View
77
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
5 KONUM VEKTÖRÜ. M.Feridun Dengizek. Uzayda koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık ve yönün tayin edilebilmesi için konum vektörü kullanılır. Eğer sadece bir noktanın koordinatı biliniyorsa konum vektörü ordinat (0,0,0) noktasından bu noktaya çizilen vektör ile ifade edilir. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
5KONUM VEKTÖRÜ
M.Feridun Dengizek
Konum Vektörü
• Uzayda koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık ve yönün tayin edilebilmesi için konum vektörü kullanılır.
• Eğer sadece bir noktanın koordinatı biliniyorsa konum vektörü ordinat (0,0,0) noktasından bu noktaya çizilen vektör ile ifade edilir.
• Konum vektörlerinde yükseklik genellikle z exseninde ifade edilir. (sağ el kuralına uygun)
• Konum vektörlerinin birimi metre (m) dir
KONUM VEKTÖRÜ NOTASYONUEğer uzaydaki noktalardan biri A(x,y,z) olarak
belirlenmiş ise bu noktanın konum vektörü
rA =xA i+yA j+zA k F 5.1
Diğer B noktasının konum vektörü
rB =xB i+yB j+zB k
A noktasından B noktasına çizilecek konum vektörü
rAB=rB-rA
rAB=(xB-xA)i + (yB -yA)j + (zB –zA)k F 5.2
DİKKAT: Her zaman son konumdan bir önceki konum çıkarılır
Konum Vektörü
İKİ KONUM ARASINDAKİ MESAFENİN BULUNMASI
İki konum arası mesafe dik koordinat eksenlerinde ki bileşen farklarının kareleri toplamının kare kökü kadardır
2AB
2AB
2AB )zz()yy()xx(r
Konum vektörünün yönü koordinat eksenlerine olan açıları ile belirlenir
)r
xx(cos
AB
AB1
)r
yy(cos
AB
AB1
)r
zz(cos
AB
AB1
F 5.3
F 5.4
F 5.5
F 5.6
ÖRNEK 5.1
0 noktasından A(-4,3,6) noktasına çizilen konum vektörü rA =-4i+3j+6k
0 noktasından B(8.-5,13) noktasına çizilen konum vektörü
rB=(8i-5j+13k)m
A noktasından B noktasına çizilecek konum vektörü
rAB=rB-rA
rAB=(rBx-rAx)i + (rBy-rAy)j + (rBz –rAz)k
rAB=(8-(-4)i + (-5-3)j + (13-6)k
rAB=12i - 8j +7k
Konum vektörünün skalar büyüklüğü
m89.18r
)7()8()12(r
AB
222AB
2AB
2AB
2ABAB )zz()yy()xx(r
Konum vektörünün yönü
01
AB
AB1 6.50)9.18
12(cos)
r
xx(cos
01
AB
AB1 115)9.18
8(cos)
r
yy(cos
01
AB
AB1 26.68)9.18
7(cos)
r
zz(cos
Birim Vektör
• Birim vektör u kartezyen notasyonu ile yazılmış konum vektörünün skalar büyüklüğüne bölünmesi ile elde edilir.
zkyjxir
222 zyxr
r
ru
222 zyx
zkyjxiu
F 5.7
NOT: Vektörel bir değer skalar bir büyüklük ile çarpılır veya bölünürse sonuç yine vektörel bir değer olur.
Vektörel bir değer bir başka vektörel değer ile çarpılır veya bölünürse sonuç skalar bir büyüklük olur.
Vektörel bir değer bir başka vektörel değer ile toplanır veya çıkarılırsa sonuç yine vektörel bir değer olur.
Konumlanmış Kuvvet vektörü• Bir vektörün doğrultusunu belirleyen iki noktanın
koordinatları biliniyorsa önce bu doğrultu birim vektör olarak tanımlanır.
• Sonra kuvvetin skalar büyüklüğü birim vektör ile çarpılarak bu kuvvetin kartezyen koordinatlara göre yazılmış vektörel değeri elde edilmiş olur
(Not: Buradaki kuvvet vektörünün skalar büyüklüğü daha önceki dersimizde gördüğümüz A noktasında başlayıp B noktasında biten skalar büyüklük değil)
))zz()yy()xx(
k)zz(j)yy(i)xx((FF
2AB
2AB
2AB
BAABAB
222 zyx
zkyjxi*FF
F 5.9
F 5.10
u*FF F 5.8
Problem 5.2• Bir adam 30 metre yüksekteki A
noktasına bağlı ipi B noktası doğrultusunda 70 N büyüklüğünde bir kuvvet ile çekmektedir.
• Bu kuvvetin x,y,z doğrultusundaki bileşenleri ve koordinat eksenlerine göre açılarını bulunuz.
))zz()yy()xx(
k)zz(j)yy(i)xx((FF
2AB
2AB
2AB
BAABAB
))306()08()012(
k)306(j)08(i)012((70F
222
01
AB
AB1 6.64)28
12(cos)
r
xx(cos
01
AB
AB1 6,106)28
8(cos)
r
yy(cos
01
AB
AB1 149)28
24(cos)
r
zz(cos
))24()8(12
k24j8i12(70F
222
)
28
k24j8i12(70F
N)k60j20i30(F
• Bir kapak resimdeki gibi iki halat ile duvara asılı tutulmaktadır.
• Halatlardan birinde FAB =100N
diğerinde ise FAC =120N kuvvet etkin oluyorsa
a) Toplam kuvvetin bileşenlerini b) A noktasına etki eden toplam kuvveti
bulunuz.
Önce koordinatları belirleyelim
A(0,0,4)
B(4,0,0)
C(4,2,0)
66.5r)4(4r
k4i4r
k)40(j)00(i)04(r
AB22
AB
AB
AB
6r)4(24r
k4j2i4r
k)40(j)02(i)04(r
AC222
AC
AC
AC
Problem 5.3
)r
r(FF)u(FFAB
ABABABABABAB
N)k7.70i7.70(FN)66.5
k4i4(100F ABAB
)r
r(FF)u(FFAC
ACACACACACAC
ACABT FFF N))k80j40i80()k7.70i7.70((FT
N))k807.70(j)400(i)807.70((FT
FTx =150N
FTy= 40N
FTz=-150N N9.215F)150(40150F
FFFF
T222
T
2Tz
2Ty
2TxT
N)k7.150j40i7.150(FT
N)k80j40i80(FN)6
k4j2i4(120F ABAC
Problem 5.3 Çözümü
cos*B*ABA
FARKLI DOĞRULTULARDAKİ VEKTÖRLERİN NOKTA ÇARPIMI (DOT PRODUCT)
• Üçüncü dersimizde bir vektörün büyüklük oranında çarpılmasını veya bölünmesini anlatmıştık.
• Bu işlem sonuç olarak aynı doğrultuda fakat farklı büyüklükte bir vektörün oluşmasını sağlar.
• Ancak farklı doğrultularda iki vektörün çarpılması için (özellikle üç boyutlu vektörlerde) kartezyen vektör sistemi uygulanmalıdır.
• Eğer
zzyyxx
zyxzyx
BABABABA
)kBjBiB(*)kAjAiA(BA
ise1800 00
NOKTASAL ÇARPIM KANUNLARI
•Değişme özelliği A*B=B*A
•Çarpma özelliği a(A*B)=(a*A)*B=A*(a*B)
•Dağıtım özelliği A*(B+C)= (A*B)+(A*C)
zzyyxx BABABABA KARTEZYEN VEKTÖR NOKTA ÇARPIM FORMÜLÜ
F 5.11
F 5.12
DİKKAT: Bu çarpım ile skalar büyüklük elde edilir.
VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI BİRİNCİ UYGULAMA ALANI • Vektör çarpımının birinci uygulandığı durum;
İki vektörün eksenel bileşenlerinin biliniyor (kartezyen koordinatlarının) olması durumunda aralarındaki açıyı bulmak için kullanılır.
• Vektörlerin birbiri ile çarpılması sonucunda skalar bir büyüklük elde edilir. Bu büyüklük vektürlerin skalar büyüklükler çarpımına bölünerek aralarındaki açı bulunur.
ÖRNEK PROBLEM 5.4:
Yandaki resimde görülen A ve B vektörleri arasındaki açıyı bulunuz
cos*B*ABA
)k8j3i4(A
)k12j6i8(B 46961832BA
)12*8())6(*3()8*4(BA
43.9834A 222
)B*A
BA(cos 1
zzyyxx BABABABA
62.1512)6(8B 222
)62.15*43.9
46(cos 1 08.71
B*A
BAcos
F 5.14F 5.13
• Uzayda birbiri ile çakışan iki vektör bir düzlemi belirler.• Eğer bu iki vektörden birisi konumlanmış kuvvet vektörü, diğeri
birim vektör ise çarpımdan çıkan sonuç – iki vektör arasındaki düzlemde– birim vektör doğrultusundaKonumlanmış kuvvet vektörünün diğer konum vektörüne iz
düşümü (Fp) skalar bir büyüklük olarak elde edilmiş olur.
ÖRNEK PROBLEM 5.5Boyutları 2X6X3 metre olan bir odanın bir köşesinden diğerine bir boru
uzanmaktadır.Bu boruya B noktasında ve y eksenine paralel ve 300N büyüklüğünde bir
kuvvet etki etmektedir.
• F kuvvetinin boru doğrultusundaki FAB bileşenini• FAB ye dik olan FD bileşke kuvvetini• FAB kuvvetinin normal kartezyen koordinatlardaki bileşenlerini
bulunuz
VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI İKİNCİ UYGULAMA ALANI
F 5.15u*FFp NOT: Konumlanmış kuvvet vektörünü vektörel değer olarak belirten
ile yukarda F 5.15 de belirtilen bileşke vektörünü skalar değer olarak belirten
tanımlar arasındaki farka dikkat ediniz.
u*FF F 5.8
PROBLEM 5.5 ÇÖZÜMÜ
Önce AB borusu ve etki eden kuvvet doğrultusu için birim vektör bulunur.
k43.0j86.0i29.0362
k3j6i2
zyx
zkyjxiu
222222AB
ABAB u*FF
Fu*FF
FAB kuvvetinin normal koordinat sistemindeki bileşenlerini bulmak için FAB kuvveti borunun birim vektörü ile çarpılır.
N)86.0*300(F
)K43.0*j86.0i29.0(*N)j300(F
AB
AB
ABABAB u*FF k111j222i8.74F
)K43.0*j86.0i29.0(*N258F
AB
AB
F kuvvet vektörünün A-B doğrultusundaki bileşenini bulmak için konumlanmış F kuvvet vektörü AB doğrultusu birim vektörü ile çarpılır
Konumlanmış F kuvvet vektörü
F kuvvetinin boruya dik bileşeni FD yi bulmak için pisagor teoreminden yararlanılır. N153F
258300F
FFF
D
22D
2AB
2D
N258FAB
j1uF
F kuvveti y eksenine paralel diğer eksenlere dik olduğu için birim vektörü
N)j300(F)j1(*N300F
F 5.8
F 5. 15
F 5.8
PROBLEM 5.6
Tabanı 3x3 metre olan bir odanın y ekseni üzerindeki kenar çizgisinden 1 metre ileride A noktasından bir boru çıkarak x ekseni üzerinde köşeden 3 metre ileride ve z ekseni üzerinde 1 metre aşağıda (bodrumda) B noktasına kadar uzanmaktadır.
Bu boru B noktasına bağlı bir halat ile oda tabanından x ekseni üzerindeki C noktasından 80 N değerinde bir kuvvet ile çekilmektedir.
a. Boru ile halat arasındaki ϴ açısını bulunuz.
b. F kuvvetinin boru üzerindeki iz düşümünü bulunuz.
c. F kuvvetinin boruya dik olan bileşenini bulunuz
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ
1. Önce A,B,C noktalarının koordinatları yazılır.
A(x,y,z) A(0,1,0)
B(x,y,z) B(2,3,-1)
C(x,y,z) C(2,0,0)
2. Sonra B den A ya borunun ve
B den C ye kuvvetin (halatın) konum vektörleri yazılır.
rA =0i+1j+ 0k
rB =2i +3j -1k
rC = 2i + 0j + 0k
rBA =rA -rB
rBA=(0-2)i + (1-3)j + (0-(-1))k
rBA=-2i-2j+1k
rBC =rC -rB
rBC=(2-2)i + (0-3)j + (0-(-1))k
rBC=-0i-3j+1k
N3r1)2()2(rzyxr BA222
BA222
N16.3r1)3()0(r BA222
BC
3. Konum vektörlerinin skalar büyüklükleri bulunur.
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ
a. Çözümü
Boru ile halat arasındaki açı
)r*r
rr(cos
BCBA
BcBA1
CAzBAzBCyBAyBCxBAxBCBA rrrrrrrr
)1*1())3(*2()0*2(rr BCBA
rBA=-2i-2j+1k rBC=-0i-3j+1k
7rr BCBA
0
1
5.42
74.0)16.3*3
7(cos
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜb. ÇÖZÜMÜ
1. Önce boru doğrultusunu ve halat doğrultuları için birim vektörler yazılır.
u*FF F 5.8
222 zyx
zkyjxiu
F 5.7
k33.0j67.0i67.0u1)2()2(
k1j2i2u BA222BA
3. Boruya paralel etki eden FBA kuvvetini bulmak için konumlanmış F vektörü boru doğrultusundaki birim
vektör ile çarpılarak FBA skalar bir büyüklük olarak bulunur
2. F kuvveti halat doğrultusunda etki ettiği için halat doğrultusu birim vektörü F kuvveti ile çarpılarak konumlanış kuvvet vektörü bulunur
BCu*FF )k32.0j95.0(*N80F
N)k3.25j89.75(F
k32.0j95.0u1)3(
k1j3u BA22BC
NOT: Burada skalar bir büyüklük, vektörel bir değer ile çarpılarak bir başka vektörel değer elde ediliyor
BABA u*FF )k33.0j67.0i67.0(*N)k3.25j89.75(FBA
N)k33.0*k3.25())j67.0(*j89.75((FBA
N))33.0*3.25()67.0(89.75((FBA N59FBA NOT: Burada bir vektörel değer bir başka vektörel değer ile çarpılarak skalar bir büyüklük elde ediliyor
4. Boruya dik duruma etki eden değeri bulmak için dik üçgen denkleminden yararlanılabilir
2D
2BA
2 FFF 2BA
2D FFF
22D 5980F N54FD
F 5.15
Recommended