View
245
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
3 Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Linier Orde-2
dengan Metode Analitis
Bentuk Umum
Persamaan diferensial linier (PD Linier) order 2 memiliki bentuk sebagai berikut:
( ) ( ) ( ) ( )xfyxcyxbyxa =+′+′′
Persamaan di atas menggambarkan PD Linier yang memiliki KOEFISIEN-KOEFISIEN VARIABEL (dalam bentuk fungsi dari variabel ). x
Dalam pembahasan disini, secara umum PD Linier di atas tidak dibahas secara spesifik mengingat permasalahan-permasalahan dalam model matematika teknik kimia yang relatif lebih banyak menggunakan PD Linier dengan KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN (bukan fungsi dari variabel x ), dengan BENTUK LENGKAP sebagai berikut:
( )xfycybya =+′+′′ (I)
dengan a , b , merupakan KOEFISIEN dalam bentuk KONSTANTA c
( )xf merupakan KOEFISIEN yang berbentuk FUNGSI dalam ,
disebut juga sebagai SUKU RUAS KANAN
x
Bila penulisan persamaan (I) di atas dihilangkan SUKU RUAS KANANnya, atau , maka akan terbentuk PD Linier order 2 TANPA SUKU RUAS
KANAN atau disebut juga PERSAMAAN KARAKTERISTIK, sebagai berikut:
( ) 0=xf
0=+′+′′ ycybya (II)
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 1 dari 24)
Teorema Fundamental untuk Penyelesaian secara Analitis
SOLUSI atau INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier order 2 dengan KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN merupakan PENJUMLAHAN dari SOLUSI INTEGRAL KHUSUSnya (spesifik) dan INTEGRAL MENYELURUHnya TANPA SUKU RUAS KANAN.
Teorema fundamental di atas dapat dibuktikan secara lebih jelas pada uraian dan sistematika penyelesaian di bawah ini.
Secara umum, jika merupakan INTEGRAL KHUSUS dari PD Linier (I), maka
akan berlaku juga 0y
( )xfycybya =+′+′′ 000
Dalam hal ini, suatu fungsi sembarang memiliki relasi aljabar antara dan ,
yang dapat dinyatakan sebagai:
u 0y y
uyy += 0
Sehingga PD Linier (I) dapat ditulis sebagai:
[ ] [ ] [ ] ( )xfuycuybuya =++′+′+′′+′′ 000
dan, dengan memperhatikan hipotesis bahwa adalah solusi PD Linier tersebut
secara lengkap, maka berlaku juga persamaan berikut: 0y
0=+′+′′ ucubua
Dalam hal ini, u adalah solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, yang berarti bahwa teorema di atas telah dapat dibuktikan.
Catatan: Teorema ini, secara umum dan menyeluruh, juga berlaku untuk sembarang PD Linier dengan order sembarang.
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 2 dari 24)
A. Solusi Persamaan tanpa Ruas Suku Kedua
Persamaan yang dimaksudkan adalah:
0=+′+′′ ycybya (II)
Himpunan jawab dari persamaan seperti di atas terletak pada ruang vektorial berdimensi 2, yaitu INTEGRAL-INTEGRAL KHUSUS yang BEBAS secara LINIER:
dan sebagai anggota dari PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER order 2
tanpa ruas suku kedua. 1y 2y
JAWAB UMUM dari persamaan di atas adalah:
2211 yCyCy +=
dengan C dan C merupakan konstanta-konstanta riil sembarang (arbitrary). 1 2
Untuk mendapatkan INTEGRAL-INTEGRAL KHUSUS dari persamaan (II) di atas, perlu ditelusuri domain jawabnya pada keadaan yang paling rumit, yaitu pada domain BILANGAN KOMPLEKS:
rxey =
dengan r adalah BILANGAN KOMPLEKS, sehingga:
rxery =′rx2
ery =′′
dan, bila keduanya disubstitusikan ke dalam persamaan (II), akan diperoleh:
( ) 02 =++ rxecrbra
Harga ungkapan tidak pernah berharga nol, karena rxe r merupakan jawab dari PERSAMAAN KARAKTERISTIK order 2 berikut:
02 =++ crbra
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 3 dari 24)
Berdasarkan persamaan karakteristik tersebut di atas, dapat dibedakan 3 macam kemungkinan untuk perolehan JAWAB UMUM, yaitu berdasarkan harga-harga DISKRIMINAN (= b ) dari persamaan karakteristik tersebut. ca42 −
Kemungkinan #1: ( ) 042 >− cab
Ada 2 buah akar bilangan nyata yang berbeda, yaitu dan 1r 2r⇒
⇒ JAWAB UMUMnya adalah: xrxr eCeCy 21 21 +=
Kemungkinan #2: ( ) 042 =− cab
Ada 2 buah akar riil yang sama, yaitu = = 1r 2r ab 2− ⇒
JAWAB UMUMnya adalah: ( )
−+= xabCxCy
2exp21 ⇒
Kemungkinan #3: ( ) 042 <− cab
Ada 2 buah akar BILANGAN KOMPLEKS yang saling BERKONJUGASI, yaitu β±α i (α bagian riil atau nyata, dan β bagian imajiner)
⇒
JAWAB UMUMnya adalah: ( )xCxCey x β+β= α sincos 21 ⇒
Dalam problem-problem FISIKA, lebih sering digunakan JAWAB UMUM berikut: ( )ϕβ+ϕβ= α sinsincoscos xxeCy x , dengan
⇒
=ϕ
=ϕ
2
1
sin
cos
CC
CC atau
+=
=ϕ
22
21
21
2tan
CCCCC
Soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial (tanpa ruas suku kedua) berikut:
1. 065 =+′−′′ yyy
2. 044 =+′+′′ yyy
3. 0=+′+′′ yyy
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 24)
4. 02 =−′+′′ yyy
5. 052 =+′+′′ yyy
6. 069 =+′+′′ yyy , dengan ( ) 30 =y dan ( ) 10 =′y
7. 04 =+′′ yy , dengan ( ) 10 =y dan ( ) 2−=π′y
Jawaban soal-soal latihan:
1. xx eCeCy 32
21 +=
2. ( ) 221
xeCxCy −+=
3.
+= − xCxCey x
23
223
12 sincos atau
ϕ−= − xeCy x
232 cos
4. xx eCeCy 221
−+=
5. ( )xCxCey x 2sin2cos 21 += − atau ( )ϕ−= − xeCy x 2cos
6. ( ) 332 xexy −+=
7. xxy 2sin2cos −=
B. Solusi Persamaan Lengkap dengan Suku Kedua berbentuk POLINOM
Persamaan yang dimaksudkan adalah:
( )xPycybya n=+′+′′
Maka ⇒ Jika c , JAWAB KHUSUSnya berbentuk POLINOM berderajat n 0≠
⇒ Jika dan 0=c 0≠b , JAWAB KHUSUSnya berbentuk POLINOM berderajat (n + 1)
⇒ Jika dan 0=c 0=b , persamaannya menjadi lebih ringkas:
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 24)
( )xPya n=′′ , sehingga JAWAB KHUSUSnya diperoleh dengan cara mengintegrasikan persamaan tersebut 2 kali berturut-turut.
Soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial order 2 berikut:
1. 1322 2 +−=−′+′′ xxyyy
2. 322 2 +−=+′+′′ xxyyy
3. 342 2 +−=′+′′ xxyy
4. 32 −+=′′ xxy
Jawaban soal-soal latihan:
Soal no. 1: Persamaan tanpa ruas suku kedua, dapat ditulis 02 =−′+′′ yyy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah 022 =−+ rr , yang memiliki akar-akar 11 =r dan 22 −=r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:
xxu eCeCy 2
21−+=
Suku ruas kanan merupakan POLINOM berderajat 2, dan konstanta 0≠c , sehingga jawab khusus (= py ) dapat dicari melalui bentuk
polinom berikut: γ+β+α= xxyp
2
Untuk mencari harga-harga koefisien α , β , dan γ , lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:
(– 2) x py a γ−β−α− 222 2 xx (+ 1) x py′ a β−α x2 (+ 1) x py ′′ a α2
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 24)
Sehingga diperoleh KESAMAAN berikut:
( ) 13222222 22 +−=α+β+γ−α+β−+α− xxxx dan,
=α+β+γ−
=α+β−
=α−
122
322
22
45
21
1
−=γ
=β
−=α
sehingga, karena JAWAB UMUM dari PD order 2 tersebut adalah pu yyy += , diperoleh:
45
2122
21 −+−+=
+=
− xxeCeC
yyyxx
pu
Soal no. 2: Persamaan tanpa ruas suku kedua, dapat ditulis 02 =+′+′′ yyy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah 022 =++ rr , yang
memiliki akar-akar BILANGAN KOMPLEKS
±− i
27
21
, atau
21−=α dan
27=β , sehingga:
+= − xCxCey x
u 27
227
12 sincos
Suku ruas kanan merupakan POLINOM berderajat 2, dan konstanta 0≠c , sehingga jawab khusus (= py ) dapat dicari melalui bentuk
polinom berikut: γ+β+α= xxyp
2
Untuk mencari harga-harga koefisien α , β , dan γ , lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:
(+ 2) x py a γ+β+α 222 2 xx
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 24)
(+ 1) x py′ a β+α x2 (+ 1) x py ′′ a α2
Sehingga diperoleh KESAMAAN berikut:
( ) 3222222 22 +−=α+β+γ+α+β+α xxxx dan,
=α+β+γ−=α+β
=α
322122
22
45
23
1
=γ−=β
=α
Karena JAWAB UMUM dari PD order 2 tersebut adalah pu yyy += , maka diperoleh:
45
232
27
227
12 sincos +−+
+= − xxxCxCey x
Soal no. 3: Persamaan tanpa ruas suku kedua, dapat ditulis 02 =′+′′ yy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah ( ) 02 =+rr , yang berarti akar-akarnya berharga 01 =r dan 22 −=r , sehingga:
xu eCCy 2
21−+=
Suku ruas kanan merupakan POLINOM berderajat 2, tetapi konstanta 0=c , sehingga jawab khusus (= py ) hanya dapat dicari melalui
bentuk polinom berderajat 3 berikut: δ+γ+β+α= xxxyp
23
Untuk mencari harga-harga koefisien α , β , γ dan δ , lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:
(0) x py a 0
(+ 2) x py′ a γ+β+α 246 2 xx
(+ 1) x py ′′ a β+α 26 x
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 24)
Sehingga diperoleh KESAMAAN berikut:
( ) 34222646 22 +−=α+β+γ+α+β+α xxxx
dan,
=β+γ−=α+β
=α
322464
16
411
45
61
=γ
−=β
=α
Solusi parsial (khusus) dari PD order 2 tersebut dapat dituliskan sebagai:
xxxyp 4112
453
61 +−=
Karena JAWAB UMUM dari PD order 2 tersebut adalah pu yyy += , maka diperoleh:
xxxeCCy x4
112453
612
21 +−++= −
Soal no. 4: Persamaan diferensial ini tidak memiliki term y dan y′ , karena koefisien-koefisien c dan b berharga nol, sehingga PD tersebut harus diintegrasikan 2 x berturut-turut untuk mendapatkan solusinya:
12
2
3
33 Cxxxy +−+=′
212
34
23
612CxCxxxy ++−+=
Catatan: Solusi-solusi dari PD Linier order 2 ini sangat bergantung pada
konstanta-konstanta c dan b dalam bentuk umumnya.
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 9 dari 24)
C. Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk emx Pn(x)
Persamaan yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:
( )xPeycybya nxm=+′+′′
Analogi dengan penyelesaian pada paragraf (B), ( )xPn sebagai POLINOM dapat digantikan oleh persamaan ( )xzz = , sehingga SOLUSI PARSIALnya dapat
menggunakan persamaan:
zey xmp =
Soal-soal latihan:
Carilah jawab dari persamaan-persamaan diferensial order 2 berikut:
1. xexyyy 322 −=−′−′′
2. ( )16 22 +−=+′−′′ − xxeyyy x
3. ( ) xexxyyy 2244 −=+′−′′
4. xeyyy 232 −=−′+′′
5. xeyyy −=−′−′′ 32
Jawaban soal-soal latihan:
Soal no. 1:
Jika ruas suku kedua dihilangkan, maka persamaannya menjadi 02 =−′−′′ yyy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah
022 =−− rr , yang memiliki akar-akar 21 =r dan 12 −=r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:
xxu eCeCy −+= 2
21
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 10 dari 24)
Dengan memperhatikan suku ruas kanan, maka jawab khusus (= py ) dapat dicari melalui persamaan yang berbentuk:
03 zey x
p−=
Untuk mencari JAWAB dari persamaan (POLINOM) dalam variabel seperti di atas, maka lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:
(– 2) x py a ze x32 −−
(- 1) x py′ a ( )zze x ′+−− − 33
(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′−− 693
KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menjadi persamaan berikut:
( ) xx exzzze 323 107 −− =+′−′′
Term xe 3− tidak berharga nol, untuk sembarang x , sehingga ruas kanan dan kiri dapat dibagi dengan term tersebut, hasilnya:
2107 xzzz =+′−′′
dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas:
100078
100142
101
0 ++= xxz
sehingga ( ) x
p exxy 31000
78100142
101 −++=
Dan, karena pu yyy += , maka JAWAB PD Linier order 2:
( ) xxx exxeCeCy 31000
78100142
101
22
1−− ++++=
z
Soal no. 2:
Dengan analogi yang sama seperti sebelumnya, diperoleh: xx
u eCeCy 32
21 += −
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 11 dari 24)
dengan jawab khusus (= py ) yang berbentuk:
02 zey x
p−=
maka KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan adalah sebagai berikut:
(– 6) x py a ze x26 −−
(- 1) x py′ a ( )zze x ′+−− − 22
(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′−− 442
KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menjadi persamaan berikut:
( ) ( ) xx exxzze 222 15 −− +−=′−′′
dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas:
xxxz125222
5033
151
0 −+−=
sehingga ( ) x
p exxxy 2125222
5033
151 −−+−=
Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2:
( ) xxx exxxeCeCy 2125222
5033
1513
22
1−− −+−++=
Soal no. 3:
Dengan analogi yang sama seperti sebelumnya, untuk DISKRIMINAN sama dengan NOL, diperoleh:
( ) xu eCxCy 2
21 +=
dengan jawab khusus (= py ) yang berbentuk:
02 zey x
p =
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 12 dari 24)
maka KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan adalah sebagai berikut:
(+ 4) x py a ze x24
(– 4) x py′ a ( )zze x ′+− 24 2
(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′+ 442
KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan persamaan diferensial order 2 berikut:
xxz −=′′ 2
dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas: 3
614
121
0 xxz −=
dan ( ) x
p exxy 23614
121 −=
Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut:
( ) xeCxCxxy 221
3614
121 ++−=
Soal no. 4: Penulisan tanpa ruas kanannya adalah 032 =−′+′′ yyy , maka persamaan karakteristiknya adalah 0322 =−+ rr , yang memiliki akar-akar 31 −=r dan 12 =r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:
xxu eCeCy 2
31 += −
Namun, jelas bahwa –2 bukan akar dari persamaan karakteristik di atas, sehingga jawab khususnya (= py ) harus dicari melalui bentuk:
xp ey 2−λ= , dengan λ merupakan konstanta sembarang
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 13 dari 24)
KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan persamaan berikut:
( ) xx ee 22344 −− =λ−λ−λ
dan,
31−=λ
sehingga jawab py di atas adalah:
xp ezy 2
31
0−−==
Karena jawab nyata adalah pu yyy += , maka diperoleh:
xxx eeCeCy 231
23
1−− −+=
Soal no. 5: Penulisan tanpa ruas kanannya adalah 02 =−′−′′ yyy , maka persamaan karakteristiknya adalah 022 =−− rr , yang memiliki akar-akar 11 −=r dan 22 =r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:
xxu eCeCy 3
21 += −
dan, jelas bahwa –1 merupakan akar dari persamaan karakteristik di atas, sehingga jawab khususnya (= py ) dapat dicari melalui bentuk:
zey xp
2−=
maka KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan adalah sebagai berikut:
(– 2) x py a ze x−− 2
(– 1) x py′ a ( )zze x ′+−− −
(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′−− 2
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 14 dari 24)
KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan persamaan diferensial order 2 berikut:
33 =′−′′ zz
dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas: xz −=0
dan x
p exy −−=
Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut:
xxx exeCeCy −− −+= 221
D. Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk A1 cos ωx + B1 sin ωx
Persamaan yang dimaksudkan adalah:
xBxAycybya ω+ω=+′+′′ coscos 11
Jika i ω bukan akar dari persamaan karakteristik, maka jawab khusus (= )
adalah dalam bentuk:
py⇒
xBxAy ω+ω= sincos
Jika i ω merupakan akar dari persamaan karakteristik, maka jawab khususnya (= ) berbentuk persamaan komposit berikut : py
⇒
( )xBxAxy ω+ω= sincos
Soal-soal latihan:
Carilah jawab dari persamaan-persamaan diferensial order 2 berikut:
1. xxyyy 2sin22cos52 +=+′+′′
2. xyy 2cos4 =+′′
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 15 dari 24)
3. ( )xxxyy cos2sin94 −=+′′
4. ( )xxxyy 2sin2cos284 −=+′′
5. xxyy sin4 =+′′
Jawaban soal-soal latihan:
Soal no. 1:
Persamaan tanpa suku ruas kanan, datap dituliskan: 052 =+′+′′ yyy
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah:
0522 =++ rr Akar-akar persamaan karakteristik tersebut merupakan BILANGAN KOMPLEKS terkonjugasi, yaitu:
ir 212,1 ±−= Sehingga jawab umum dari persamaan di atas adalah:
( )xCxCey xu 2sin2cos 21 += −
Perhatikan, argumen cos atau sin (= x2 ) pada suku ruas kanan: bahwa i2 atau iω bukan akar dari persamaan karakteristik. Artinya, kita harus mencari jawab khusus py dalam bentuk:
xBxAyp 2sin2cos += Sehingga konstanta-konstanta A dan B dicari melalui KESAMAAN berikut:
(+ 5) x py a ( )xBxA 2sin2cos5 +× (+ 2) x py′ a ( )xBxA 2cos22sin22 +−× (+ 1) x py ′′ a ( )xBxA 2sin42cos41 −−×
yang berarti: ( ) ( ) xxxBAxBA 2sin22cos2sin42cos4 +=+−++
Untuk menghitung harga konstanta-konstanta A dan B tersebut, susunlah PERSAMAAN LINIER berikut:
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 16 dari 24)
=+−=+
2414
BABA
dan harga-harga
=
−=
176
177
B
A
sehingga xxy p 2sin2cos
176
177 +−=
Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut:
( ) xxxCxCey x 2sin2cos2sin2cos176
177
21 +−+= −
Soal no. 2:
Persamaan tanpa suku ruas kanan, datap dituliskan: 04 =+′′ yy
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah:
042 =+r Akar-akar persamaan karakteristik tersebut merupakan BILANGAN KOMPLEKS terkonjugasi, yaitu:
ir 22,1 ±= Sehingga jawab umum dari persamaan di atas adalah:
xCxCyu 2sin2cos 21 +=
Perhatikan, argumen cos atau sin (= x2 ) pada suku ruas kanan: bahwa i2 atau iω adalah akar dari persamaan karakteristik. Artinya, untuk mencari jawab khusus py dapat digunakan persamaan:
( )xBxAxyp 2sin2cos +=
Dan, konstanta-konstanta A dan B dicari melalui KESAMAAN berikut:
(+ 4) x py a ( )xBxAx 2sin2cos4 +× ( 0 ) x py′ a ( ){
}xBxAxBxAx
2sin2cos2cos22sin2
++0 +−×
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 17 dari 24)
(+ 1) x py ′′ a ( ){}xAxB
xBxAx2sin42cos4
2sin42cos4−+
1 −−×
yang berarti: xxAxB 2cos2sin42cos4 =−
dalam hal ini: 0=A dan
41=B
sehingga
xxy p 2sin4
=
Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut:
xCxxCy 2sin4
2cos 21
++=
Soal no. 3:
Persamaan tanpa suku ruas kanan, datap dituliskan: 04 =+′′ yy
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah:
042 =+r Akar-akar persamaan karakteristik tersebut merupakan BILANGAN KOMPLEKS terkonjugasi, yaitu:
ir 22,1 ±= Sehingga jawab umum dari persamaan di atas adalah:
xCxCyu 2sin2cos 21 +=
yang berarti bahwa i (pada argumen sin atau cos di suku ruas kanan) bukan akar dari persamaan karakteristik. Artinya, untuk mencari jawab khusus py dapat digunakan persamaan dengan bentuk:
( ) ( ) xdxcxbxayp sincos +++=
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 18 dari 24)
PERHATIKAN, bahwa koefisien-koefisien sin dan cos yang terletak dalam kurung, semuanya berbentuk POLINOM order 1, karena SUKU RUAS KANAN dari PD Linier order 2 tersebut juga mengandung polinom dengan derajat yang setara.
Dan, konstanta-konstanta A dan B dicari melalui KESAMAAN berikut:
(+ 4) x py a ( ) ( ){ }xdxcxbxa 2sincos4 +++× ( 0 ) x py′ a ( ) ( ){ }xbxacxdxca sincos0 −−+++× (+ 1) x py′ a ( ) ( ){ }xdxcaxbxac sin2cos2 −−1 +−−×
yang berarti: ( ) ( )
xxxxxadxcxcbxa
cos18sin9sin233cos233
−=−++++
atau 6−=a , 2−=b , 3=c , dan 4−=d
sehingga diperoleh ( ) ( ) xxxxy p sin43cos26 −+−−=
Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut:
( ) ( ) xxxxxCxCy sin43cos262sin2cos 21 −++−+=
Soal no. 4:
Analogi dengan penyelesaian sebelumnya, akar-akar persamaan karakteristik yang sesuai adalah:
ir 22,1 ±= dengan jawab umum dari persamaan di atas adalah:
xCxCyu 2sin2cos 21 +=
yang berarti bahwa i2 (pada argumen sin atau cos pada suku ruas kanan) adalah akar dari persamaan karakteristik, dan, karena suku rruas
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 19 dari 24)
ruas kanan juga telah memiliki POLINOM derajat 1, maka untuk mencari jawab khusus py harus digunakan persamaan dengan bentuk:
( ) ( ) xxdxcxxbxayp 2sin2cos 22 +++= dengan menghitung turunan pertama y′ dan turunan kedua y ′′ , dan mensubstitusikan ke PD asal untuk KESAMAANnya, diperoleh:
( ) ( )xxxx
xbcxaxadxc2sin82cos16
2sin4282cos248−
=−+−+++
yang berarti
1=a , 1=b , 2=c , dan 21−=d
sehingga diperoleh
( ) xxxxxxy p 2sin2
22cos 22
−++=
Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut adalah:
( ) xCxxxCxxy 2sin2
22cos 22
12
+−+++=
Soal no. 5:
Analogi juga dengan penyelesaian-penyelesaian sebelumnya, maka akar-akar persamaan karakteristik yang sesuai adalah:
ir 22,1 ±= dengan jawab umum dari persamaan di atas adalah:
xCxCyu 2sin2cos 21 +=
yang berarti bahwa i (pada argumen sin atau cos pada suku ruas kanan) bukan akar dari persamaan karakteristik, dan, karena suku ruas kanan juga berbentuk POLINOM derajat 1, maka untuk mencari jawab khusus py harus digunakan persamaan dengan bentuk:
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 20 dari 24)
( ) ( ) xdxcxbxayp sincos +++=
Maka jawab PD Linier order 2 tersebut adalah:
xCxCxxxy 2sin2coscossin 2192
31 ++−=
E. Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk emx (A1 cos ωx + B1 sin ωx)
Solusi dan tahapan-tahapan penyelesaiannya analog dengan yang dijelaskan pada paragraf (C), yaitu Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk emx Pn(x).
Persamaan yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:
( )xBxAeycybya xm ω+ω=+′+′′ sincos 11
yang berarti bahwa SOLUSI PARSIALnya dapat menggunakan persamaan pengganti berikut:
zey xmp =
Soal-soal latihan:
Carilah jawab dari persamaan-persamaan diferensial order 2 berikut:
1. xeyyy x cos2932 −=−′−′′ 2. 2244 xeyyy x=+′−′′
Jawaban soal-soal latihan:
Soal no. 1:
Fungsi pengganti yang dapat digunakan untuk solusi disini adalah:
zey xp
−=
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 21 dari 24)
Kemudian, langsung lakukan KESAMAAN ruas suku kiri dan suku kanan berdasarkan persamaan pengganti di atas:
(– 3) x py a { }ze x−×−3
(– 1) x py′ a ( ){ }zze x ′+−×− −1
(+ 2) x py ′′ a ( ){ }zzze x ′′+′−× − 22
Setelah dilakukan penyederhanaan dan dibagi dengan xe− (yang tidak pernah berharga nol), akan diperoleh:
xzz cos2952 =′−′′
Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa i (argumen dari cos ) bukan akar dari karakteristiknya, sehingga jawab khususnya (= py ) harus dicari berdasarkan KESAMAAN berikut:
( 0 ) x pz a { }xBxA sincos0 +× (– 5) x pz′ a { }xAxB sincos5 −×− (+ 2) x pz ′′ a { }xBxA sincos2 −−×
yang diperoleh: ( ) ( ) xxBAxBA cos29sin25cos52 =−+−−
dan kemudian 2−=A dan 5−=B
sehingga diperoleh jawab khusus berikut
( )xxey xp sin5cos2 +−= −
Sedangkan, jawab umum tanpa ruas suku keduanya adalah: xx
u eCeCy −+= 223
1
Maka jawab PD Linier order 2 tersebut adalah:
( ) xxx exxeCeCy −− +−+= sin5cos2223
1
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 22 dari 24)
Soal no. 2:
Fungsi pengganti yang dapat digunakan untuk solusi disini adalah:
zey xp
2=
Dengan melakukan KESAMAAN antara suku ruas kiri dengan ruas kanan dari PD asalnya, diperoleh:
21x
z =′′
setelah diintegralkan, diperoleh
11 Cx
z +−=′
dan kemudian diintegralkan sekali lagi,
21ln CxCxz ++−=
Maka jawab PD Linier order 2 tersebut adalah:
[ ]212 ln CxCxey x ++−=
Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 23 dari 24)
Recommended