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4.衛星測地学の基礎 0.地表面(海、陸)、電離層のモニター 1.地心座標系からみた地上観測点の決定 -宇宙空間における三角点(水準点)としての応用― 2.地球重力場の推定・・・衛星の運動からその原動力を知る (惑星) 3.地球回転変動の観測 全ての用途で衛星軌道(位置)が高精度に決定されている必要がある。 1960年代は 10~20mの精度だったが、現在は 1m~1cm(以下) 4.1 衛星軌道力学の基礎 2つの質点Mとmの運動
M: 𝑟! =𝐺𝑀𝑚𝑟! − 𝑟! ! 𝑟! − 𝑟! ①
m: 𝑟! = −𝐺𝑀𝑚𝑟! − 𝑟! ! 𝑟! − 𝑟! ②
M とmの重心の位置ベクトル 𝑟! =!!!!!!!!!!
Mからmの相対ベクトル 𝑟 = 𝑟! − 𝑟! とする ①+②より、
𝑟! =𝑀𝑟! +𝑚𝑟!𝑀 +𝑚 = 0 →等速直線運動
②!− ①
!より
𝑟 = −𝐺(𝑀 +𝑚)
𝑟 ! ③
M>>mより
𝑟 = −𝐺𝑀𝑟 ! ③
人工衛星の運動を記述 ③に左から𝑟をかけて外積をとると、
𝑟×𝑟 + 𝑟×𝐺𝑀𝑟! 𝑟 = 0
一方、!!"
𝑟×𝑟 = 𝑟×𝑟 + 𝑟×𝑟
したがって、!!"
𝑟×𝑣 = 0である。
ここで、 ℎ = 𝑟×𝑣 面積速度
とすると、これは𝑟と𝑣で張られる平面に直交するベクトル →単位質量あたりの角運動量 まとめると、
𝑑𝑑𝑡 ℎ = 0 ℎは一定(角運動量保存)
衛星の運動が空間に固定された平面内で起きる。 時間 dtあたりの面積変化を dsとすると、
ds =12 𝑟×𝑣 𝑑𝑡
ここから、軌道の形を求める。軌道面は2次元なので、この面内で 極座標(r, θ)を設定する。
x = rsinθ, y = rcosθ 時間で微分すると
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃!𝑐𝑜𝑠𝜃
となるので、運動方程式は、
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃!𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝐺𝑀𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟!
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 2𝑟𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃!𝑠𝑖𝑛𝜃 = −𝐺𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟!
軌道面の x軸はどこに設定してもよい。その方向をθ = 0とする。
(𝜃、𝜃はゼロにできない)
𝑟 − 𝑟𝜃! = −𝐺𝑀𝑟! ④
r𝜃 + 2𝑟𝜃 = 0 ⑤
④式で従属変数 rからu = !!へ、独立変数 tからθへ変更する
ℎは z成分のみ h = x𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑟!𝜃 ⑥
④式から 𝑑!𝑢𝑑𝜃! + 𝑢 =
𝐺𝑀ℎ! ④
!
u =1𝑟とする
𝑑𝑢𝑑𝑟 = −
1𝑟! ⑦
tからθへの変更には、⑥より
dt =𝑟!
ℎ 𝑑𝜃 ⑧
dudθ =
𝑑𝑢𝑑𝑟
𝑑𝑟𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑𝜃 = −
1𝑟! ∙ 𝑟 ∙
𝑟!
ℎ = −𝑟ℎ
𝑟 = −ℎ𝑑𝑑𝑡
𝑑𝑢𝑑𝜃 = −ℎ
𝑑𝜃𝑑𝑡
𝑑𝑑𝜃
𝑑𝑢𝑑𝜃 = −ℎ!𝑢!
𝑑!𝑢𝑑𝜃! ⑨
ここで、④’はu′ = u− !"!!とすると、
𝑑!𝑢′𝑑𝜃! + 𝑢′ = 0と同等
u′ = Acos θ−ω ただし、A,ωは実数
u =1𝑟 = A cos 𝜃 − 𝜔 +
𝐺𝑀ℎ! ⑩
これは、楕円の方程式の極座標表現である。 楕円の式
𝜉!
𝑎! +𝜂!
𝑏! = 1 ⑪
Pの位置
ξ = ae+ rcosν, η = rsinν これらを⑪へ代入すると、rに関する2次方程式になり、解くと、
r =𝑎(1− 𝑒!)1+ 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜈 ⑫
θ−ω =ν
A =𝑒
𝑎(1− 𝑒!) ⑬
h = GMa(1− 𝑒!)
ω:近地点引数、ν:真近点離角 a:軌道長半径 e:離心率 i:軌道傾斜角 Ω:昇交点経度 ω:近地点離角 M:平均近点離角 第3法則 楕円の面積 S=πab 公転周期を Pとする。 面積速度は
𝑑𝑠𝑑𝑡 =
12ℎ
よって、
S =𝑑𝑠𝑑𝑡
!
!𝑑𝑡 =
12ℎ𝑃
P =2𝜋𝑎𝑏ℎ =
2𝜋𝑎𝑏𝐺𝑀𝑎(1− 𝑒!)
b = a 1− 𝑒!より、𝑃 =2𝜋𝐺𝑀
𝑎!!
n = !!!
(公転の角速度)平均運動を用いると、
𝑛!𝑎! = 𝐺𝑀 ⑭ 4.2 摂動(Perturbation)を受けるとどうなるか?
𝑟 = −𝐺𝑀𝑟! 𝑟 + 𝑘
𝑘 = 地球の重力の平均 ― 有限の大きさ + (月、太陽から引力/潮汐力)
+(大気抵抗)+(太陽放射)+地球放射 二体問題(ケプラー問題):𝑘 = 0のとき ①3本の2階微分方程式→6個の積分定数(←軌道要素/ケプラー要素) ⇕ 6本の1階微分方程式
𝑑𝑎𝑑𝑡 =
𝑑𝑖𝑑𝑡 =
𝑑𝑒𝑑𝑡 =
𝑑𝛺𝑑𝑡 =
𝑑𝜔𝑑𝑡 = 0,
𝑑𝑀𝑑𝑡 = 𝑛 𝑛 =
𝐺𝑀𝑎!
𝑘 ≠ 0だけど小さいとき 6つの積分定数がゆっくりと時間変化する。 (定数変化法の考え方、微分方程式の解法) 参考 木下宙「天体と軌道の力学」 𝑘のうち最大の効果:地球の偏平度 𝐽! = −𝐶!"
𝑑𝑎𝑑𝑡 =
𝑑𝑒𝑑𝑡 =
𝑑𝑖𝑑𝑡 = 0
𝑑𝛺𝑑𝑡 = −𝐽!
3𝑛𝑅!!
2𝑎! 1− 𝑒! ! 𝑐𝑜𝑠𝑖 軌道面の歳差運動
𝑑𝜔𝑑𝑡 = −𝐽!
3𝑛𝑅!!
4𝑎! 1− 𝑒! ! 1− 5𝑐𝑜𝑠!𝑖 近点引数の歳差運動
𝑑𝑀𝑑𝑡 = 𝑛 + 𝐽!
3𝑛𝑅!!
4𝑎! 1− 𝑒!!!(3𝑐𝑜𝑠!𝑖 − 1)
Langrangeの惑星方程式 昇交点経度Ωは、 0<i<90 → 西向きに摂動 90<i<180 → 東向きに摂動。地球の自転・公転と同じ向き →Ωの移動の観測から、J2などが求まる。 ・なぜ、軌道面が歳差運動か? 回転するコマの角運動量H 軌道面はHと直交する。そこに外力トルクLを与える コマをたたいた時の運動は
𝐿 = 𝑟×𝑓 →Hの向きも変化 人工衛星mに働く地球の重力ポテンシャルV(𝑟)によるトルク𝐿は
𝐿 = 𝑟×𝑚∇𝑉 ∇Vを、𝑟,𝜑, 𝜆を単位ベクトルとする球座標で表すと
∇V = 𝑟𝜕𝑉𝜕𝑟 + 𝜑
1𝑟𝜕𝑉𝜕𝜑 + 𝜆
1𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕𝑉𝜕𝜆
𝐿 = 𝑟×𝑚∇𝑉だから、第一項は𝐿に寄与しない
V 𝑟 =𝐺𝑀𝑟 1−
𝑅!𝑟
!
𝐽!𝑃! 𝑠𝑖𝑛𝜑
とすると、λには無関係だから、第三項は𝐿に寄与しない。よって、
𝐿 = 𝑟×𝜑1𝑟𝜕𝑉𝜕𝜑 = −𝜆
3𝐺𝑀𝑚𝑅!!
𝑟! 𝐽!𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜆方向へのトルク、公転の角運動量ℎ →コマとの類推で歳差運動となる。 4.3 いろんな人工衛星の軌道 4.3.1 太陽同期軌道 J2摂動による軌道面歳差を利用する。 GM=3.9686×105 km3/s2、 Re=6380km, J2=1.08×10-3
𝑑𝛺𝑑𝑡 = 0.9863 /day
ほぼ1年でΩが 2πになる。 メリット① 全地球をカバー ② 軌道面から見た太陽の方向が一定 →同じ緯度を年中同じ太陽時に通過 →太陽光の反射を利用しやすい 4.3.2 地球同期軌道(以下摂動は考えない)
n =2𝜋
23ℎ56𝑚4𝑠
より、a=42615kmとすれば、地球同期する。
① 静止衛星、e=i=0 たとえば、ひまわり 欠点)高緯度が見にくい ② 8の字衛星 e=0, i≠0 メリット:高緯度でも見える デメリット:片側半球が無駄 ③ 準天頂衛星―みちびき(日本版 GPS衛星)e≠0, i≠0 北半球に遠地点がくるように eを設定 →北半球側の滞在時間が長い →高い仰角(真上に近い)に見える
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