30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270°...

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAÉ só o Filé!

Fred Tavares

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAÉ só o Filé!

Fred Tavares

Teorema Fundamental Teorema Fundamental da Trigonometriada Trigonometria

1cossen 22

Demonstração ...Demonstração ...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

θ·

Continuação...Continuação...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

1

Continuação...Continuação...

)θsen θ

cos θ

1

Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :

1cossen 22 C M P Q D

Relações Trigonométricas Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulono Triângulo Retângulo

)θCateto AdjacenteC

ateto Oposto

Hipotenusa

Continuação ...Continuação ...

Cotangente de θ

Secante de θ

Cossecante de θ

Tangente de θ

Cosseno de θ

Seno de θ

Relação no Triângulo Retângulo

Ente Trigonométrico

HICO

sen

HICA

cos

COHI

sen1

seccos

CACO

tg

CAHI

cos1

sec

COCA

tg1

gcot

Na Circunferência Na Circunferência TrigonométricaTrigonométrica

)θ cos

sen

0

sen θ

cos θ

·

tg

tg θ

Continuação ...Continuação ...

)θ0

·

cotg cotg θ

secante θ

cossec θ

Arcos NotáveisArcos Notáveis

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

rad 06

4

3

2

3

22

seno 02

1

2

2

2

31 0 - 1 0

cosseno 12

3

2

22

10 - 1 0 1

tangente

cos

sen 03

31 3 - - - 0 - - - 0

Tabela de Entes Trigonométricos ...

Vamos pensar . . .

?

Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?

Observem a figura ao lado

1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

c

b

hip

.o.csen

2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o cos vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/bc

a

hip

.a.ccos

3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c a

b

.a.c

.o.ctg

4) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a cotg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c b

a

.o.c

.a.cgcot

5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg vale:

a) 1/a

b) 1/c

c) 1/b

d) 0

e) 1 1.o.c

.a.c.

.a.c

.o.c

gcot.tg

6) Se a = 3b, podemos dizer então, que

sen2 + cos2 vale:

a) b2 / a2

b) 9c2 / b2

c) 0

d) 1

e) (c2 + b2) / 9a2

Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:

sen2 + cos2 = 1

7) Em relação ao ângulo , podemos dizer que sec2- 1 vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 1

22

22

cos

1sec

cos

1sec

olog,cos

1sec

22

2

2

2

2

22 tg1sec

cos

sen

cos

cos11

cos

11sec

22

22

cos1sen

1cossen

22 tg1sec

8) Em relação ao ângulo , podemos dizer que cossec2- 1 vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 1

22

22

sen

1seccos

sen

1seccos

olog,sen

1seccos

22

2

2

2

2

22 gcot1seccos

sen

cos

sen

sen11

sen

11seccos

22 gcot1seccos

9) Se sen b/c, então, calculando o valor de

chegaremos a:

a) a/c

b) b/c

c) a/b

d) b/a

e) 1

cos

11.)cos1(.gcoty

Procure sempre partir da relação fundamental

Resposta na outra folha

cos

1cos.)cos1(.

sen

cosy

cos

11.)cos1(.gcoty

22

22

cos1sen

1cossen

)coscos1(cos.sen

1y

1cos.)cos1(.sen

1y

2

)cos1(.sen

1y 2

2sen.sen

1y

c

by

seny

Voltando

para a parte teórica...

Lei dos SenosLei dos Senos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

Lei dos CossenosLei dos CossenosSeja um triângulo ABC qualquer

temos :

Ccosba2bac

ouBcosca2cab

ouAcoscb2cba

222

222

222

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

Gráficos das funções Gráficos das funções trigonométricastrigonométricas

SenóideSenóide

sen x

y

x

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•0° 540°

720°

450°

630°360

°

270°

180°

-180° -90°

•

90°

1

-1

CossenóideCossenóide

cos x

y

x •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

0°

540°

720°450°

630°360°

270°

180°

-180°

-90° 90°

1

-1

TangenteTangente

tg x

y

x •

•

•

•

•

•

•

•

•

0° 360°

-90° 90°180°

270° 450°

540°

630°

CossecanteCossecante

y

x

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

•

90°

1

-1

cossec x

SecanteSecante

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

0°

540°

720°450°

630°360°

270°

180°

-180°

-90° 90°

sec x

y

x

1

-1

Continuação ...Continuação ...

cotg x

y

x •

•

•

•

•

•

•

•

•

0° 360°

90°

180°

270° 450° 540°

630°

720°

Trigonometria

Algumas Aplicações

Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra

Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.

São eles: uma distância

um ângulo

Observe a seguir . . .

hd.tgd

htg

.a.c

.o.ctg

portanto: tg.dh

Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:

metros8675,28h

95773502691,0.50h

30tg.50h

tg.dh

Exemplo 01.

Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

Como poderíamos resolver essa situação?

Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.

Observemos:

6 metros16,4 metros

2 metros

Comprimento total da rampa

solo

6 metros

16,4 metros2 metros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .

2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Temos em relação ao ângulo

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Como:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

121219512195,04,16

2

hip

.o.csen

Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.

Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:

sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo , com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.

Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.

Encontramos assim, a inclinação da rampa!

2,49121219512195,0

6

7sen

6

sen

o.chip

sen

o.chip.o.chip.sen

hip

.o.csen

6 metros

Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que é válido para ambos

2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Como:

Chegamos a conclusão que o

comprimento total da rampa é 49,2 metros

Exemplo 2

Mecânica Geral

ou Trigonometria?

Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N,

F2 = 100N, F3 = 40N e

F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.

Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria

Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F

nos eixos das abscissas e das

ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F

e )y(2F

.

Analogamente, encontraremos as projeções de 3F

, encontrando os componentes )x(3F

e )y(3F

.

A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s

)x(Ré o b t i d a

d a s e g u i n t e m a n e i r a :

)x(31)x(2)x( FFFR

60cos.FFFF.60cosF

F60cos.

hip

a.ccos

45cos.FFFF.45cosF

F45cos.

hip

a.ccos

Como

3)x(3)x(333

)x(3

2)x(2)x(222

)x(2

N20F5,0.4060cos.FF

N70F70,0.10045cos.FFtotanPor

)x(33)x(3

)x(22)x(2

)x(31)x(2)x( FFFR

N70R

202070R

)x(

)x(

A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s

)y(Ré o b t i d a

d a s e g u i n t e m a n e i r a :

)y(34)y(2)y( FFFR

60sen.FFFF.60senF

F60sen.

hip

o.csen

45sen.FFFF.45senF

F45sen.

hip

o.csen

Como

3)y(3)y(333

)y(3

2)y(2)y(222

)y(2

N4,34F86,0.4060sen.FF

N70F70,0.10045sen.FFtotanPor

)y(23)y(3

)y(22)y(2

)y(34)y(2)y( FFFR

N6,25R

4,341070R

)y(

)y(

NFsenFF

NFsenFFtoPor

yy

yy

4,3486,0.4060.

7070,0.10045.tan

)(23)(3

)(22)(2

)y(34)y(2)y( FFFR

N6,25R

4,341070R

)y(

)y(

Colocando )x(R

e )y(R

, nos eixos das abscissas e dasordenadas, respectivamente,

Percebemos que a figura formada pelas forças é umtriângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força

Resultante

R, )x(R

é o cateto adjacente a e )y(R

ocateto oposto a , então, vale o teorema de Pitágoras para

calcularmos o valor de

R.

N53,74R

36,5555R

36,5555R

36,6554900R

6,2570R

RRR

cch

2

2

222

2

)y(

2

)x(

2

222

Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.

P a r a o c á l c u l o d o â n g u l o , t e m o s :

3657,070

6,25

R

R

.a.c

.o.ctg

)x(

)y(

3657,0tg

E s s e é o v a l o r d a t a n g e n t e d o â n g u l o P a r a c a l c u l a r m o s o v a l o r d o â n g u l o ,t e m o s q u e e n c o n t r a r o a r c t g , e n t ã o :

20

3657,0arctgarctg

C o n c l u í m o s e n t ã o q u e a R e s u l t a n t e N53,74R

e f o r m au m â n g u l o 20 c o m o e i x o x .

Desafio !

Mais um Problema Clássico de Vestibular

Questão01. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)

Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13

Solução:

Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

)II(y.3h

y.60tghhy.60tgy

h

.a.c

.o.c60tg

)I()y20(.3

3h

)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(

h

.a.c

.o.c30tg

metros10y

y220yy320y.3)y20(

y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3

3

y.3h)II()y20(.3

3h)I(

Igualando o h das equações ( I ) e (II)

Como

metros17h

10.7,1h

y.3h

30 metros

17 metros para subir a árvore

17 metros para descer da árvore

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:

De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

v = 0,2 m/s

segundos20eutosmin5touutosmin333,5t

60

segundos320tsegundos320

2,0

64t

V

stst.V

t

sV

Portanto

RESUMÃO DE FÓRMULAS

Relações básicas

sen2 α + cos2 α = 1tan α . cot α = 11 + tan2 α = 1 / cos2 α1 + cot2 α = 1 / sen2 α

Relações com quadrantes

Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos:

90 → π/2 180 → π 270 → 3π/2 360 → 2π

sen (90 + α) = + cos α sen (90 − α) = + cos α sen (180 + α) = − sen α sen (180 − α) = + sen αcos (90 + α) = − sen α cos (90 − α) = + sen αcos (180 + α) = − cos α cos (180 − α) = − cos α

RESUMÃO DE FÓRMULAS

tag (90 + α) = − cot α tan (90 − α) = + cot αtan (180 + α) = + tan α tan (180 − α) = − tan αcot (90 + α) = − tan α cot (90 − α) = + tan αcot (180 + α) = + cot α cot (180 − α) = − cot αsen (270 + α) = − cos α sen (270 − α) = − cos αsen (360 + α) = + sen α sen (360 − α) = − sen αcos (270 + α) = + sen α cos (270 − α) = − sen αcos (360 + α) = + cos α cos (360 − α) = + cos αtan (270 + α) = − cot α tan (270 − α) = + cot αtan (360 + α) = + tan α tan (360 − α) = − tan αcot (270 + α) = − tan α cot (270 − α) = + tan αcot (360 + α) = + cot α cot (360 − α) = − cot αsen (−α) = − sen α cos (−α) = + cos αtan (−α) = − tan α cot (−α) = − cot αsen (α ± k 360) = + sen α cos (α ± k 360) = + cos αtan (α ± k 180) = + tan α cot (α ± k 180) = + cot α

O símbolo k significa um número inteiro e positivo.

RESUMÃO DE FÓRMULAS

Relações com soma / diferença de ângulos

sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen βcos (α ± β) = cos α cos β ± sen α sen βtan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ± tan α tan β)cot (α ± β) = (cot α cot β ± 1) / (cot β ± cot α)

Relações com soma / diferença / produto de funções

sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2 . cos (α − β)/2sen α − sen β = 2 cos (α + β)/2 . sen (α − β)/2cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 . cos (α − β)/2cos α − cos β = − 2 sen (α + β)/2 . sen (α − β)/2

a sen x + b cos x = √ (a2 + b2) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se a ≥ 0 ou φ = arctan b/a ± π se a < 0

tan α ± tan β = sen (α ± β) / (cos α cos β)cot α ± cot β = sen (β ± α) / (sen α sen β)sen α sen β = (1/2) cos (α − β) − (1/2) cos (α + β)sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α − β)cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α − β)tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) = − (tan α − tan β) / (cot α − cotβ)cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) = − (cot α − cot β) /(tan α − tan β)cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) = − (cot α − tan β) /(tan α − cot β)

RESUMÃO DE FÓRMULAS

Relações diversas

sen α = 2 sen α/2 . cos α/2cos α = cos2 α/2 − sen2 α/2tan α = sen α / cos αcot α = cos α / sen αsen α = tan α / √(1 + tan2 α)cos α = cot α / √(1 + cot2 α)tan α = sen α / √(1 − sen2 α)cot α = cos α / √(1 − cos2 α)sen α = √(cos2 α − cos 2α)

Relações diversas

cos α = 1 − 2 sen2 α/2tan α = √[ (1/cos2 α) − 1 ]cot α = √[ (1/sen2 α) − 1 ]sen α = √[ (1 − cos 2α) / 2 ]cos α = √[ (1 + cos 2α) / 2 ]tan α = [ √(1 − cos2 α) ] / cos αcot α = [ √(1 − sen2 α) ] / sen αsen α = 1 / √(1 + cot2 α)cos α = 1 / √(1 + tan2 α)sen 2α = 2 sen α cos α

Relações diversas

cos 2α = cos2 α − sen2 αcos 2α = 2 cos2 α − 1cos 2α = 1 − 2 sen2 αtan 2α = 2 tan α / (1 − tan2 α)tan 2α = 2 / (cot α − tan α)cot 2α = (cot2 α − 1) / (2 cot α)cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan αsen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ]cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ]tan α/2 = sen α / (1 + cos α)cot α/2 = sen α / (1 − cos α)tan α/2 = (1 − cos α) / sen αcot α/2 = (1 + cos α) / sen αtan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]

Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso.

Abraços

Fred Tavares

www.nordesttino.comnordesttino@hotmail.com