que la proposición es falsa. Proporciona un contraejemplo. 20 puntos
mwzyx
dcba
es inyectiva
4321
es biyectiva
dcba
4321
no es sobreyectiva
mwzyx
Elaborado por @gbaqueri Página 2 de 4
Tema 2 (25 puntos) Dado el conjunto 𝑩 = 𝝈,𝝁 y la operación ∗∶ 𝑷 𝑩 ×𝑷 𝑩 → 𝑷 𝑩 definida sobre 𝑷 𝑩 , en donde 𝑷 𝑩 es el conjunto potencia de 𝑩 y ∗ es la operación de diferencia simétrica entre conjuntos: a) Construya una tabla con los resultados de esta operación. b) Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de cada proposición:
i. La operación ∗ es binaria. ii. La operación ∗ cumple con la propiedad conmutativa. iii. La operación ∗ tiene el elemento neutro.
Solución: a) La tabla sería la siguiente:
* ∅ σ{ } µ{ } B
∅ ∅ σ{ } µ{ } B
σ{ } σ{ } ∅ µ,σ{ } µ{ }µ{ } µ{ } µ,σ{ } ∅ σ{ }B B µ{ } σ{ } ∅
b)
i) Se puede observar que ∀a,b∈ P B( ) a*b( )∈ P B( ) , es decir, cumple con la
propiedad de cerradura. ∴ La proposición es VERDADERA.
ii) Se puede observar que ∀a,b∈ P B( ) a*b( ) = b*a( ) , es decir, cumple con la
propiedad conmutativa. ∴ La proposición es VERDADERA.
iii) Se puede observar que ∃ ∅∈ P B( )( )∀a ∈ P B( ) ∅*a( ) = a*∅( ) = a , es
decir, cumple con la propiedad del elemento neutro. ∴ La proposición es VERDADERA.
Rúbrica: a) Construye correctamente cada elemento de la tabla, verifica que la operación cumple
con la propiedad de cerradura y concluye que es binaria. 10 puntos
b) i) Analiza los elementos de la tabla y concluye que la proposición es verdadera. 5 puntos ii) Analiza los elementos de la tabla y concluye que la proposición es verdadera. 5 puntos iii) Analiza los elementos de la tabla y concluye que la proposición es verdadera. 5 puntos
Tema 3 (25 puntos) Utilizando el método de la CONTRARRECÍPROCA, demuestre la siguiente propiedad de los números enteros:
∀𝒎 ∈ 𝒁, 𝑺𝒊 𝒎𝟑 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓,𝒎 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓.
Elaborado por @gbaqueri Página 3 de 4
Solución: La contrarrecíproca de la proposición dada, es:
∀m∈ Z "Si m no es impar, entonces m3 no es impar"
La cual se puede escribir como: ∀m∈ Z "Si m es par, entonces m3 es par" Si m es par → ∃k ∈ !,m = 2k Definición de número par.
→ m3 = 2k( )3 Se eleva al cubo.
→ m3 = 8k 3 Se resuelve la potencia. → m3 = 2 4k 3( ) Se factoriza.
→ ∃p ∈ !,m3 = 2p Se hace p = 4k 3 → m3 es par Lo que queda demostrado.
Se ha demostrado que: ∀m∈ Z "Si m es par, entonces m3 es par" . Por lo tanto, su contrarrecíproca: ∀m∈ Z "Si m3 es impar, entonces m es impar" , también es una proposición verdadera. Rúbrica: Realiza un procedimiento adecuado para la demostración, argumentando cada paso. 25 puntos
Tema 4 (25 puntos)
a) Simplifique la expresión algebraica: 𝒙−𝟏𝒙+𝟐− 𝒙𝟐+𝟐
𝒙−𝒙−𝟐𝒙+𝟏
b) Determine los valores para los cuales no está definida la expresión. c) Evalúe la expresión en 𝒙 = 5. Solución: a) x −1
x + 2− x2 + 2
x − x − 2x +1
=x −1
x + 2− x2 + 2x x +1( )− x − 2( )
x +1
=x −1
x + 2− x2 + 2x2 + 2x +1
=x −1
x + 2− x +1( )
=x −11
= x −1
b) La expresión no está definida para 1−=x
Elaborado por @gbaqueri Página 4 de 4
c) 5−1
5+ 2− 52 + 2
5− 5− 25+1
=4
7− 27
5− 36
=4
7− 2792
=47−6
=41= 4
Rúbrica:
a) Utiliza las propiedades de las fracciones y simplifica. 15 puntos b) Indica el valor para el cual se tiene una división para cero. 2 puntos c) Evalúa la expresión y obtiene el resultado correcto. 8 puntos
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