宇宙システム工学 松永

- 1 -

４ 軌道変更（orbital maneuvers）

ロケット

衛星 初期軌道：遷移軌道（transfer orbit）

投入

⇒ 複数回の軌道変更が必要

・ 最終軌道への直接投入が困難

・ 燃料消費の点で最適でない → 最適化（最小化）は重要

推力はインパルス（瞬間的な力積）として近似 ⇒ 速度増分 が重要

4.1 Single Impulse Maneuver

1 回のインパルスのみによる軌道遷移（軌道１： 1O から軌道２： 2O への遷移）

2V

1V

V∆

φ

1V ：変更前速度、 2V ：変更後速度、 V∆ ：速度増分、 φ： 21 VV , のなす角

φcos2 21

2

1

2

2 VVVVV −+=∆=∆ V ，

12 VV −= ， if 0=φ

12 VV += ， if deg180=φ

=2

sin2φ

V ， if VVV == 21

速度は、ケプラー軌道を仮定して、エネルギー保存則 ar

V

22

2 µµ−= を用いて

−=ar

V2

2µµ

+−=

pa rrr

112µ ，

rV

µ= ：円の場合 ( )Pa rrr ==

消費燃料質量の見積： ツオルコフスキーの式

−=∆

0

0 lnm

mIgV sp ， mmm ∆+= 0 ， 0<∆m

から

∆−−=∆

spIg

Vmm

0

0 exp1

例１ 遠点の変更

+−=

+−=

2

2

1

1

112

112

app

p

app

p

rrrV

rrrV

µ

µ

12 pp VVV −=∆

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- 2 -

pr 1ar 2ar

1O

2O

1pV

2pV

この近点での V∆ で、遠点を 1ar から 2ar に変更できる。

同様にして、遠点での V∆ で、近点変更も可能。

例２ 半長径a，離心率eの変更

遠点で V∆ を行う場合：

( )111 1 eara +=

( )

( )

−

+=

−=

+

−=

−=

21121

2

11

1

11

1

2

1

1

12

2

112

1

1

2

112

aeaarV

ea

e

arV

a

a

a

µµ

µµ

1ar

1O

2O

1aV2V

V∆

2β

γ

2V の方向

角運動量 ： 221 cosβVrc a=

半直弦 p ： ( )µ

22

22 1c

eap =−=

⇒ ( )( )21

2

1

2

2

2

222

2

1

1cos

eaV

ea

+

−=

µβ

( ) ( ) ,sincos2

22

2

122 ββ∆ VVVV a +−= V

V

∆β

γ 22sinsin

・=

問 eRaO 5: 11 = ， 7.01 =e ， 6.6378=eR km

eRaO 10: 22 = ， 3.02 =e ， 10000 =m kg ， sec200=spI

必要な消費燃料質量を求めよ。

答 485.11 =aV km/s ， 9078.22 =V km， °= 23.152β

526.1=∆V km/s ， °= 87.30γ ， 1.540=∆m kg

注： 1a ， 1e から任意の 2a ， 2e へ変更できるわけではなく、制限あり。

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- 3 -

2O

1O

V∆

1r

1V

2V2β

1β

任意の位置 1r で１インパルスを行う場合、その場所の軌道 2O での速度について

20

22

12

21

2

2 ra

ar

V≥⇒≥−=

µµ ： 制約条件 1

なお、 ( )1112 1maxmin earrV a +==⇒ ：遠点で最小

軌道 2O の角運動量 ( ) ( )2221

2

22

2

2 cos1 βµ Vreac =−= より、

( ) ( )

( )( )[ ] ( )[ ] 011

21

12

11cos

221221

2

112

2

2

2

2

21

2

1

2

22

2

2

2

1

2

222

2

≤+−−−⇔

−≤−⇔

≤

−

−=

−=

earear

rraea

arr

ea

Vr

ea

µµ

µµβ

212 ap rrr ≤≤⇔ ： 制約条件 2

一方、軌道 1O について、 111 ap rrr ≤≤ ： 制約条件 3

速度増分： ( )2121

2

2

2

1 cos2 ββ∆∆ −−+== VVVVV V ：遠点で最小

例３ 面外変更の例 傾斜角 i

2

sin2i

VV∆

=∆

もし、 °=∆ 60i のとき、 VV =∆ ：大きすぎる → 軌道面変更はできるだけ最小にすべき

例４ 1 インパルスによる面内軌道変更の制約条件（Deutsch 1963）

変更する軌道要素 一定に保つ軌道要素 制約条件

a ω,e 不可能

ω,,ea なし Da

aD −>>+ 11

2

1

ω,e a ( ) 0cos212

1

2

2

1 >−+

ω∆

e

e

e

e

ω,a e '1'12

1 Da

aD −>>+

ea, ω

−±>≥

−± 1

2

12

2

121

2

1 11 ea

ae

a

aee

a

a

e ω,a なし

ω ea, なし

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- 4 -

( )

( )ω∆

ω∆

cos21'

cos2

2

1

2

2

11

21

2

12

2

2

1

2

2

1

a

a

a

aeD

eea

aee

a

aD

−+

=

−+

=

面外軌道変更のための条件式も求められている。

4.2 Muitiple－Impulse Orbit Maneuver

ホーマン遷移（Hohmann Transfer）

1925年 Waler Hohmann

1O

2O

TO

1V∆

2V∆

1r

2r

21 rr < の場合

１）共面の２つの円軌道 21 ,OO について、それぞれの円に接する楕円軌道を遷移軌道として、 1O か

ら 2O に遷移する。具体的には、その楕円軌道の近点（または遠点）で速度増速（減速）を行う。

遷移軌道（Transfer Orbit, TO）

=

=

2

1

rr

rr

a

p

−

+=−=∆ 1

2

21

2

1

11rr

r

rVVV p

µ

+−=−=∆

21

1

2

22

21

rr

r

rVVV a

µ

21 VVV ∆+∆=∆

共面の２つの円軌道間遷移を 2インパルスでは最小燃料（最小 V∆ ）となる。但し、最大半径／最小

半径＜11.8 ： 11.8以上では３インパルスの方が有利。

２）共面共軸の２つの楕円間も同様

2O

1O

TO

1V∆2V∆

遷移軌道（TO）

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- 5 -

=

=

2TO

1TO

aa

pp

rr

rr、

2

21

TO

ap rra

+=

11TO1

1TO1

22

ararVVV

pp

pp

µµµµ∆ −−−=−=

TOTO22

TO22

22

ararVVV

aa

aa

µµµµ∆ −−−=−=

21 VVV ∆+∆=∆

ホーマン遷移が２インパルスでは燃料最小（速度増分が最小）であることの証明(R.Gregory 2006)：

1rr = の円軌道 O1から 2rr = の円軌道 O2に２インパルスで遷移するために、円軌道 O1のある点 P1

から円軌道 O2のある点 P2に遷移する軌道（半長径 a）を考える。点 P1での速度成分（動径方向と横断

方向）をそれぞれ、11 , θvvr とし、同様に点 P1では

22 , θvvr とする。角運動量保存則とエネルギー保存則に

より、

2

2

1

1 θθ vrvr = (1)

( ) ( ) ( ) ( )ar

vv

r

vv rr

22222 2

2222

1

2121 µµµ θθ −=−+=−+ (2)

上式より

1

2

12

θθ vr

rv = (3)

( ) ( ) ( )

−−

−+=

21

21

2

2

2

12122 1121

rrv

r

rvv rr µθ (4)

円軌道 O1、円軌道 O2 の周回速度はそれぞれ 21 /,/ rr µµ だから、点 P1，P2 における速度増分

21 , VV ∆∆ について、

( ) ( ) ( )21

12121 / rvvV r µ∆ θ −+= (5)

( ) ( ) ( )( ) ( )322

112

23

2

2

1

121

2

2

22222

//2/3

/

rrrrrrvv

rvvV

r

r

−−+

−+=

−+=

µµ

µ∆

θ

θ

(6)

式(5),(6)より、問題は、全速度増分21 VVV ∆∆∆ += を最小とする

11 , θvvr を求めることになる。さて、

1

θv を固定したとき、速度増分21 , VV ∆∆ はともに

1

rv の増加関数であるので、遷移軌道が円軌道 O2 に到

着する条件で1

rv を削減させればよい。このとき、次の 2 条件のどちらかを考慮することになる。

a) 01 =rv 、即ち、横断方向に軌道離脱する。

b) 遷移軌道を小さくしていき、 2rr = の円軌道 O2に接するようにする。しかも、1

rv をこれ以上削

減すると 2rr = を満たさなくなるようにする。

条件 a)の場合、点 P1は遷移軌道の近点を意味し、条件 b)の場合、点 P2は遠点を意味する。ここでは、

条件 a)の場合を検討する。条件 b)の場合も同様に検討でき、同じ結果を得る。

点 P1は遷移軌道の近点として、 01 =rv とする。これより簡単に、1

θv を vと書く。遷移軌道は 2rr = に

達しなければいけないので、遷移軌道の長径の長さ 2aは 212 rra +≥ でなければならない。式(2)より、

( )211

22

211

2 2

22 rrr

rv

rrar

v

+≥⇔

+−≥−=−

µµµµ (7)

即ち、一般に v > 0 だから

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- 6 -

( )211

22

rrr

rv

+≥

µ (8)

また、式(5),(6)は

( ) ( )21

21 / rvV µ∆ −= (9)

( ) ( )322

112

23

2

2

1

22 //2/3 rrrrrrvV −−+

−= µµ∆ (10)

12

1 ≤=r

rε とおくと、

( ) εε

+=

+=

1

212,

1211

2

1

3

3

2

2

1

rrrr

r

rr

rより

( )211

2

1

3

2

2

1 21

rrr

r

rr

r

+≤≤ (11)

が成立するので、式(8),(9), (10)より、速度増分21 , VV ∆∆ はともにvの増加関数である。即ち、全速度増

分21 VVV ∆∆∆ += の最小は

( )211

22

rrr

rv

+=

µ (12)

のとき、即ち、遷移軌道の長径が 212 rra += のときに成立して、点 P2は遠点となる。これは即ち、遷

移軌道がホーマン軌道であることを意味する。

4.3 静止軌道への投入

静止衛星の寿命

GTO（geosynchronous transfer orbit）から GEO（geostationary orbit）へ

１週間から４週間、燃料消費 ≈ dry weight

GEOでのミッション（赤道面上の円軌道）

１０年以上， ≈∆m 10%~20% of dry weight

%/year2≈

GTO to GEO

近地点高度： 180=ph ～ 200 km 遠地点高度： 2.35786=ah km

打上基地緯度 ＧＴＯの最小軌道傾度角

Delta(Cape Canaveral) °5.28 °5.28

Ariane(フランス領 Guyana, Kourou) °2.5 °7

m∆ に大きく影響

方法１ 遠地点において

１） 2

sin2:0 1

iVVi a=∆→ ２）

+−=∆→

pcir

p

cir rr

r

rVe

21:0 2

µ

21 VVV ∆+∆=∆

方法２ Combined GTO-to-GEO Maneuver

軌道面内／面外変更を同時に行う： iVVVVV GEOGTOGEOGTOcom cos222 −+=∆

例 kourou °= 7i ， 0m inGTO 2000kg= ， km200=Ph ， sec300=SPI

m/s97.1941 =∆V ， m/s76.14772 =∆V ， m/s73.1672=∆⇒ V ， kg867=∆m

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- 7 -

m/s4.1502=∆ comV ， kg800=∆ comm ， 差 kg67

Cape Canaveral： km/s2.1803=∆ comV ， kg2.916=∆ comm

日本の種子島（緯度 °2.31 ）では？

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- 8 -

5．月・惑星軌道

惑星探査衛星

1962～1981 金星、火星 Mariners2, 4-7（米国）

金星（マリナー9，Ｖiking，Pioneer）：複数フライバイ

1980～ 土星（PioneerⅡ，Voyager（２機））

金星、火星への周回軌道、大気突入、着地（ソ連）

海王星、冥王星（Voyager２）

1989 Galileo（ソーラークルーザー）

2 段 慣性上段ロケット（ＩＵＳ Inertial Upper Stage）

１回のフライバイ、２回の地球フライバイ → 木星

6 年以上の飛行（途中、小惑星帯の GASPRA，IDA探査）

日本のＩＳＡＳ：Muses Ａ，Geotail（月） あすか、のぞみ（火星）

5.1 引力圏（重力圏・作用圏・ヒル圏）

複数の重力天体があるときに、特定の天体による重力（引力）の影響が他の天体よりも卓越する

領域を「引力圏」ないしは、広義の「重力圏」と呼ぶ。ここでは、それをどのように決めるかを考

察する。

5.1.1 ３体問題の運動方程式

質点 ( )3,2,1=imi の位置 iPの位置ベクトルを ir として、万有引力下の運動を考察する。

11rɺɺm 3

31

13313

21

1221

rmGm

rmGm

rrrr −+

−= より

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−+−=

−+−=

−+−=

323

23

2313

13

13

213

12

1233

32

32

133

31

3123

21

21

rrrrr

rrrrr

rrrrr

r

mG

r

mG

r

mG

r

mG

r

mG

r

mG

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

12 rrr −= ， 13 rrρ −= ， ρrrrd −=−= 32

⇒

+−=

−−=

+=

32313

31332

33321

dGmGm

rGm

dGm

Gmr

Gm

dρr

rdr

ρrr

ρ

ρ

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

(1)

3P

2P

1P

r

d

ρ

5.1.2 潮汐力

1m （地球）， 2m （月）， 3m （太陽）：地球周りを公転する月に働く太陽の影響（摂動）を見る。

式(1)の 2式から 1式を引いて

1m （地球）に対する 2m （月）： ( )

+−+−=

33321 ρρdr

rd

Gmr

mmGɺɺ

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- 9 -

ケプラー力 K 摂動力R

Rの力学的意味 月（ 2m ）が 1m ， 3m を結ぶ線上に来たとき、 ρ/ρi −= として

iR

−=

223

11

dGm

ρ

iR・ 0< ( )ρ<d ：月（ 2m ）が太陽（ 3m ）と地球（ 1m ）の間

iR・ 0> ( )ρ>d ：月（ 2m ）が太陽方向と逆側

3P

2P1P2P

RR i

例： 2m を海水， 3m を月， 1m を地球

月の摂動力が海水に働き、満潮、干潮を引き起こす。 ⇒ 潮汐力

さて、摂動力Rをポテンシャルで表現しよう：

r

rρ

rR

∂∂

≡

−

∂∂

=V

dGm

33

1

ρ･

ここで、摂動ポテンシャル Vは次のように定義、変形できる。

−=

−= νκ

ρρρ d

Gm

dGmV 3

33

1 rρ･ ( )

+= ∑

∞

=2

3 cos1k

k

k

PrGm

θρρ

ここに、ρ

κr

= ，ｒｒｒｒとρρρρのなす角をθ , θν cos= , ( ) k

k

kPd

κνρ∑∞

=

=0

， ( ) :νkP ルジャンドル多項式、

特に、 ( ) ( ) ( ) 2/)13(,,1 2

210 −=== ννννν PPP

1<<ρr

であることと、ρはｒｒｒｒに無関係なので、 2=k （主要項）のみを考える。 ( )Tzyx ,,=r ，

( )Tzyx ′′′= ,,ρ と座標表現して、 zzyyxxr ′+′+′==⋅ θρ cosρr より

( )222

33 cos32

1rrGmV −≈ θ

ρ

( ) ( )

++−′+′+′= 2222

23

3 3

2zyxzzyyxx

Gm

ρρ

これより、

−

′=

∂∂

xrxGm

x

V

ρθ

ρcos3

3

3

などが得られるので、摂動力の大きさは次で近似される。

θρ

2

33

222

cos31+=

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

==r

Gmz

V

y

V

x

VR R （２）

摂動力の主要項は、摂動天体( 3m )までの距離 ρの３乗に逆比例し、母天体( 1m )からの距離 rに比例

2cos311 2 <+< θ より １≈+ θ2cos31 として 33 ρr

GmR ≈ とできる。また、

ケプラー力の大きさ2

1

r

GmK ≈ ( )12 mm <<

であることから、

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- 10 -

摂動力とケプラー力の大きさの比

3

1

3

≈

ρr

m

m

K

R （３）

5.1.3 重力圏（Sphere of Gravitation）（狭義）

3m (太陽) > 1m (地球) >> 2m (s/c) とする。慣性系における 2m の運動方程式は式（１）の 2 番目。

1m ， 3m による引力の大きさが等しくなる場所を求める。

3P

2P

1P

Gr

ρ

dr

2=r

GmK 1

1 ，2

33

d

GmK = 31 KK =

⇒ mm

m

d

r≡=

3

1 （４）

2P から 1P ， 3P までの距離の比が一定 ⇒ 2P は（アポロニウスの）円上

円内では 1Pの引力が 3P の引力よりも大きくなるので、円の内部を 1Pの重力圏（狭義の意味で）と呼ぶ

ρm

mCP

+=1

1 ， ρm

mDP

−=1

1 ， ρ2

2

11 m

mOP

−= ，

重力半径 ρρ mm

mrG ≈

−=

21 ( )1<<m （５）

重力圏 1Pを中心として半径 ρm の円 と近似できる。

重力圏の大きさは、質量比の平方根（2 分の 1乗）に比例する。＝＞ 2 分の 1 乗則

例： 太陽・地球系 26=Gr 万 km ＜ 月の軌道半径38万 km ＝＞ 物理的におかしい

重力圏が力学的に意味があるのは、 1P， 3P が空間に静止していると近似できるとき。

実際の地球・月系は一体となって太陽の周りを公転しており、太陽からの力は潮汐力（摂動力）として

作用する。

200

1106.5 3 ≈×= −

K

R

：地球の引力のほぼ 200分の１

5.1.4 作用圏（影響圏）（Sphere of Influence）

3m を中心とする 2m の運動方程式

( )

+−++−=

331332

ρ

ρrdd

rGm

dmmGɺɺ （６）

大きさ 3K 1m による潮汐力（摂動力）

大きさ 3R

1m を中心とする 2m の運動方程式

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- 11 -

( )

−−++−=

333321 ρρdr

rd

Gmr

mmGɺɺ

大きさ 1K 大きさ 1R

1m の作用圏は

3

3

1

1

K

R

K

R≤ (#)

となる領域を言う。つまり、1 と 3 に関して、その地点に働く１によるケプラー力（理想 2 体中心力）

に対する 3による摂動力の比が、その地点に働く 3 によるケプラー力に対する 1による摂動力の比より

も小さいことを意味し、3 による作用が 1 による作用よりも小さいことを表す。

作用圏内に 2P がいるとき、 2P は 1Pの回りを公転し、 3P の影響は摂動力とみなせる。

もっと粗くは、作用圏内にいるとき、 3P の摂動を無視して 1Pの重力のみを考え、

作用圏外にいるとき、 1Pの摂動を無視して 3P の重力のみを考える

⇒ これは、後述する Patched Conic法（惑星間航行のための簡易法）の基礎原理となる。

r>>ρ より

+=−=

+==

2

2

1

3313

2

3

2

33

1

1

ρρ

ρρ

rO

r

Gm

rGmR

rO

Gm

d

GmK

rρ

一方、2

11

r

GmK = ， θ

ρ2

331 cos31+=r

GmR

(#) より ⇒ ( ) 10

12

5

2

3

1 cos31−

+

≤ θ

ρ m

mr ， 1cos31 2 ≈+ θ （７）

作用半径(activity radius) ρ5

2

3

1

=m

mrI （８）

作用圏は、 1Pを中心とした半径 Ir の円で近似できる。作用圏の大きさは、質量比の 5分の 2 乗に比例す

る。＝＞ 5分の 2乗則

例： 地球・太陽系の地球の作用半径は 93万 km ＞ 月の軌道長半径 38.4万 km

月は地球の作用圏の中を運動しているので、作用圏は引力圏として妥当な定義と言える。

表：太陽系惑星の作用半径

惑星 Ir ，AU １AU＝1.4959789 km108× （平均地球公転半径）

水星 00075.0

金星 00411.0

地球 00621.0 ≈ ⊕R145 （93万 km） ＞ ⊕R60 =月軌道長半径(38.4万 km)

火星 00385.0

木星 32220.0

土星 36400.0

天王星 34600.0

海王星 58000.0

冥王星 00056.0

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- 12 -

5.1.5 ヒル圏（Hill 圏、Sphere of Hill）

3P の摂動を受けながら、 1Pの回りを運動している微小質点（ 2P の質量をゼロと近似）が、いつまで

も 1P近傍に留まりうる最大領域（速度ゼロでも滞在できるという意味で、ゼロ速度曲線とも呼ぶ）をヒ

ル圏と言う。近似式は下記のように導かれる。

ヒル半径 ρ3

1

3

1

3

=

m

mrH （９）

Hill 圏の大きさは、質量比の 3 分の 1 の立方根（3 分の 1 乗）に比例する。地球－太陽系における地球

の Hill半径は約 150 万 kmとなる。

一方で、 2P に働く摂動（潮汐）力 1R ，ケプラー力 1K の大きさが等しいときを境界と定めるとき、

332

1

ρr

Gmr

Gm= ⇒ ρ

3

1

3

1

=m

mr

となり、この場合の大きさは質量比の 3分の 1乗に比例する。＝＞ 3分の 1 乗則

7.03

1 3

1

≈

～１なので、Hill圏内では近似的に摂動力はケプラー力より小さい。

「引力圏」の大きさについては、上記のように、いろいろな定義があり、例えば、地球の引力圏につ

ては、3 分の 1 乗則によれば 216 万 km、5 分の 2 乗則による作用圏では 93 万 kmを引力圏の半径とな

るが、Hill 圏として 150 万 km とするのが合理的とする考え方もある。何故なら、無限小の第２天体に

対するラグランジュ点である L1、L2（6.2 節で後述）までの距離は Hill圏半径に等しく、L1、L2 は Hill

圏球面上にあるからである。しかし、明瞭な境界があるわけではないので、ミッションに応じて適切な

定義を選択する。

5.2 パッチドコニックス法 (Patched Conic Method, PCM)

惑星航行軌道を、円錐曲線（円、楕円、双曲線）軌道の貼り付けで近似する方法

宇宙機が地球回りの低高度円パーキング軌道から離脱して惑星に向けて航行することを考える。

仮定１）最小 V∆ ホーマン太陽中心遷移軌道（最小時間経路ではない）（ホーマン型軌道移行）

仮定２）宇宙機と惑星は黄道面にあるとみなす

仮定３）地球や惑星の作用圏は無限大かつ太陽系と比較して無限小（ゼロポイント PCM）

注意：仮定１）の他に、始点と終点および遷移時間を指定したランベール問題（2 点境界値問題の 1

種）の解を用いたランベール型軌道移行として、解く場合もある。

１）適切な時刻（打上ウインドウ）：宇宙機が目標惑星に太陽中心遷移軌道の遠日点で到着

できるための時刻 を設定する。

２）遷移時間 �µ

π3

2

aPT == ，

2

⊗⊕ +=rr

a （１）

３）地球軌道から遷移軌道に変更するために必要な速度： ⊕∞ /v

近日点速度 ⊗⊕⊕ +

−=rrr

Vp��µµ 22

（２）

地球の作用圏は ⊕r に比べ非常に小さいので点とみなす。 ⊕⊕∞ += VvV /p より

⊕⊗⊕⊕⊕⊕∞ −

+−=−=

rrrrVVv p

���µµµ 22

/ （３）

ここで ⊕V は地球公転速度である。

宇宙システム工学 松永

- 13 -

なお、 ⊕∞ /v は双曲線離脱速度（余剰速度）(hyperbolic excess velocity)とも呼ばれ、 HEV とも書く。ま

た、双曲線軌道余剰エネルギー(Excess Energy)：2

/

2

3 ⊕∞=≡ vVC HE と定義して使用される。

４）離脱双曲線の近地点で V∆ 変更がされたとする。

地球回り双曲線軌道のエネルギー方程式

222

2

/2

⊕∞⊕⊕ =−=−=νµνµ

εra

（４）

ここで、作用半径は本来 rIであるが無限遠と考えている。

双曲線近地点速度 p

pr

⊕⊕∞ +=

µνν

22

/ （５）

インパルス速度増分 cp ννν −=∆ ⊕pp rr

⊕⊕⊕∞ −+=

µµν

22

/ （６）

( ) ( )⊕∞⊕∞

⊕∞ >>−≅

−

+=−+= /

2

/2

/

2 if1212

122 νν

ν cc

c

ccc vvv

vvv

注意： 離脱双曲線の長半径a，離心率e

+=

−=−=

⊕

⊕∞

⊕∞

⊕⊕

µ

µεµ

2

/

2

/

1

2

vre

va

p

（７）

半直弦 p，角運動量 c

( )

=

−=

⊕ pc

eap

µ

21 （８）

地球と双曲線の漸近線間の距離d ： dc ∞=ν

漸近線角 ∞θ

=

−=∞

e

e1

2sin

1cos

δ

θ （９）

５）目標惑星⊗での諸量の決定

⊗⊗∞ += VvV /a より

⊗⊕⊗⊗⊗⊗∞ +

−−=−=rrrr

VVv a���

µµµ 22/ （１０）

宇宙機は惑星進行方向より、太陽表側、裏側共に接近可能である。

漸近線距離をd とすると

22

/1

+=

⊗

⊗∞

µν d

e （１１）

宇宙システム工学 松永

- 14 -

一方 ⊗

⊗∞+=µ

ν 2

/1

pre （１２）

近点速度 p

pr

⊗⊗∞ +=

µνν

22

/ （１３）

６）大気抵抗、惑星自転を無視する。

惑星表面に「軟着陸」するのに必要な速度増分：

⊗= Rrp として

⊗

⊗⊗∞⊗ +=∆

R

µνν

22

/

惑星捕獲（Planetary Capture）に必要な速度増分：

惑星回り円軌道に投入

pp rr

⊗⊗⊗∞ −+=∆

µµνν

22

/

，

=∆ ⊗∞

2v

2

/min

v

=

∞

⊗2

2

vrp

µ

例１．200 kmパーキング軌道からホーマン軌道で火星へ

6378=⊕R km，810496.1 ×=⊕r km＝１AU， 523691.1=⊗r AU

2311 /skm1032715.1 ×=

�µ ，

235 /skm1098601.3 ×=⊕µ ，23/skm43058=⊗µ

km3379=⊗R

⇒ days259=T ， km/s729.32=pV ， km/s784.29=⊕V ， km/s945.2/ =⊕∞ν

km/s395.11=pν ， km/s784.7=cν ， km/s612.3=∆ ⊕ν ， km/s13.24=⊗V

km/s48.21=aV ， km/s648.2/ =⊗∞ν ， km/s70.5=∆ ⊗ν

全 km/s3.9=∆ν

例２．金星へ

AU723332.0=⊗r ， km6200=⊗R ，235 /skm10257.3 ×=⊗µ

⇒ days146=T ， 30.27=aV ， 78.29=⊕V ， 48.2/ =⊕∞ν ， 28.11=pν

49.3=∆ ⊕ν ，（双曲線 10.1=e ， deg38.155=∞θ ， deg4.130=δ ）

71.37=pV ， 0.35=⊗V ， 71.2/ =⊗∞ν ， km/s6.10=∆ ⊗ν

5.3 フライバイ、スイングバイ（Flyby, Swingby, Gravity-assist）

惑星の運動を利用して、惑星と宇宙機 s/cの角運動量交換を重力を介して非接触で行い、s/cのエネル

ギーを増加（減少）させる。燃料を消費することなく軌道を大きく変更できるので、特に、深宇宙航行

において有用な軌道制御手法である。

s/cの運動は、惑星中心から見たとき双曲線軌道を描き、その進入速度と脱出速度の大きさは変わらな

いが方向は変更される。太陽中心で見たとき、s/cの速度が変更される。

偏向角δ は、相対接近速さ ⊗∞ /v 、最接近半径 pr 、対象天体の重力定数 ⊗µ を用いて、

⊗⊗∞+==

µ

δ2

/1

11

2sin

vrep

宇宙システム工学 松永

- 15 -

と計算できる。これから次のことが分かる。

１） ⊕∞ /v 、 pr が小さく（大きく）、 ⊕µ が大きい（小さい）と、δ が大きい（小さい）。

この方向の向きは下記で決まる。

後側フライバイ（加速スイングバイ）： Vplanetに沿う向きに変化し、速度増速

前側フライバイ（減速スイングバイ）： Vplanetに対する向きに変化し、速度減少

２）一般に、 pr には対象天体の大きさなどから下限があるので、 ⊕∞ /v 、 pr が与えられた場合、δ に上

限がある。そのため複数回のスイングバイを必要とする場合がある。

軌道制御手法としてのスイングバイの目的は、与えられた要求を満足する軌道に宇宙機を投入するこ

とであり、即ち、スイングバイ後の宇宙機の速度+CS /V を、与えられた要求を満足するように決定する

ことである。一方、スイングバイによる速度変化の本質は、宇宙機の対象天体に対する相対速度 ∞v の

方向変化であるので、実現できる+CS /V もその範囲に拘束される。

スイングバイ設計とは、この拘束のもとで、与えられた要求を満足するような+CS /V を見出す作業で

ある。

−∞v

+∞v

pr

δ

∞θ

∞−=− θπδπ22

planetVplanetV

planetCS VVv −= −−∞ /

planetCS VvV += +∞

+/

−∞

+∞ −= vvv∆

−CS /V −

CS /V

−CS /V

v∆

+CS /V

+∞v

−∞v

v∆

planetV−∞v

−CS /V

−CS /V

planetV

−∞v

+∞v

planetV

+CS /V

+CS /V

planetV

+∞v

+CS /V

−CS /V

v∆

フライバイ（スイングバイ）を利用した軌道計画には、米国 NASA の木星探査機ガリレオ、日本の月

軌道実験衛星ひてん、小惑星探査機はやぶさ、など数多くの事例がある。

宇宙システム工学 松永

- 16 -

6．制限３体問題

最も簡単な設定であるが未だ完全に解明されていない「解析的に解けない」重力問題

円（楕円）制限３体問題：

２体の重い物体が、両者の質量中心回りを円（楕円）運動 ← ２体問題により解ける

第３番目は非常に軽く他に影響なしと仮定する。運動は他の２体の重力場で決まる

⇒ したがって、実際には１体問題を考えていることになる。

1772 Leonard Euler ：月の運動の研究に関して定義（1765 に直線平衡解の存在を証明）

Lagrange ：正三角形平衡解 4L ， 5L の発見

1836 Jacobi ：一つの完全積分の発見

1899 Henri Poincaré ：上記が唯一の運動完全定数であることを証明

この制限問題が単に解かれていないのではなく、実際に閉形式で解けないことを示した。

解は存在するが、初期条件と時間の両方に微分可能な解析関数ではない。解空間は無限に複雑。

実例 ① ② ③

１）太陽－地球－月

２）太陽－木星－小惑星（彗星）

３）地球－ 月－宇宙機 実際は太陽の摂動は無視できない

４）二重連星－惑星 安定な惑星軌道の存在

6.1 運動方程式

回転系{ }e ，円運動

{ } [ ]TTnn 003 eeω ==

( )3

21

D

MMGn

+= （１）

⊳ 地球－月系

23

11 /skm398601== GMµ ，23

22 /skm4887== GMµ ， 21 3045.81 MM =

km384748=D ， km467401215.01 == DD ， km073.38098785.02 == DD

rev/days3.27/1rad/s10661699.2 6 =×= −n

1M2M 1e

2e

1r2r

R

1D2D

D

n

{ }

=

Z

Y

XT

eR ， Rer +−= 111 D ， Rer += 122 D

mの運動方程式

23

2

213

1

1

2

2

d

drr

R

rrt

Iµµ

−−= （２）

ここで、 RωRR

×+=tt

EI

d

d

d

d より { }

−+

−−

=

Z

YnXnY

XnYnX

t

T

I

ɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺɺ

2

2

2

2

2

2

d

de

R （３）

宇宙システム工学 松永

- 17 -

を用いて、運動方程式の{ }e 系成分は下記のようになる。

( ) ( )

−−=

−−=−+

+−

−−=−−

3

2

2

3

1

1

3

2

2

3

1

12

3

2

22

3

1

112

2

2

r

Z

r

ZZ

r

Y

r

YYnXnY

r

DX

r

DXXnYnX

µµ

µµ

µµ

ɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺɺ

（４）

上式にそれぞれ Xɺ ，Yɺ， Zɺ を掛けて加えると

( )[ ]ZZYYXDXr

YYnXXnZZYYXX ɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺɺ ++−−=−−++ 13

1

122 µ ( )[ ]ZZYYXDXr

ɺɺɺ +++− 23

2

2µ

時間積分して

( ) ( ) Crr

YXnZYX =−−+−++2

2

1

1222222

2

1

2

1 µµɺɺɺ ：ヤコビ積分 （５）

または

UC −= 2

2

1ν （６）

2

2

1v ：相対運動エネルギー

( )2

2

1

1222

2

1

rrYXnU

µµ+++= ：擬似ポテンシャル （７）

遠心力ﾎﾟﾃﾝｼｬﾙ 重力ﾎﾟﾃﾝｼｬﾙ

初期状態（その時点での位置と速度）によって、Cの値が決まり、その後の運動においても一定に

なる。ある地点で相対速度ν がゼロになる境界を 0C とすると

CUC <−=0 （８）

質点の運動状態で決まるヤコビ積分値が 0C のとき、その質点は 0CC = を維持しながら運動するが、

ある時刻で質点の相対的速度がゼロになると、その後の相対位置は変わらなくなる。一般に、質点

は、ゼロ相対速度境界（ oC ）よりも大きいCの領域を（相対的に）動く。

6.2 平衡点（ラグランジュ点）

21

2

MM

M

+=ρ ，

21

11MM

M

+=− ρ （９）

（地球－月系： 01215.0=ρ ， 98785.01 =− ρ ）

無次元化： DXx /= ， ( )ntt /1/= など

( )( ) ( )

( )

( )

≡∂∂

=−−

−=

≡∂∂

=−−

−=+

≡∂∂

=−+

−−+−

−=−

z

y

x

Uz

U

r

z

r

zz

Uy

U

r

y

r

yyxy

Ux

U

r

x

r

xxyx

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

1

12

1112

ρρ

ρρ

ρρρρ

ɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺɺ

（１０）

ここで、

( ) 222

1 zyxr ++−= ρ ， ( ) 222

2 1 zyxr ++−+= ρ ， ( )21

22 1

2

1

rryxU

ρρ+

−++= ，

t

xx

d

d=ɺ など

式（１０）の時間微分項＝０、すなわち、 0=== zyx UUU として、宇宙機に働く重力と遠心力

の釣り合う点である平衡点を求める。：

宇宙システム工学 松永

- 18 -

次の５個の平衡点（Lagrange点、libration点）が求まる。

Euler ：３個の直線平衡点（ 1L ， 2L ， 3L ）

Lagrange：２個の正三角形平衡点（ 4L ， 5L ）

1M2M1=D

D D

D D

y

x

1L2L 3L

4L

5L

地球―月系 x y z

1L 83692.0− 0 0 cislunar

2L 15568.1− 0 0 translunar 不安定

3L 00506.1 0 0 trans Earth

4L 48785.0− 2/3 0 正三角形点：安定（他の摂動を無視した時）

5L 〃 2/3− 0 例：太陽－木星系の 4L ， 5L にﾄﾛﾔ小惑星群

6.3 平衡点の安定性

運動方程式の線形化： xxx += 0 ， yyy += 0 ， zzz += 0

但し、 ( )0：平衡点 特に 00 =z このとき 0

000=== zyx UUU

)2(000

OyUxUUU xyxxxx +++=

などより

yUxUyx xyxx 002 +=− ɺɺɺ

yUxUxy yyyx 002 +=+ ɺɺɺ （１１）

zRR

zUz zz

+

−−==

3

2

3

1

0

1 ρρɺɺ

x， y：面内連成振動， z：面外振動（リアプノフ安定）

ここで ( )[ ] ( )[ ]

+−+−=

+−−= −−−−yyxx

RRryyxx

RRr 002

2

3

1

3

2002

1

3

1

3

1 13

1,3

1 ρρ

( ) 22

01 oyxR +−= ρ ， ( ) 2

0

2

02 1 yxR +−+= ρ

に注意して

( ) ( ) ( )

−+−+

−−−−=

5

2

2

0

3

2

5

1

2

0

3

1

0

13

13

111

R

x

RR

x

RU xx

ρρ

ρρ

宇宙システム工学 松永

- 19 -

( )

−+

−−−=

5

2

0

3

2

5

1

0

3

10

31

31

11R

y

RR

y

RU yy ρρ

( ) ( ) ( )5

2

00

5

1

00

0

1313

R

yx

R

yxU xy

ρρ

ρρ

−++

−−=

+

−−=

3

2

3

1

0

1

RRU zz

ρρ

正三角点（ 4L ， 5L ） 121 == RR ，2

10 −= ρx ，

2

30 =y at 4L

=−

−−+

=

−−−−

04

9

2

1

2

332

02

1

2

33

4

32

yxxy

yxyx

ρ

ρ

ɺɺɺ

ɺɺɺ

（１２）

特性方程式 ( ) 014

2724 =−++ ρρλλ

( )2

12711 ρρλ

−−±−±=∴ （１３）

１） 03852.0≤ρ ， ρ≤96148.0 ４個の固有値は純虚数 ⇒ （リアプノフ）安定

２） 96148.003852.0 << ρ 固有値の１つが正の実数 ⇒ 不安定

地－月系： 01215.0=ρ ⇒ 安定（但し、実際は、太陽摂動により不安定）

太－木系：4−10×9.5387=ρ ⇒ 安定（トロヤ惑星群）

直線平衡点（ 1L ， 2L ， 3L ）

( ) 0122 =+−− xyx σɺɺɺ

( ) 012 =−++ yxy σɺɺɺ （１４）

0=+ zz σɺɺ ：面外振動（安定）

但し

01

13

0

3

0

>−+

+−

−=

ρ

ρ

ρ

ρσ

xx

面内振動の特性方程式

( ) ( )( ) 01122 24 =−+−−− σσλσλ （１５）

地－月系 2L 19043.3=σ ， 15863.2±=λ ， 186265.1 −± ：不安定

1L ， 3L も不安定。しかし 1L ， 2L は、地－月系では、月開発（通信衛星、月面ステーション）や、地

－太系では、 1L は太陽観測（太陽風警報を行う宇宙天気予報）などにおいて大変に重要なので、制御に

より安定化する試みがされる。⇒ ハロー軌道（次節の概周期軌道）

6.4 擬周期軌道

直線平衡点回り 0>xxU ， 0<yyU ， 0<zzU を考える。

020=−− xUyx xx

ɺɺɺ

020=−+ yUxy yy

ɺɺɺ （１６）

宇宙システム工学 松永

- 20 -

00=− zUz zz

ɺɺ

面内特性方程式

( ) 04 24 =+−−+ yyxxyyxx UUUU λλ （１７）

yyxx UU −−≡ 42 1β ， yyxxUU≡− 2

2β

:2

2

2

112,1 βββλ ++−±=∴ ＋符号は発散

xyωβββλ 112

2

2

1

2

14,3 −±=++−±= （１８）

xyω ：面内角振動数

面外特性方程式

02 =− zzUλ

zzzU ωλ 116,5 −±=−±=∴ ， zω ：面外角振動数 （１９）

地球－月系， 3809.7:2 =xxUL ， 1904.2−=yyU ， 1904.3−=zzU

15868.22,1 ±=λ ， 14,3 −±=λ ・ 86265.1 ， 16,5 −±=λ ・ 78618.1

周期14.7days days3.15 （月の軌道周期 days3.27 ）

面内運動方程式の状態表示

AXX =ɺ ，

=

y

x

y

x

X

ɺ

ɺ ，

−

=

020

200

1000

0100

yy

xx

U

UA （２０）

iλ に対する右固有ベクトル

( )

−

−=

xxii

i

xxi

i

i

U

Uq

2

2

2

2

2

λλλ

λλ

， 左固有ベクトル ( )

( )

−

−=

iixx

i

yyixx

xxi

i

U

UU

U

p

λλλλ

λ

2

2

2

2

2

( )4321 qqqqQ = ， ( )4321 ppppP =

QAAQ =

TT PAP Λ=

正規直交性： UQPT = ⇒ TPQA Λ= ∑=

i

T

iii pqλ

( ) ( ) ( )∑==∴i

T

ii

tAt XpqeXetX i 00λ

（２１）

初期条件を適正に取って振動モードのみを残す。即ち ( ) ( )000 21 XPXPTT ==

( ) ( )00 yk

xxyω

=∴ ɺ ， ( ) ( )00 xky xyω−=ɺ

91261.22

2

=+

=xy

xxxy Uk

ω

ω at 2L （地－月）

⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+=

−=

+=

tz

tztz

tkxtyty

tk

ytxtx

z

z

z

xyxy

xyxy

ωω

ω

ωω

ωω

sin0

cos0

sin0cos0

sin0

cos0

ɺ

宇宙システム工学 松永

- 21 -

もし、 ( ) ( ) 000 == zx ， ( ) ( ) zyz ω00 −=ɺ のとき

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

−=

=

=

tytz

tyty

tk

rtx

z

xy

xy

ωω

ω

sin0

cos0

sin0

基準リサジュー軌道

=z

xy

ω

ω有理数のとき軌道は閉じて周期的となる。⇒ ハロー軌道(halo orbit) 但し、制御が必要。

地球―月系の実利用には、月軌道の離心率 )05490.0( =e の影響を加味する。このとき、楕円制限３

体問題を取り扱うことになる。