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ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2015  –  1S  

LECCIÓN  2  –  (17H00)  Guayaquil,  25  de  mayo  de  2015  

 

S  O  L  U  C  I  Ó  N            Y            R  Ú  B  R  I  C  A    Tema  1  (25  puntos)  Justificando  su  respuesta,  determine  el  valor  de  verdad  de   la  siguiente  proposición:    

“Si   g  es  inyectiva  y   f  es  biyectiva,  entonces   g ! f( )  es  sobreyectiva.”    Solución:    A  continuación  se  proporciona  un  contraejemplo:          Rúbrica:  

 Analiza  y  concluye  correctamente  que  la  proposición  es  falsa.  Proporciona  un  contraejemplo.   20  puntos  

 

mwzyx

dcba

 es  inyectiva  

4321

 es  biyectiva  

dcba

4321

 

 no  es  sobreyectiva  

mwzyx

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 Tema   2   (25   puntos)   Dado   el   conjunto  𝑩 = 𝝈,𝝁  y   la   operación  ∗∶ 𝑷 𝑩 ×𝑷 𝑩 → 𝑷 𝑩    definida   sobre  𝑷 𝑩 ,  en   donde  𝑷 𝑩  es   el   conjunto   potencia   de  𝑩  y  ∗  es   la   operación   de  diferencia  simétrica  entre  conjuntos:  a) Construya  una  tabla  con  los  resultados  de  esta  operación.  b) Justificando  su  respuesta,  determine  el  valor  de  verdad  de  cada  proposición:  

i. La  operación  ∗  es  binaria.  ii. La  operación  ∗    cumple  con  la  propiedad  conmutativa.  iii. La  operación  ∗  tiene  el  elemento  neutro.  

Solución:    a) La  tabla  sería  la  siguiente:  

 

* ∅ σ{ } µ{ } B

∅ ∅ σ{ } µ{ } B

σ{ } σ{ } ∅ µ,σ{ } µ{ }µ{ } µ{ } µ,σ{ } ∅ σ{ }B B µ{ } σ{ } ∅

 

 b)  

i) Se  puede  observar  que  ∀a,b∈ P B( ) a*b( )∈ P B( ) ,  es  decir,   cumple  con   la  

propiedad  de  cerradura.  ∴    La  proposición  es  VERDADERA.    

ii) Se  puede  observar  que  ∀a,b∈ P B( ) a*b( ) = b*a( ) ,  es  decir,  cumple  con   la  

propiedad  conmutativa.  ∴    La  proposición  es  VERDADERA.    

iii) Se   puede   observar   que   ∃ ∅∈ P B( )( )∀a ∈ P B( ) ∅*a( ) = a*∅( ) = a ,   es  

decir,  cumple  con  la  propiedad  del  elemento  neutro.  ∴    La  proposición  es  VERDADERA.  

 Rúbrica:    a) Construye  correctamente  cada  elemento  de  la  tabla,  verifica  que  la  operación  cumple  

con  la  propiedad  de  cerradura  y  concluye  que  es  binaria.  10  puntos  

b) i)        Analiza  los  elementos  de  la  tabla  y  concluye  que  la  proposición  es  verdadera.   5  puntos  ii)      Analiza  los  elementos  de  la  tabla  y  concluye  que  la  proposición  es  verdadera.   5  puntos  iii)    Analiza  los  elementos  de  la  tabla  y  concluye  que  la  proposición  es  verdadera.   5  puntos  

   Tema  3  (25  puntos)  Utilizando  el  método  de  la  CONTRARRECÍPROCA,  demuestre  la  siguiente  propiedad  de  los  números    enteros:  

∀𝒎 ∈ 𝒁, 𝑺𝒊  𝒎𝟑  𝒆𝒔  𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓,𝒎  𝒆𝒔  𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓.    

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Solución:    La  contrarrecíproca  de  la  proposición  dada,  es:    

∀m∈ Z "Si m no es impar, entonces m3 no es impar"    

La  cual  se  puede  escribir  como:    ∀m∈ Z "Si m es par, entonces m3 es par"    Si m es par   → ∃k ∈ !,m = 2k   Definición  de  número  par.    

→ m3 = 2k( )3   Se  eleva  al  cubo.  

  → m3 = 8k 3   Se  resuelve  la  potencia.     → m3 = 2 4k 3( )   Se  factoriza.  

  → ∃p ∈ !,m3 = 2p   Se  hace   p = 4k 3     → m3 es par   Lo  que  queda  demostrado.  

 

Se   ha   demostrado   que:   ∀m∈ Z "Si m es par, entonces m3 es par" .   Por   lo   tanto,   su  contrarrecíproca:   ∀m∈ Z "Si m3 es impar, entonces m es impar" ,   también   es   una  proposición  verdadera.    Rúbrica:    Realiza  un  procedimiento  adecuado  para  la  demostración,  argumentando  cada  paso.   25  puntos  

 Tema  4  (25  puntos)      

a) Simplifique  la  expresión  algebraica:   𝒙−𝟏𝒙+𝟐− 𝒙𝟐+𝟐

𝒙−𝒙−𝟐𝒙+𝟏

 

b) Determine  los  valores  para  los  cuales  no  está  definida  la  expresión.  c) Evalúe  la  expresión  en  𝒙  =  5.    Solución:    a)   x −1

x + 2− x2 + 2

x − x − 2x +1

=x −1

x + 2− x2 + 2x x +1( )− x − 2( )

x +1

=x −1

x + 2− x2 + 2x2 + 2x +1

=x −1

x + 2− x +1( )

=x −11

= x −1

 

 b)    La  expresión  no  está  definida  para   1−=x    

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c)    5−1

5+ 2− 52 + 2

5− 5− 25+1

=4

7− 27

5− 36

=4

7− 2792

=47−6

=41= 4  

 Rúbrica:  

 a) Utiliza  las  propiedades  de  las  fracciones  y  simplifica.   15  puntos  b) Indica  el  valor  para  el  cual  se  tiene  una  división  para  cero.   2  puntos  c) Evalúa  la  expresión  y  obtiene  el  resultado  correcto.   8  puntos