View
49
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
4.2. Jatkuva jakauma. Kasvatetaan koehenkilöiden määrää Luokkaväliä pienennetään Histogrammin pylväiden kokonaisala = 1. ”todennäköisyysmassaa” yhden pinta-alayksikön verran y = f(x) tiheysfunktio Ala = 1. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
4.2. Jatkuva jakauma
Kasvatetaan koehenkilöiden määrää
Luokkaväliä pienennetään
Histogrammin pylväiden kokonaisala = 1
”todennäköisyysmassaa” yhden pinta-alayksikön verran
y = f(x) tiheysfunktio
Ala = 1
Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio
Funktio f on jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio, jos1) f(x) 0 x R2) f on jatkuva kaikkialla, paitsi ehkä ei äärellisen monessa kohdassa3) Käyrän y = f(x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala = 1
Miten tutkitaan, onko funktio tiheysfunktioTutkitaan, täyttääkö funktio yllä olevat kolme vaatimusta.
E.1. (t.301) E.1. (t.301)
Osoita, että f(x) = ½x (0 x 2) on tiheysfunktio
1) Selvästi f(x) 0, kun 0 x 2
2) Funktio on jatkuva
3) Käyrän y = f(x) ja x akselin väliin jäävä alue on kolmio:
12
12
A
joten ehto (3) toteutuu
1 2
1
½
x
y
½ 2 = 1
2 – 0 = 2
E.2.(t. 307a)E.2.(t. 307a)
Erään jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on 3
2)( axxf
välillä 0 x 3, muualla f(x) = 0
Määritä a.
Alan, jota rajoittavat x- ja y-akseli sekä suorat x = 3 ja y = ax + 2/3 oltava 1
32
)32
3(32
a
A )3
43(
2
3 a 2
2
9 a
122
9a
9
2
12
9
a
a
3
2/3
x
y
3 – 0 = 3
3x+2/3
3
2axy
Tasainen jakaumaKun aina samanpituisella alueella on sama todennäköisyys, on jakauma tasainen.
Merkitään x ~ Tas(a,b)
Tasaisen jakauman tiheysfunktio on vakio sillä välillä [a,b], mille satunnaismuuttujan arvot voivat osua.Tällä välillä on siis funktion arvot 1/(b - a) ts. f(x) = 1/(b - a)(ks. esimerkki 4, sivu 120)
E.3. Satunnaismuuttujan x arvot ovat jakaantuneet tasaisesti välille [2,6]. Mikä on tiheysfunktio?
f(x) = 1/(b - a) = 1/(6 – 2) = ¼ x [2,6]
1 2 3 4 5 6
½
1/4
x
y
4.2.2. Tiheysfunktio ja todennäköisyys4.2.2. Tiheysfunktio ja todennäköisyys
Todennäköisyys P(c x d) on sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y = f(x),
x-akseli sekä suorat y = c ja y = d
E.4.E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0 x 1).
Millä todennäköisyydellä x on a) enintään ½ b) vähintään 0,6?
4
1
2
121
A )
a
½ 1
2
1
x
y
2 ½ = 1
½ – 0 = ½
E.4.E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0 x 1).
Millä todennäköisyydellä x on b) vähintään 0,6?
64,04,02
22,1 A )
b
Vastaus: a) P = ¼ b) P = 0,64
½ 1
2
1
x
y
2 1 = 2
1 - 0,6 = 0,4
2 0,6 = 1,2
Recommended