View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
2.6. WYBOCZENIE Wyboczeniem pręta prostego ściskanego siłą osiową P nazywamy jego nagłe wygięcie w kierunku prostopadłym do osi podłużnej, zaś sił ą krytyczn ą KP nazywamy siłę, przy której następuje jego wyboczenie. Wyboczenie jest jedną z form utraty stateczności układu mechanicznego, zaś stateczność jest zdolnością tego układu do przeciwstawiania się czynnikom zakłócającym jego stan równowagi.
2.6.1. Wyboczenie sprężyste
Rozważmy pręt prostoliniowy obciążony rosnącą siłą ściskającą P . Jeśli KPP < , pręt znajduje się w stanie równowagi statecznej, zaś jego oś pozostaje prostoliniowa (rys. 1a). Po osiągnięciu przez siłę ściskającą wartości krytycznej KPP = pojawia się stan równowagi chwiejnej, w którym jakakolwiek niewielka przyczyna (wstrząs, przypadkowe uderzenie) powoduje wyboczenie pręta i przejście do stanu równowagi obojętnej charakteryzującej się krzywoliniową osią pręta (rys. 1b). Dalszy, niewielki przyrost siły ściskającej powoduje wyraźne zwiększenie ugięcia pręta i może prowadzić do jego nagłego zniszczenia.
Rys. 1
2.6.2. Siła krytyczna EULERA
Wartość siły krytycznej EK PP ≡ wyznaczymy korzystając z teorii E ULERA wyboczenia pręta sprężystego, przy następujących założeniach upraszczających:
− materiał pręta pracuje w zakresie liniowo-sprężystym (obowiązuje prawo HOOKE’A),
− nie obowiązuje zasada zesztywnienia,
− krzywizna osi ugiętej pręta jest mała,
− kierunek siły ściskającej się nie zmienia,
2
− wpływ sił poprzecznych na siłę krytyczną jest pomijalny,
− wpływ skrócenia pręta na siłę krytyczną jest pomijalny. Z analizy krzywoliniowej postaci osi pręta (rys. 2) wynika, że wyboczenie pręta skutkuje jego zginaniem, przy czym moment zginający w dowolnym przekroju określa zależność ( ) ( )xwPxM E ⋅= (1) gdzie ( )xw jest ugięciem pręta.
Rys. 2 Podstawiając powyższą zależność do równania osi ugiętej pręta (1.11.6) otrzymujemy następujące równanie:
022
2
minmin2
2
=+→⋅−=−= wkdx
wdEI
wPEIM
dxwd E (2)
gdzie
min
2
EIP
k E= (3)
W równaniu (2) występuje minimalny moment bezwładności, gdyż wyboczenie następuje zawsze w kierunku prostopadłym do osi głównej, względem której moment bezwładności jest najmniejszy. Uzupełniając równanie (2) o warunki brzegowe, do wyznaczenia osi ugiętej pręta po jego wyboczeniu dostajemy następujące zagadnienie brzegowe :
( ) ( ) 00
022
2
==
=+
lww
wkdx
wd (4)
którego rozwiązanie ma postać
3
( ) kxBkxAxw cossin += (5) Stałe całkowania A i B wyznaczamy z warunków brzegowych
( )( ) 0sinlub00sin0cos0sin
000cos0sin0
==→=→=⋅+==→=+=
klAklAklklAlw
BBAw
Jeśli 0=A to ( ) 0=xw – co oznacza prostoliniową postać pręta. Jeśli zaś 0sin =kl
,...3,2,1, ==→= nl
nknkl
ππ
Ponieważ rzeczywistą postać osi ugiętej pręta otrzymujemy przy 1=n , więc l
kΠ= .
Podstawiając zatem k do relacji (5) otrzymujemy zależność
( ) xl
Axwπ
sin= (6)
z której wynika, że ugi ęcie osi pr ęta jest określona z dokładnością do stałej A . Podstawiając z kolei k do relacji (3) otrzymujemy sił ę krytyczn ą EULERA określoną następującym wzorem
2min
2
lEI
PE
π= (7)
2.6.3. Wpływ zamocowania na siłę krytyczną. Długość wyboczeniowa
Ponieważ rozwiązanie równania (2) jest zależne od warunków brzegowych, a więc wartość siły krytycznej zależy od sposobu zamocowania pręta. Jeśli rozwiążemy zatem odpowiednie zagadnienia brzegowe w przypadku prętów przedstawionych na rys. 3 b-d
Rys. 3
4
to otrzymamy następujące wartości siły krytycznej:
( ) ( ) ( )2min
2
2min
2
2min
2
5.0,
7.0,
2 l
EIP
l
EIP
l
EIP d
Ec
Eb
E
πππ === (8)
Porównując formuły (7) i (8) widzimy, że można je przedstawić w jednolitej postaci
2min
2
wE l
EIP
π= (9)
gdzie wl oznacza długo ść wyboczeniow ą, zależną od sposobu zamocowania pręta. W rozważanych przypadkach długość ta wynosi odpowiednio lllllw 5.0,7.0,2,= . Ze wzoru (9) wynika, że wartość siły krytycznej zależy od długości pręta, wielkości i kształtu jego przekroju, rodzaju materiału oraz sposobu zamocowania końców pręta. W przypadku różnego sposobu zamocowania pręta w obu kierunkach osi głównych należy wyznaczyć obie wartości siły krytycznej i wybrać mniejszą.
2.6.4. Naprężenie krytyczne. Smukłość pręta
Wartości siły krytycznej i pojawieniu się wyboczenia, czyli utracie stateczności, odpowiada następująca wartość naprężenia krytycznego:
2
2
2
2min
2
2min
2
λπππσ E
lEi
AlEI
AP
ww
EE ==== (10)
gdzie
minilw=λ (11)
oznacza smukło ść pręta.
2.6.5. Zakres ważności wzoru EULERA
Ponieważ pręt pracuje w zakresie liniowo-sprężystym, zatem naprężenia ściskające nie powinny przekraczać granicy proporcjonalności HR . Zatem
( ) HE RE ≤=2
2
λπλσ
Z powyższej nierówności wynika, że wzór EULERA (9) jest ważny tylko w przypadku prętów ściskanych, których smukłość spełnia następujący warunek:
5
grHR
E λπλ =≥ (12)
gdzie grλ oznacza smukło ść graniczn ą pręta. Z powyższej zależności wynika, że
smukłość ta zależy wyłącznie od rodzaju materiału pręta (np. w przypadku stali 100≅grλ ).
2.6.6. Wyboczenie niesprężyste
Z przedstawionego na rys. 4 wykresu zależności ( ) 22 λπλσ EE = – zwanego hiperbol ą EULERA – wynika, że pręty ściskane o smukłości grλλ <<0 ulegają wyboczeniu
niespr ężystemu (pracują w zakresie poza liniowo-sprężystym, gdyż ( ) HgrK R>< λλσ ).
Rys. 4 W takim przypadku nie można ich projektować przy wykorzystaniu wzoru (9), gdyż obliczone z niego wartości siły krytycznej są zbyt duże. Istnieje kilka teorii wyboczenia niesprężystego. Najprostsza z nich, opracowana przez TETMAJERA i J ASIŃSKIEGO, zakłada, że naprężenia krytyczne przy wyboczeniu niespr ężystym można aproksymować następującą prostą (rys. 4): λσ baJT −=− (13) gdzie eJTH RR ≤< −σ , zaś ba, są stałymi, zależnymi od rodzaju materiału. W przypadku wyboczenia niesprężystego sił ę krytyczn ą obliczamy z zależności
APA
PJTJT
JTJT −−
−− =→= σσ (14)
Aproksymacja TETMAJERA-JASINSKIEGO zakłada, że w przypadku prętów, których smukłość
0→λ (prętów krępych) stan graniczny nośności osiągany jest przez uplastycznienie przekroju. Dlatego stałe a i b we wzorze (13) wyznacza się z warunków (rys. 4)
6
( )
( )E
RRRRRbRbRba
Ra
HHe
gr
HeHgregrgrJT
eJT
Π−=−=→=−=−==
===
−
−
λλλλλσ
λσ 0
W przypadku stali 87.33=a kN/cm2, 148.0=b kN/cm2.
2.6.7. Wymiarowanie prętów smukłych ściskanych osiowo
W celu uproszczenia wymiarowania, możliwość wyboczenia prętów smukłych ściskanych osiowo uwzględnia się modyfikując wzór określający naprężenia normalne przy ściskaniu osiowym prętów krępych w następujący sposób
A
Pmw=σ (15)
gdzie wm jest współczynnikiem wyboczeniowym , którego wartości są stabelaryzowane (tab. 1) i podawane w normach konstrukcyjnych.
Tab. 1. Współczynniki wyboczeniowe wm stali
pλλ / 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00
wm 1.12 1.25 1.48 2.00 2.88 3.92 5.12 6.48 8.00
Wartość tego współczynnika zależy od rodzaju materiału pręta oraz wartości wyrażenia
pλλ / , gdzie pλ oznacza smukło ść porównawcz ą. W przypadku konstrukcji stalowych
smukłość tę oblicza się z zależności
R
p
1645=λ (16)
przy czym rc RRR == jest wytrzymałością obliczeniową stali na ściskanie w MPa. Wymiarując pręty smukłe ściskane osiowo sprawdzamy warunek wytrzymało ści
cw R
APm ≤=σ (17)
Z powyższego warunku wynika wielkość dopuszczalnej siły osiowej
w
c
mAR
P = (18)
Przykłady
Przykład 1. W przypadku prętów stalowych o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rys. 3a-d należy wyznaczyć ich smukłość, określić rodzaj wyboczenia (sprężyste czy niesprężyste) oraz wyznaczyć wartość siły krytycznej przy wykorzystaniu wzoru EULERA lub TETMAJERA-JASIŃSKIEGO.
7
Dane: 2224 kN/cm148.0,kN/cm87.33,100,kN/cm1005.2cm,300cm,6 ===⋅==== baElhb grλ
Szukane: KP,λ Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju
cmiA
Ii
bhIIIhbA zy
73.1cm3cm3cm36cm108
cm10812
6612
,cm3666
2min
22
4min2
min
433
min2
==→===
=⋅=⋅====⋅=⋅=
Krok 2. Wyznaczamy smukłość prętów
10017373.1
300300
min
=>===→== gr
aw
aaw cm
cmil
cmll λλ wyboczenie sprężyste
10034773.1
60060030022
min
=>===→=⋅== gr
bw
bbw cm
cmil
cmcmll λλ wyboczenie sprężyste
10012173.1
2102103007.07.0
min
=>===→=⋅== gr
cw
ccw cm
cmil
cmcmll λλ wyboczenie sprężyste
1008773.1
1501503005.05.0
min
=<===→=⋅== gr
dw
ddw cm
cmil
cmcmll λλ wyboczenie niesprężyste
Krok 3. Obliczamy siłę krytyczną
( ) ( ) kNcml
EIPP
aw
aE
aK 243
300
cm108kN/cm1005.214.32
4242
2min
2
=⋅⋅⋅=Π==
( ) ( ) kNcml
EIPP
bw
bE
bK 61
600
cm108kN/cm1005.214.32
4242
2min
2
=⋅⋅⋅=Π==
( ) ( ) kNcml
EIPP
cw
cE
cK 495
210
cm108kN/cm1005.214.32
4242
2min
2
=⋅⋅⋅=Π==
( ) ( ) kNAbaAPP dJT
dJT
dK 756cm36kN/cm87148.087.33 22 =⋅⋅−=−=== −− λσ
Przykład 2. W przypadku prętów stalowych o schemacie statycznym i obciążeniu jak w przykładzie 1 należy wyznaczyć dopuszczalną wartość siły osiowej przy wykorzystaniu wzoru (18). Dane: Patrz przykład 1, 2/5.21215 cmkNMPaRRR rc ==== Szukane: P Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju (patrz przykład 1)
8
cm73.1,cm108 min4
min == iI Krok 2. Wyznaczamy smukłość prętów (patrz przykład 1) 87,121,347,173 ==== dcba λλλλ Krok 3. Obliczamy smukłość porównawczą pλ i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm
45.178.011287
33.208.1112121
1.1810.3112347
74.454.1112173
112215
16451645
=→==
=→==
=→==
=→==
===
dw
p
d
cw
p
c
bw
p
b
aw
p
a
p
m
m
m
m
R
λλλλλλλλ
λ
Krok 4. Obliczamy siłę dopuszczalną
kNcm
kNcm
m
ARP
kNcm
kNcm
m
ARP
kNcm
kNcm
m
ARP
kNcm
kNcm
m
ARP
dw
cd
cw
cc
bw
cb
aw
ca
53445.1
5.2136
33233.2
5.2136
431.18
5.2136
16374.4
5.2136
22
22
22
22
=⋅
==
=⋅
==
=⋅
==
=⋅
==
Warto zauważyć, że razie rozciągania rozważany pręt mógłby przenieść siłę
kNcmkN
cmARPPPP rdcba 7745.2136 22 =⋅=====
Przykład 3. W przypadku stalowego słupa o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rys. P3.1 wyznaczyć pole powierzchni przekroju oraz dobrać typ profilu dwuteowego. Dane: 264 10210210,2,1035350 mNMPaRRmlNkNP c ⋅====⋅== Szukane: A Rozwiązanie Krok 1. Szacujemy wstępnie pole przekroju słupa
9
Rys. P3.1
222
26
4
171017.010210
1035cmm
mN
NRP
ARAP =⋅=
⋅
⋅==→≤= −σ
Krok 2. Przewidując możliwość wyboczenia słupa zwiększamy otrzymaną wartość A ok. trzy razy i z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 260 o następujących charakterystykach geometrycznych:
cmcmicm
cmcm
AI
i
cmIImcmA z
32.239.539.54.53
288
288,104.534.53
2min
22
4min2
min
4min
242
==→===
==⋅== −
Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm
17232.2
4004004222
min
===→==⋅==cmcm
il
cmmmll ww λ
56.451.1114172
114210
16451645 =→==→=== wp
p mR λ
λλ
Sprawdzamy warunek wytrzymałości
MPaRMPamN
mN
APm
cw 21029910299
104.5356.41035
26
24
4
=>=⋅=⋅
⋅⋅= −
Wniosek. Wyznaczone naprężenia przekraczają wytrzymałość obliczeniową stali o ok. 40%. Musimy zatem przyjąć dwuteownik o większym polu powierzchni. Krok 3. Z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 340 o następujących charakterystykach geometrycznych:
cmcmicm
cmcm
AI
i
cmIImcmA z
79.276.776.78.86
674
674,108.868.86
2min
22
4min2
min
4min
242
==→===
==⋅== −
Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm
14379.2
400400
min
===→=cmcm
il
cml ww λ
10
12.325.1114143
114 =→==→= wp
p mλλλ
Sprawdzamy warunek wytrzymałości
MPaRMPamN
mN
APm
cw 21012610126
108.8612.31035
26
24
4
=<=⋅=⋅
⋅⋅= −
Wniosek. Wyznaczone naprężenia są o ok. 40% mniejsze od wytrzymałości obliczeniowej stali. Powinniśmy zatem przyjąć dwuteownik o mniejszym polu powierzchni. Krok 4. Z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 300 o następujących charakterystykach geometrycznych:
cmcmicm
cmcm
AI
i
cmIImcmA z
55.253.653.61.69
451
451,101.691.69
2min
22
4min2
min
4min
242
==→===
==⋅== −
Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm
15755.2
400400
min
===→=cmcm
il
cml ww λ
82.338.1114157
114 =→==→= wp
p mλλλ
Sprawdzamy warunek wytrzymałości
MPaRMPamN
mN
APm
cw 21019410194
101.6982.31035
26
24
4
=<=⋅=⋅
⋅⋅= −
Wniosek. Wyznaczone naprężenia są o ok. 8% mniejsze od wytrzymałości obliczeniowej stali, zatem przyjmujemy przekrój słupa w postaci dwuteownika 300. Przykład 4. Przy jakiej wartości obciążenia q układu prętowego o schemacie statycznym jak na rys. P4.1 nastąpi wyboczenie pręta 1-2 przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowo-sprężystym.
Rys. P4.1 Dane: min,,,,, JJJEEll sbsbsb = ; J oznacza tu moment bezwładności, wskaźnik b – belkę, zaś s – słup
11
Szukane: q Rozwiązanie Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać (a) 01111 =+ PX δδ Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P4.2, rysujemy wykresy PM i 1M oraz
obliczamy współczynniki 11δ i P1δ (pomijamy skrócenie pręta 1-2)
Rys. P4.2
(b)
( )
( ) ( )( )
bb
b
bb
bbb
bb
bb
PP
bb
b
bb
bbb
bb
JElq
JE
llql
lql
JEMM
JEl
JE
lll
JEMM
8
284
26
3
4
22
11
332
21
1111
−=
⋅⋅+⋅
−=×=
=⋅
=×=
δ
δ
Krok 2. Zastępujemy siłę 1X siłą EP , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną
(c) ( )22
1
s
ssE
l
JEPX
Π==
Krok 3. Podstawiamy (b) i (c) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość obciążenia krytycznego Eq
( )
( )( )
( )2
24
2
23
38
083 sb
ssE
bb
bE
s
ss
bb
b
ll
JEq
JElq
l
JEJE
l Π=→=−Π
Przykład 5. Przy jakiej wartości 0>∆T przyrostu temperatury w pręcie 1-2 układu prętowego o schemacie statycznym jak na rys. P5.1 nastąpi jego wyboczenie, przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowo-sprężystym. Dane: Tsbsbsb JJJEEll α,,,,,, min= ; gdzie J jest momentem bezwładności, Tα – współczynnikiem
rozszerzalności cieplnej materiału pręta [1/oC]; wskaźnik b oznacza belkę, zaś s – słup Szukane: T∆
12
Rys. P5.1 Rozwiązanie Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać (a) 01111 =+ TX δδ gdzie (b) 11 NTlsTT ∆= αδ przy czym sT Tl∆α oznacza przyrost długości pręta pod wpływem przyrostu jego temperatury. Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P5.2, rysujemy wykresy 1M i 1N oraz
obliczamy współczynniki 11δ i T1δ (wartość 11δ jest identyczna jak w przykładzie 43)
Rys. P5.2
(c) ( ) ( ) sTsTsTT
bb
b TlTlNTlJE
l ∆−=−∆=∆== αααδδ 1,3 11
3
11
Krok 2. Zastępujemy siłę 1X siłą EP , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną
13
(d) ( )22
1
s
ssE
l
JEPX
Π==
Krok 3. Podstawiamy (c) i (d) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość temperatury krytycznej ET∆
( )
( )( )( )3
32
2
23
30
3 sbbT
bssEsET
s
ss
bb
b
lJE
lJETlT
l
JEJE
l
αα Π=∆→=∆−Π
Przykład 6. Przy jakiej wartości 0>∆ błędu montażowego podpory 1 układu prętowego o schemacie statycznym jak na rys. P6.1 nastąpi wyboczenie pręta 1-2, przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowo-sprężystym.
Rys. P6.1 Dane: min,,,,, JJJEEll sbsbsb = ; J oznacza tu moment bezwładności, wskaźnik b – belkę, zaś s – słup Szukane: ∆ Rozwiązanie Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać (a) 01111 =+ ∆δδ X gdzie (b) 11 N∆=∆δ Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P6.2, rysujemy wykresy 1M i 1N oraz
obliczamy współczynniki 11δ i ∆1δ (wartość 11δ jest identyczna jak w przykładzie 4)
(c) ( ) ( ) ∆−=−∆=∆== ∆ 1,
3 11
3
11 NJE
l
bb
b δδ
Krok 2. Zastępujemy siłę 1X siłą EP , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną
(d) ( )22
1
s
ssE
l
JEPX
Π==
14
Rys. P6.2
Krok 3. Podstawiamy (c) i (d) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość błędu montażowego E∆
( )
( )( )
( )232
2
23
30
3 sbb
bssEE
s
ss
bb
b
lJE
lJE
l
JEJE
l Π=∆→=∆−Π
Zagadnienia na egzamin
1. Zdefiniować i omówić wyboczenie sprężyste i niesprężyste. 2. Wyprowadzić i omówić wzór Eulera; określić zakres jego ważności. 3. Omówić wpływ zamocowania na siłę krytyczną; zdefiniować długość
wyboczeniową, naprężenie krytyczne i smukłość pręta.
Recommended